Theorem om2uzisoi 14137

Description: 𝐺 (see om2uz0i 14130) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by NM, 9-Oct-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzisoi	⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzisoi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzf1oi 14136	. 2 ⊢ 𝐺:ω⟶1-1onto(ℤ≥‘𝐶)
4		epel 5561	. . . 4 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
5	1, 2	om2uzlt2i 14134	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
6	4, 5	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
7	6	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧))
8		df-isom 6575	. 2 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)) ↔ (𝐺:ω⟶1-1onto(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧))))
9	3, 7, 8	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   E cep 5557   ↾ cres 5660  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566   Isom wiso 6567  (class class class)co 7451  ωcom 7911  reccrdg 8455  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  om2uzoi  14138  ltweuz  14144  fz1isolem  14647