MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcophtb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcophtb 23640
Description: The path homotopy equivalence relation on two paths 𝐹, 𝐺 with the same start and end point can be written in terms of the loop 𝐹𝐺 formed by concatenating 𝐹 with the inverse of 𝐺. Thus, all the homotopy information in ph𝐽 is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcophtb.h 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
pcophtb.p 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
pcophtb.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
pcophtb.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
Assertion
Ref Expression
pcophtb (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃𝐹( ≃ph𝐽)𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem pcophtb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcer 23606 . . . 4 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
21a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
3 pcophtb.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
4 pcophtb.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcophtb.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
65pcorevcl 23636 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
87simp2d 1140 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐺‘1))
93, 8eqtr4d 2862 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
107simp1d 1139 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
1110, 4pco0 23625 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐻‘0))
129, 11eqtr4d 2862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
14 pcophtb.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
162, 15erref 8306 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
17 eqid 2824 . . . . . . . 8 ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
185, 17pcorev 23638 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
194, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
2019adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
2113, 16, 20pcohtpy 23631 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)})))
223adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
2317pcopt2 23634 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)) → (𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph𝐽)𝐹)
2415, 22, 23syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph𝐽)𝐹)
252, 21, 24ertrd 8302 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)𝐹)
2610adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
274adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
289adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
297simp3d 1141 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
3029adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
31 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
3215, 26, 27, 28, 30, 31pcoass 23635 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)))
3314, 10pco1 23626 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐻‘1))
3433, 29eqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
3534adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
36 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
372, 27erref 8306 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐺( ≃ph𝐽)𝐺)
3835, 36, 37pcohtpy 23631 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝑃(*𝑝𝐽)𝐺))
392, 32, 38ertr3d 8304 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)(𝑃(*𝑝𝐽)𝐺))
40 pcophtb.0 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
4140adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
4241eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐺‘0) = (𝐹‘0))
43 pcophtb.p . . . . . 6 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
4443pcopt 23633 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘0)) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝐺)
4527, 42, 44syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝐺)
462, 39, 45ertrd 8302 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)𝐺)
472, 25, 46ertr3d 8304 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
481a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
499adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
50 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
5110adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
5248, 51erref 8306 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐻( ≃ph𝐽)𝐻)
5349, 50, 52pcohtpy 23631 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))
54 eqid 2824 . . . . . . 7 ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)})
555, 54pcorev2 23639 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
564, 55syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
5740sneqd 4563 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝐹‘0)} = {(𝐺‘0)})
5857xpeq2d 5573 . . . . . 6 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
5943, 58syl5eq 2871 . . . . 5 (𝜑𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
6056, 59breqtrrd 5081 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6160adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6248, 53, 61ertrd 8302 . 2 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6347, 62impbida 800 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃𝐹( ≃ph𝐽)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4451  {csn 4551   class class class wbr 5053  cmpt 5133   × cxp 5541  cfv 6344  (class class class)co 7150   Er wer 8283  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  cle 10675  cmin 10869   / cdiv 11296  2c2 11692  4c4 11694  [,]cicc 12741   Cn ccn 21835  IIcii 23486  phcphtpc 23580  *𝑝cpco 23611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-ii 23488  df-htpy 23581  df-phtpy 23582  df-phtpc 23603  df-pco 23616
This theorem is referenced by:  sconnpht2  32545
  Copyright terms: Public domain W3C validator