MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzisoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzisoi 13176
Description: 𝐺 (see om2uz0i 13169) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by NM, 9-Oct-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzisoi 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ𝐶))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzisoi
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . 3 𝐶 ∈ ℤ
2 om2uz.2 . . 3 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
31, 2om2uzf1oi 13175 . 2 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶)
4 epel 5364 . . . 4 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
51, 2om2uzlt2i 13173 . . . 4 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦𝑧 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
64, 5syl5bb 284 . . 3 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
76rgen2a 3195 . 2 𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧))
8 df-isom 6241 . 2 (𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ𝐶)) ↔ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧))))
93, 7, 8mpbir2an 707 1 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  Vcvv 3440   class class class wbr 4968  cmpt 5047   E cep 5359  cres 5452  1-1-ontowf1o 6231  cfv 6232   Isom wiso 6233  (class class class)co 7023  ωcom 7443  reccrdg 7904  1c1 10391   + caddc 10393   < clt 10528  cz 11835  cuz 12097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098
This theorem is referenced by:  om2uzoi  13177  ltweuz  13183  fz1isolem  13671
  Copyright terms: Public domain W3C validator