Theorem dochvalr3 41401

Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochvalr3.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
dochvalr3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochvalr3.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr3.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochvalr3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochvalr3	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem dochvalr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochvalr3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochvalr3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		dochvalr3.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochvalr3.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7	3, 4, 5, 6	dihrnss 41316	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9		dochvalr3.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 5, 4, 6, 9	dochcl 41391	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
12	3, 5	dihcnvid2 41311	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
13	1, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) = (𝑁‘𝑋))
14		dochvalr3.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
15	14, 3, 5, 9	dochvalr 41395	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))
16	1, 2, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))
17	13, 16	eqtr2d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))))
18	1	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
19		hlop 39400	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ OP)
21		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22	21, 3, 5	dihcnvcl 41309	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
23	1, 2, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
24	21, 14	opoccl 39232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
25	20, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
26	21, 3, 5	dihcnvcl 41309	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
27	1, 11, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
28	21, 3, 5	dih11 41303	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) ↔ ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))))
29	1, 25, 27, 28	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))) ↔ ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋))))
30	17, 29	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)) = (◡𝐼‘(𝑁‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  ^◡ccnv 5615  ran crn 5617  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  occoc 17166  OPcops 39210  HLchlt 39388  LHypclh 40022  DVecHcdvh 41116  DIsoHcdih 41266  ocHcoch 41385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-riotaBAD 38991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-0g 17342  df-proset 18197  df-poset 18216  df-plt 18231  df-lub 18247  df-glb 18248  df-join 18249  df-meet 18250  df-p0 18326  df-p1 18327  df-lat 18335  df-clat 18402  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-cntz 19227  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lvec 21035  df-oposet 39214  df-ol 39216  df-oml 39217  df-covers 39304  df-ats 39305  df-atl 39336  df-cvlat 39360  df-hlat 39389  df-llines 39536  df-lplanes 39537  df-lvols 39538  df-lines 39539  df-psubsp 39541  df-pmap 39542  df-padd 39834  df-lhyp 40026  df-laut 40027  df-ldil 40142  df-ltrn 40143  df-trl 40197  df-tendo 40793  df-edring 40795  df-disoa 41067  df-dvech 41117  df-dib 41177  df-dic 41211  df-dih 41267  df-doch 41386

This theorem is referenced by:  dihoml4c  41414