Theorem pcophtb 24962

Description: The path homotopy equivalence relation on two paths 𝐹, 𝐺 with the same start and end point can be written in terms of the loop 𝐹 − 𝐺 formed by concatenating 𝐹 with the inverse of 𝐺. Thus, all the homotopy information in ≃_ph‘𝐽 is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcophtb.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
pcophtb.p	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
pcophtb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
pcophtb.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))

Assertion

Ref	Expression
pcophtb	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem pcophtb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcer 24927	. . . 4 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
3		pcophtb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
4		pcophtb.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5		pcophtb.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
6	5	pcorevcl 24958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
8	7	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐺‘1))
9	3, 8	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
10	7	simp1d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
11	10, 4	pco0 24947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐻‘0))
12	9, 11	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
14		pcophtb.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
16	2, 15	erref 8668	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐹)
17		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
18	5, 17	pcorev 24960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
21	13, 16, 20	pcohtpy 24953	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)})))
22	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
23	17	pcopt2 24956	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
24	15, 22, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
25	2, 21, 24	ertrd 8664	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
26	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
27	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
28	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
29	7	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
31		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
32	15, 26, 27, 28, 30, 31	pcoass 24957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)))
33	14, 10	pco1 24948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐻‘1))
34	33, 29	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
37	2, 27	erref 8668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐺)
38	35, 36, 37	pcohtpy 24953	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
39	2, 32, 38	ertr3d 8666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
40		pcophtb.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
41	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
42	41	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐺‘0) = (𝐹‘0))
43		pcophtb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
44	43	pcopt 24955	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘0)) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
45	27, 42, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
46	2, 39, 45	ertrd 8664	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐺)
47	2, 25, 46	ertr3d 8666	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
48	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
49	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
50		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
51	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
52	48, 51	erref 8668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻( ≃ph‘𝐽)𝐻)
53	49, 50, 52	pcohtpy 24953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)(𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻))
54		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)})
55	5, 54	pcorev2 24961	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
56	4, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
57	40	sneqd 4597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘0)} = {(𝐺‘0)})
58	57	xpeq2d 5661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
59	43, 58	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
60	56, 59	breqtrrd 5130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
61	60	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
62	48, 53, 61	ertrd 8664	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
63	47, 62	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4484  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   Er wer 8645  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  2c2 12217  4c4 12219  [,]cicc 13285   Cn ccn 23144  IIcii 24801   ≃_phcphtpc 24901  *_𝑝cpco 24933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-ii 24803  df-htpy 24902  df-phtpy 24903  df-phtpc 24924  df-pco 24938

This theorem is referenced by:  sconnpht2  35218