MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcophtb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcophtb 23236
Description: The path homotopy equivalence relation on two paths 𝐹, 𝐺 with the same start and end point can be written in terms of the loop 𝐹𝐺 formed by concatenating 𝐹 with the inverse of 𝐺. Thus, all the homotopy information in ph𝐽 is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcophtb.h 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
pcophtb.p 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
pcophtb.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
pcophtb.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
Assertion
Ref Expression
pcophtb (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃𝐹( ≃ph𝐽)𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem pcophtb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcer 23202 . . . 4 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
21a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
3 pcophtb.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
4 pcophtb.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcophtb.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
65pcorevcl 23232 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
87simp2d 1134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐺‘1))
93, 8eqtr4d 2816 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
107simp1d 1133 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
1110, 4pco0 23221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐻‘0))
129, 11eqtr4d 2816 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
1312adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
14 pcophtb.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
1514adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
162, 15erref 8046 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
17 eqid 2777 . . . . . . . 8 ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
185, 17pcorev 23234 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
194, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
2019adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
2113, 16, 20pcohtpy 23227 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)})))
223adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
2317pcopt2 23230 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)) → (𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph𝐽)𝐹)
2415, 22, 23syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph𝐽)𝐹)
252, 21, 24ertrd 8042 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)𝐹)
2610adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
274adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
289adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
297simp3d 1135 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
3029adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
31 eqid 2777 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
3215, 26, 27, 28, 30, 31pcoass 23231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)))
3314, 10pco1 23222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐻‘1))
3433, 29eqtrd 2813 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
3534adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
36 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
372, 27erref 8046 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐺( ≃ph𝐽)𝐺)
3835, 36, 37pcohtpy 23227 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝑃(*𝑝𝐽)𝐺))
392, 32, 38ertr3d 8044 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)(𝑃(*𝑝𝐽)𝐺))
40 pcophtb.0 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
4140adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
4241eqcomd 2783 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐺‘0) = (𝐹‘0))
43 pcophtb.p . . . . . 6 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
4443pcopt 23229 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘0)) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝐺)
4527, 42, 44syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝐺)
462, 39, 45ertrd 8042 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)𝐺)
472, 25, 46ertr3d 8044 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
481a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
499adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
50 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
5110adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
5248, 51erref 8046 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐻( ≃ph𝐽)𝐻)
5349, 50, 52pcohtpy 23227 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))
54 eqid 2777 . . . . . . 7 ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)})
555, 54pcorev2 23235 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
564, 55syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
5740sneqd 4409 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝐹‘0)} = {(𝐺‘0)})
5857xpeq2d 5385 . . . . . 6 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
5943, 58syl5eq 2825 . . . . 5 (𝜑𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
6056, 59breqtrrd 4914 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6160adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6248, 53, 61ertrd 8042 . 2 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6347, 62impbida 791 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃𝐹( ≃ph𝐽)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  ifcif 4306  {csn 4397   class class class wbr 4886  cmpt 4965   × cxp 5353  cfv 6135  (class class class)co 6922   Er wer 8023  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  4c4 11432  [,]cicc 12490   Cn ccn 21436  IIcii 23086  phcphtpc 23176  *𝑝cpco 23207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-ii 23088  df-htpy 23177  df-phtpy 23178  df-phtpc 23199  df-pco 23212
This theorem is referenced by:  sconnpht2  31819
  Copyright terms: Public domain W3C validator