Theorem dochvalr3 40538

Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochvalr3.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
dochvalr3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochvalr3.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr3.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochvalr3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochvalr3	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem dochvalr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochvalr3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochvalr3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		dochvalr3.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochvalr3.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7	3, 4, 5, 6	dihrnss 40453	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
8	1, 2, 7	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9		dochvalr3.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 5, 4, 6, 9	dochcl 40528	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
11	1, 8, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
12	3, 5	dihcnvid2 40448	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
13	1, 11, 12	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
14		dochvalr3.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
15	14, 3, 5, 9	dochvalr 40532	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))
16	1, 2, 15	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))
17	13, 16	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))))
18	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
19		hlop 38536	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
21		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22	21, 3, 5	dihcnvcl 40446	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
23	1, 2, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
24	21, 14	opoccl 38368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
25	20, 23, 24	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
26	21, 3, 5	dihcnvcl 40446	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 11, 26	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
28	21, 3, 5	dih11 40440	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) ↔ ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))))
29	1, 25, 27, 28	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) ↔ ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))))
30	17, 29	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  ^◡ccnv 5675  ran crn 5677  ‘cfv 6543  Basecbs 17149  occoc 17210  OPcops 38346  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  DIsoHcdih 40403  ocHcoch 40522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523

This theorem is referenced by:  dihoml4c  40551