MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcophtb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcophtb 25042
Description: The path homotopy equivalence relation on two paths 𝐹, 𝐺 with the same start and end point can be written in terms of the loop 𝐹𝐺 formed by concatenating 𝐹 with the inverse of 𝐺. Thus, all the homotopy information in ph𝐽 is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcophtb.h 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
pcophtb.p 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
pcophtb.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.g (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
pcophtb.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
Assertion
Ref Expression
pcophtb (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃𝐹( ≃ph𝐽)𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem pcophtb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcer 25007 . . . 4 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
21a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
3 pcophtb.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
4 pcophtb.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcophtb.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
65pcorevcl 25038 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
87simp2d 1140 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐺‘1))
93, 8eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
107simp1d 1139 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
1110, 4pco0 25027 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐻‘0))
129, 11eqtr4d 2769 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
1312adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
14 pcophtb.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
162, 15erref 8744 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐹)
17 eqid 2726 . . . . . . . 8 ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
185, 17pcorev 25040 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
194, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
2019adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
2113, 16, 20pcohtpy 25033 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)})))
223adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
2317pcopt2 25036 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)) → (𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph𝐽)𝐹)
2415, 22, 23syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph𝐽)𝐹)
252, 21, 24ertrd 8740 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)𝐹)
2610adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
274adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
289adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
297simp3d 1141 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
3029adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
31 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
3215, 26, 27, 28, 30, 31pcoass 25037 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺)))
3314, 10pco1 25028 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐻‘1))
3433, 29eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
3534adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
36 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
372, 27erref 8744 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐺( ≃ph𝐽)𝐺)
3835, 36, 37pcohtpy 25033 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝑃(*𝑝𝐽)𝐺))
392, 32, 38ertr3d 8742 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)(𝑃(*𝑝𝐽)𝐺))
40 pcophtb.0 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
4140adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
4241eqcomd 2732 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐺‘0) = (𝐹‘0))
43 pcophtb.p . . . . . 6 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
4443pcopt 25035 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘0)) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝐺)
4527, 42, 44syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝑃(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝐺)
462, 39, 45ertrd 8740 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐺))( ≃ph𝐽)𝐺)
472, 25, 46ertr3d 8742 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
481a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
499adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
50 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
5110adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
5248, 51erref 8744 . . . 4 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → 𝐻( ≃ph𝐽)𝐻)
5349, 50, 52pcohtpy 25033 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))
54 eqid 2726 . . . . . . 7 ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)})
555, 54pcorev2 25041 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
564, 55syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
5740sneqd 4636 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝐹‘0)} = {(𝐺‘0)})
5857xpeq2d 5703 . . . . . 6 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
5943, 58eqtrid 2778 . . . . 5 (𝜑𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
6056, 59breqtrrd 5172 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6160adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6248, 53, 61ertrd 8740 . 2 ((𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃)
6347, 62impbida 799 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)𝑃𝐹( ≃ph𝐽)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5144  cmpt 5227   × cxp 5671  cfv 6544  (class class class)co 7414   Er wer 8721  0cc0 11147  1c1 11148   + caddc 11150   · cmul 11152  cle 11288  cmin 11483   / cdiv 11910  2c2 12311  4c4 12313  [,]cicc 13373   Cn ccn 23214  IIcii 24881  phcphtpc 24981  *𝑝cpco 25013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-rest 17430  df-topn 17431  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-topgen 17451  df-pt 17452  df-prds 17455  df-xrs 17510  df-qtop 17515  df-imas 17516  df-xps 17518  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cld 23009  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-xms 24312  df-ms 24313  df-tms 24314  df-ii 24883  df-htpy 24982  df-phtpy 24983  df-phtpc 25004  df-pco 25018
This theorem is referenced by:  sconnpht2  35077
  Copyright terms: Public domain W3C validator