MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcophtb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcophtb 25075
Description: The path homotopy equivalence relation on two paths 𝐹, 𝐺 with the same start and end point can be written in terms of the loop 𝐹𝐺 formed by concatenating 𝐹 with the inverse of 𝐺. Thus, all the homotopy information in ph𝐽 is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcophtb.h 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
pcophtb.p 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
pcophtb.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
pcophtb.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
Assertion
Ref Expression
pcophtb (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃𝐹( ≃ph𝐽)𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem pcophtb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcer 25040 . . . 4 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
21a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
3 pcophtb.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
4 pcophtb.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcophtb.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
65pcorevcl 25071 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
87simp2d 1142 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐺‘1))
93, 8eqtr4d 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
107simp1d 1141 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
1110, 4pco0 25060 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐻‘0))
129, 11eqtr4d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
14 pcophtb.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
162, 15erref 8763 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
17 eqid 2734 . . . . . . . 8 ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
185, 17pcorev 25073 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
194, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
2113, 16, 20pcohtpy 25066 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)})))
223adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
2317pcopt2 25069 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)) → (𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph𝐽)𝐹)
2415, 22, 23syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph𝐽)𝐹)
252, 21, 24ertrd 8759 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)𝐹)
2610adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
274adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
289adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
297simp3d 1143 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
31 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
3215, 26, 27, 28, 30, 31pcoass 25070 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)))
3314, 10pco1 25061 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐻‘1))
3433, 29eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
3534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
36 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
372, 27erref 8763 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐺( ≃ph𝐽)𝐺)
3835, 36, 37pcohtpy 25066 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝑃(*𝑝𝐽)𝐺))
392, 32, 38ertr3d 8761 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)(𝑃(*𝑝𝐽)𝐺))
40 pcophtb.0 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
4140adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
4241eqcomd 2740 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐺‘0) = (𝐹‘0))
43 pcophtb.p . . . . . 6 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
4443pcopt 25068 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘0)) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝐺)
4527, 42, 44syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝐺)
462, 39, 45ertrd 8759 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)𝐺)
472, 25, 46ertr3d 8761 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
481a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
499adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
50 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
5110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
5248, 51erref 8763 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐻( ≃ph𝐽)𝐻)
5349, 50, 52pcohtpy 25066 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))
54 eqid 2734 . . . . . . 7 ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)})
555, 54pcorev2 25074 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
564, 55syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
5740sneqd 4642 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝐹‘0)} = {(𝐺‘0)})
5857xpeq2d 5718 . . . . . 6 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
5943, 58eqtrid 2786 . . . . 5 (𝜑𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
6056, 59breqtrrd 5175 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6160adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6248, 53, 61ertrd 8759 . 2 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6347, 62impbida 801 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃𝐹( ≃ph𝐽)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430   Er wer 8740  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  4c4 12320  [,]cicc 13386   Cn ccn 23247  IIcii 24914  phcphtpc 25014  *𝑝cpco 25046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-ii 24916  df-htpy 25015  df-phtpy 25016  df-phtpc 25037  df-pco 25051
This theorem is referenced by:  sconnpht2  35222
  Copyright terms: Public domain W3C validator