Theorem om2uzisoi 13915

Description: 𝐺 (see om2uz0i 13908) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by NM, 9-Oct-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzisoi	⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzisoi

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzf1oi 13914	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)
4		epel 5573	. . . 4 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
5	1, 2	om2uzlt2i 13912	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
6	4, 5	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
7	6	rgen2 3189	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧))
8		df-isom 6542	. 2 ⊢ (𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶)) ↔ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω (𝑦 E 𝑧 ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧))))
9	3, 7, 8	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝐺 Isom E , < (ω, (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  Vcvv 3466   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   E cep 5569   ↾ cres 5668  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533   Isom wiso 6534  (class class class)co 7401  ωcom 7848  reccrdg 8404  1c1 11106   + caddc 11108   < clt 11244  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819

This theorem is referenced by:  om2uzoi  13916  ltweuz  13922  fz1isolem  14418