Theorem pcophtb 24978

Description: The path homotopy equivalence relation on two paths 𝐹, 𝐺 with the same start and end point can be written in terms of the loop 𝐹 − 𝐺 formed by concatenating 𝐹 with the inverse of 𝐺. Thus, all the homotopy information in ≃_ph‘𝐽 is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcophtb.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
pcophtb.p	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
pcophtb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
pcophtb.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))

Assertion

Ref	Expression
pcophtb	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem pcophtb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcer 24943	. . . 4 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
3		pcophtb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
4		pcophtb.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5		pcophtb.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
6	5	pcorevcl 24974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
8	7	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐺‘1))
9	3, 8	eqtr4d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
10	7	simp1d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
11	10, 4	pco0 24963	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐻‘0))
12	9, 11	eqtr4d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
14		pcophtb.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
16	2, 15	erref 8737	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐹)
17		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
18	5, 17	pcorev 24976	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
21	13, 16, 20	pcohtpy 24969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)})))
22	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
23	17	pcopt2 24972	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
24	15, 22, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
25	2, 21, 24	ertrd 8733	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
26	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
27	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
28	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
29	7	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
31		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
32	15, 26, 27, 28, 30, 31	pcoass 24973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)))
33	14, 10	pco1 24964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐻‘1))
34	33, 29	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
37	2, 27	erref 8737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐺)
38	35, 36, 37	pcohtpy 24969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
39	2, 32, 38	ertr3d 8735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
40		pcophtb.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
41	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
42	41	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐺‘0) = (𝐹‘0))
43		pcophtb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
44	43	pcopt 24971	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘0)) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
45	27, 42, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
46	2, 39, 45	ertrd 8733	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐺)
47	2, 25, 46	ertr3d 8735	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
48	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
49	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
50		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
51	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
52	48, 51	erref 8737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻( ≃ph‘𝐽)𝐻)
53	49, 50, 52	pcohtpy 24969	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)(𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻))
54		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)})
55	5, 54	pcorev2 24977	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
56	4, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
57	40	sneqd 4613	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘0)} = {(𝐺‘0)})
58	57	xpeq2d 5684	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
59	43, 58	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
60	56, 59	breqtrrd 5147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
61	60	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
62	48, 53, 61	ertrd 8733	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
63	47, 62	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500  {csn 4601   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   Er wer 8714  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   ≤ cle 11268   − cmin 11464   / cdiv 11892  2c2 12293  4c4 12295  [,]cicc 13363   Cn ccn 23160  IIcii 24817   ≃_phcphtpc 24917  *_𝑝cpco 24949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-ii 24819  df-htpy 24918  df-phtpy 24919  df-phtpc 24940  df-pco 24954

This theorem is referenced by:  sconnpht2  35206