MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcophtb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcophtb 24976
Description: The path homotopy equivalence relation on two paths ๐น, ๐บ with the same start and end point can be written in terms of the loop ๐น โˆ’ ๐บ formed by concatenating ๐น with the inverse of ๐บ. Thus, all the homotopy information in โ‰ƒphโ€˜๐ฝ is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcophtb.h ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐บโ€˜(1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
pcophtb.p ๐‘ƒ = ((0[,]1) ร— {(๐นโ€˜0)})
pcophtb.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcophtb.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcophtb.0 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜0) = (๐บโ€˜0))
pcophtb.1 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1))
Assertion
Ref Expression
pcophtb (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ โ†” ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ฝ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐ป(๐‘ฅ)

Proof of Theorem pcophtb
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcer 24941 . . . 4 ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ)
21a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ))
3 pcophtb.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1))
4 pcophtb.g . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
5 pcophtb.h . . . . . . . . . . 11 ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐บโ€˜(1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
65pcorevcl 24972 . . . . . . . . . 10 (๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐ปโ€˜0) = (๐บโ€˜1) โˆง (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0)))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐ปโ€˜0) = (๐บโ€˜1) โˆง (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0)))
87simp2d 1140 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜0) = (๐บโ€˜1))
93, 8eqtr4d 2771 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐ปโ€˜0))
107simp1d 1139 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
1110, 4pco0 24961 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜0) = (๐ปโ€˜0))
129, 11eqtr4d 2771 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = ((๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜0))
1312adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜1) = ((๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜0))
14 pcophtb.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
1514adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
162, 15erref 8751 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
17 eqid 2728 . . . . . . . 8 ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}) = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)})
185, 17pcorev 24974 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))
194, 18syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))
2019adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))
2113, 16, 20pcohtpy 24967 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)})))
223adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1))
2317pcopt2 24970 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1)) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
2415, 22, 23syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
252, 21, 24ertrd 8747 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
2610adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
274adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
289adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐ปโ€˜0))
297simp3d 1141 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
3029adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
31 eqid 2728 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 2), if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 4), (2 ยท ๐‘ฆ), (๐‘ฆ + (1 / 4))), ((๐‘ฆ / 2) + (1 / 2)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 2), if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 4), (2 ยท ๐‘ฆ), (๐‘ฆ + (1 / 4))), ((๐‘ฆ / 2) + (1 / 2))))
3215, 26, 27, 28, 30, 31pcoass 24971 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)))
3314, 10pco1 24962 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)โ€˜1) = (๐ปโ€˜1))
3433, 29eqtrd 2768 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)โ€˜1) = (๐บโ€˜0))
3534adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)โ€˜1) = (๐บโ€˜0))
36 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
372, 27erref 8751 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐บ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
3835, 36, 37pcohtpy 24967 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))
392, 32, 38ertr3d 8749 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))
40 pcophtb.0 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜0) = (๐บโ€˜0))
4140adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜0) = (๐บโ€˜0))
4241eqcomd 2734 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐บโ€˜0) = (๐นโ€˜0))
43 pcophtb.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = ((0[,]1) ร— {(๐นโ€˜0)})
4443pcopt 24969 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐บโ€˜0) = (๐นโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
4527, 42, 44syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
462, 39, 45ertrd 8747 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
472, 25, 46ertr3d 8749 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
481a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ))
499adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐ปโ€˜0))
50 simpr 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
5110adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
5248, 51erref 8751 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ๐ป( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐ป)
5349, 50, 52pcohtpy 24967 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป))
54 eqid 2728 . . . . . . 7 ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}) = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)})
555, 54pcorev2 24975 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
564, 55syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
5740sneqd 4644 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {(๐นโ€˜0)} = {(๐บโ€˜0)})
5857xpeq2d 5712 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((0[,]1) ร— {(๐นโ€˜0)}) = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
5943, 58eqtrid 2780 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
6056, 59breqtrrd 5180 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
6160adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
6248, 53, 61ertrd 8747 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
6347, 62impbida 799 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ โ†” ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235   ร— cxp 5680  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8728  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12305  4c4 12307  [,]cicc 13367   Cn ccn 23148  IIcii 24815   โ‰ƒphcphtpc 24915  *๐‘cpco 24947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-ii 24817  df-htpy 24916  df-phtpy 24917  df-phtpc 24938  df-pco 24952
This theorem is referenced by:  sconnpht2  34881
  Copyright terms: Public domain W3C validator