MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcophtb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcophtb 24906
Description: The path homotopy equivalence relation on two paths ๐น, ๐บ with the same start and end point can be written in terms of the loop ๐น โˆ’ ๐บ formed by concatenating ๐น with the inverse of ๐บ. Thus, all the homotopy information in โ‰ƒphโ€˜๐ฝ is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcophtb.h ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐บโ€˜(1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
pcophtb.p ๐‘ƒ = ((0[,]1) ร— {(๐นโ€˜0)})
pcophtb.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcophtb.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcophtb.0 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜0) = (๐บโ€˜0))
pcophtb.1 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1))
Assertion
Ref Expression
pcophtb (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ โ†” ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ฝ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐ป(๐‘ฅ)

Proof of Theorem pcophtb
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcer 24871 . . . 4 ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ)
21a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ))
3 pcophtb.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1))
4 pcophtb.g . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
5 pcophtb.h . . . . . . . . . . 11 ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐บโ€˜(1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
65pcorevcl 24902 . . . . . . . . . 10 (๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐ปโ€˜0) = (๐บโ€˜1) โˆง (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0)))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐ปโ€˜0) = (๐บโ€˜1) โˆง (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0)))
87simp2d 1140 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜0) = (๐บโ€˜1))
93, 8eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐ปโ€˜0))
107simp1d 1139 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
1110, 4pco0 24891 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜0) = (๐ปโ€˜0))
129, 11eqtr4d 2769 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = ((๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜0))
1312adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜1) = ((๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜0))
14 pcophtb.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
162, 15erref 8722 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
17 eqid 2726 . . . . . . . 8 ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}) = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)})
185, 17pcorev 24904 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))
194, 18syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))
2019adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))
2113, 16, 20pcohtpy 24897 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)})))
223adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1))
2317pcopt2 24900 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1)) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
2415, 22, 23syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
252, 21, 24ertrd 8718 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
2610adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
274adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
289adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐ปโ€˜0))
297simp3d 1141 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
31 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 2), if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 4), (2 ยท ๐‘ฆ), (๐‘ฆ + (1 / 4))), ((๐‘ฆ / 2) + (1 / 2)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 2), if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 4), (2 ยท ๐‘ฆ), (๐‘ฆ + (1 / 4))), ((๐‘ฆ / 2) + (1 / 2))))
3215, 26, 27, 28, 30, 31pcoass 24901 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)))
3314, 10pco1 24892 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)โ€˜1) = (๐ปโ€˜1))
3433, 29eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)โ€˜1) = (๐บโ€˜0))
3534adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)โ€˜1) = (๐บโ€˜0))
36 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
372, 27erref 8722 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐บ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
3835, 36, 37pcohtpy 24897 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))
392, 32, 38ertr3d 8720 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))
40 pcophtb.0 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜0) = (๐บโ€˜0))
4140adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜0) = (๐บโ€˜0))
4241eqcomd 2732 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐บโ€˜0) = (๐นโ€˜0))
43 pcophtb.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = ((0[,]1) ร— {(๐นโ€˜0)})
4443pcopt 24899 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐บโ€˜0) = (๐นโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
4527, 42, 44syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
462, 39, 45ertrd 8718 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
472, 25, 46ertr3d 8720 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
481a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ))
499adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐ปโ€˜0))
50 simpr 484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
5110adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
5248, 51erref 8722 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ๐ป( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐ป)
5349, 50, 52pcohtpy 24897 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป))
54 eqid 2726 . . . . . . 7 ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}) = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)})
555, 54pcorev2 24905 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
564, 55syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
5740sneqd 4635 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {(๐นโ€˜0)} = {(๐บโ€˜0)})
5857xpeq2d 5699 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((0[,]1) ร— {(๐นโ€˜0)}) = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
5943, 58eqtrid 2778 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
6056, 59breqtrrd 5169 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
6160adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
6248, 53, 61ertrd 8718 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
6347, 62impbida 798 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ โ†” ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Er wer 8699  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  4c4 12270  [,]cicc 13330   Cn ccn 23078  IIcii 24745   โ‰ƒphcphtpc 24845  *๐‘cpco 24877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-ii 24747  df-htpy 24846  df-phtpy 24847  df-phtpc 24868  df-pco 24882
This theorem is referenced by:  sconnpht2  34756
  Copyright terms: Public domain W3C validator