Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochvalr3 40892
Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr3.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
dochvalr3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochvalr3.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochvalr3.n 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochvalr3.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dochvalr3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dochvalr3 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem dochvalr3
StepHypRef Expression
1 dochvalr3.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dochvalr3.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3 dochvalr3.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 eqid 2725 . . . . . . 7 ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dochvalr3.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
73, 4, 5, 6dihrnss 40807 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
81, 2, 7syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
9 dochvalr3.n . . . . . 6 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
103, 5, 4, 6, 9dochcl 40882 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
111, 8, 10syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼)
123, 5dihcnvid2 40802 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹))) = (π‘β€˜π‘‹))
131, 11, 12syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹))) = (π‘β€˜π‘‹))
14 dochvalr3.o . . . . 5 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
1514, 3, 5, 9dochvalr 40886 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
161, 2, 15syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
1713, 16eqtr2d 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹))))
181simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 hlop 38890 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
2018, 19syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OP)
21 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2221, 3, 5dihcnvcl 40800 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
231, 2, 22syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2421, 14opoccl 38722 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2520, 23, 24syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2621, 3, 5dihcnvcl 40800 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
271, 11, 26syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2821, 3, 5dih11 40794 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹))) ↔ ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹))))
291, 25, 27, 28syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹))) ↔ ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹))))
3017, 29mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  occoc 17240  OPcops 38700  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DVecHcdvh 40607  DIsoHcdih 40757  ocHcoch 40876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877
This theorem is referenced by:  dihoml4c  40905
  Copyright terms: Public domain W3C validator