Theorem pcophtb 24976

Description: The path homotopy equivalence relation on two paths 𝐹, 𝐺 with the same start and end point can be written in terms of the loop 𝐹 − 𝐺 formed by concatenating 𝐹 with the inverse of 𝐺. Thus, all the homotopy information in ≃_ph‘𝐽 is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcophtb.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
pcophtb.p	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
pcophtb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
pcophtb.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))

Assertion

Ref	Expression
pcophtb	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem pcophtb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcer 24941	. . . 4 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
3		pcophtb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
4		pcophtb.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5		pcophtb.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
6	5	pcorevcl 24972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
8	7	simp2d 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐺‘1))
9	3, 8	eqtr4d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
10	7	simp1d 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
11	10, 4	pco0 24961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐻‘0))
12	9, 11	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
13	12	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
14		pcophtb.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	14	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
16	2, 15	erref 8751	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐹)
17		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
18	5, 17	pcorev 24974	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
20	19	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
21	13, 16, 20	pcohtpy 24967	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)})))
22	3	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
23	17	pcopt2 24970	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
24	15, 22, 23	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
25	2, 21, 24	ertrd 8747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
26	10	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
27	4	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
28	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
29	7	simp3d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
30	29	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
31		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
32	15, 26, 27, 28, 30, 31	pcoass 24971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)))
33	14, 10	pco1 24962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐻‘1))
34	33, 29	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
35	34	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
36		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
37	2, 27	erref 8751	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐺)
38	35, 36, 37	pcohtpy 24967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
39	2, 32, 38	ertr3d 8749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
40		pcophtb.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
41	40	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
42	41	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐺‘0) = (𝐹‘0))
43		pcophtb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
44	43	pcopt 24969	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘0)) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
45	27, 42, 44	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
46	2, 39, 45	ertrd 8747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐺)
47	2, 25, 46	ertr3d 8749	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
48	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
49	9	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
50		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
51	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
52	48, 51	erref 8751	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻( ≃ph‘𝐽)𝐻)
53	49, 50, 52	pcohtpy 24967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)(𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻))
54		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)})
55	5, 54	pcorev2 24975	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
56	4, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
57	40	sneqd 4644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘0)} = {(𝐺‘0)})
58	57	xpeq2d 5712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
59	43, 58	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
60	56, 59	breqtrrd 5180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
61	60	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
62	48, 53, 61	ertrd 8747	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
63	47, 62	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   × cxp 5680  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8728  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   ≤ cle 11287   − cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12305  4c4 12307  [,]cicc 13367   Cn ccn 23148  IIcii 24815   ≃_phcphtpc 24915  *_𝑝cpco 24947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-ii 24817  df-htpy 24916  df-phtpy 24917  df-phtpc 24938  df-pco 24952

This theorem is referenced by:  sconnpht2  34881