Theorem pcophtb 24098

Description: The path homotopy equivalence relation on two paths 𝐹, 𝐺 with the same start and end point can be written in terms of the loop 𝐹 − 𝐺 formed by concatenating 𝐹 with the inverse of 𝐺. Thus, all the homotopy information in ≃_ph‘𝐽 is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcophtb.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
pcophtb.p	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
pcophtb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
pcophtb.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))

Assertion

Ref	Expression
pcophtb	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem pcophtb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcer 24064	. . . 4 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
3		pcophtb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
4		pcophtb.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5		pcophtb.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
6	5	pcorevcl 24094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
8	7	simp2d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐺‘1))
9	3, 8	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
10	7	simp1d 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
11	10, 4	pco0 24083	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐻‘0))
12	9, 11	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
14		pcophtb.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
16	2, 15	erref 8476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐹)
17		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
18	5, 17	pcorev 24096	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
21	13, 16, 20	pcohtpy 24089	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)})))
22	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
23	17	pcopt2 24092	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
24	15, 22, 23	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
25	2, 21, 24	ertrd 8472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
26	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
27	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
28	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
29	7	simp3d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
31		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
32	15, 26, 27, 28, 30, 31	pcoass 24093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)))
33	14, 10	pco1 24084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐻‘1))
34	33, 29	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
37	2, 27	erref 8476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐺)
38	35, 36, 37	pcohtpy 24089	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
39	2, 32, 38	ertr3d 8474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
40		pcophtb.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
41	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
42	41	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐺‘0) = (𝐹‘0))
43		pcophtb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
44	43	pcopt 24091	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘0)) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
45	27, 42, 44	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
46	2, 39, 45	ertrd 8472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐺)
47	2, 25, 46	ertr3d 8474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
48	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
49	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
50		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
51	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
52	48, 51	erref 8476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻( ≃ph‘𝐽)𝐻)
53	49, 50, 52	pcohtpy 24089	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)(𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻))
54		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)})
55	5, 54	pcorev2 24097	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
56	4, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
57	40	sneqd 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘0)} = {(𝐺‘0)})
58	57	xpeq2d 5610	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
59	43, 58	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
60	56, 59	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
61	60	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
62	48, 53, 61	ertrd 8472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
63	47, 62	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   Er wer 8453  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  4c4 11960  [,]cicc 13011   Cn ccn 22283  IIcii 23944   ≃_phcphtpc 24038  *_𝑝cpco 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-ii 23946  df-htpy 24039  df-phtpy 24040  df-phtpc 24061  df-pco 24074

This theorem is referenced by:  sconnpht2  33100