Theorem dochvalr3 41365

Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochvalr3.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
dochvalr3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochvalr3.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr3.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochvalr3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochvalr3	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem dochvalr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochvalr3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochvalr3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		dochvalr3.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochvalr3.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7	3, 4, 5, 6	dihrnss 41280	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9		dochvalr3.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 5, 4, 6, 9	dochcl 41355	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
12	3, 5	dihcnvid2 41275	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
13	1, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
14		dochvalr3.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
15	14, 3, 5, 9	dochvalr 41359	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))
16	1, 2, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))
17	13, 16	eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))))
18	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
19		hlop 39363	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22	21, 3, 5	dihcnvcl 41273	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
23	1, 2, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
24	21, 14	opoccl 39195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
25	20, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
26	21, 3, 5	dihcnvcl 41273	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 11, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
28	21, 3, 5	dih11 41267	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) ↔ ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))))
29	1, 25, 27, 28	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) ↔ ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))))
30	17, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ^◡ccnv 5684  ran crn 5686  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  occoc 17305  OPcops 39173  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  DIsoHcdih 41230  ocHcoch 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350

This theorem is referenced by:  dihoml4c  41378