MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcophtb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcophtb 24536
Description: The path homotopy equivalence relation on two paths ๐น, ๐บ with the same start and end point can be written in terms of the loop ๐น โˆ’ ๐บ formed by concatenating ๐น with the inverse of ๐บ. Thus, all the homotopy information in โ‰ƒphโ€˜๐ฝ is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcophtb.h ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐บโ€˜(1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
pcophtb.p ๐‘ƒ = ((0[,]1) ร— {(๐นโ€˜0)})
pcophtb.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcophtb.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcophtb.0 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜0) = (๐บโ€˜0))
pcophtb.1 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1))
Assertion
Ref Expression
pcophtb (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ โ†” ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ฝ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐ป(๐‘ฅ)

Proof of Theorem pcophtb
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcer 24502 . . . 4 ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ)
21a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ))
3 pcophtb.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1))
4 pcophtb.g . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
5 pcophtb.h . . . . . . . . . . 11 ๐ป = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐บโ€˜(1 โˆ’ ๐‘ฅ)))
65pcorevcl 24532 . . . . . . . . . 10 (๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐ปโ€˜0) = (๐บโ€˜1) โˆง (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0)))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐ปโ€˜0) = (๐บโ€˜1) โˆง (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0)))
87simp2d 1143 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜0) = (๐บโ€˜1))
93, 8eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐ปโ€˜0))
107simp1d 1142 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
1110, 4pco0 24521 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜0) = (๐ปโ€˜0))
129, 11eqtr4d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = ((๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜0))
1312adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜1) = ((๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜0))
14 pcophtb.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
162, 15erref 8719 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
17 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}) = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)})
185, 17pcorev 24534 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))
194, 18syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))
2019adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))
2113, 16, 20pcohtpy 24527 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)})))
223adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1))
2317pcopt2 24530 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜1)) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
2415, 22, 23syl2anc 584 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜1)}))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
252, 21, 24ertrd 8715 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐น)
2610adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
274adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
289adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐ปโ€˜0))
297simp3d 1144 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
3029adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐ปโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
31 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 2), if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 4), (2 ยท ๐‘ฆ), (๐‘ฆ + (1 / 4))), ((๐‘ฆ / 2) + (1 / 2)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 2), if(๐‘ฆ โ‰ค (1 / 4), (2 ยท ๐‘ฆ), (๐‘ฆ + (1 / 4))), ((๐‘ฆ / 2) + (1 / 2))))
3215, 26, 27, 28, 30, 31pcoass 24531 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)))
3314, 10pco1 24522 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)โ€˜1) = (๐ปโ€˜1))
3433, 29eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)โ€˜1) = (๐บโ€˜0))
3534adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)โ€˜1) = (๐บโ€˜0))
36 simpr 485 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
372, 27erref 8719 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐บ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
3835, 36, 37pcohtpy 24527 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))
392, 32, 38ertr3d 8717 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))
40 pcophtb.0 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜0) = (๐บโ€˜0))
4140adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐นโ€˜0) = (๐บโ€˜0))
4241eqcomd 2738 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐บโ€˜0) = (๐นโ€˜0))
43 pcophtb.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = ((0[,]1) ร— {(๐นโ€˜0)})
4443pcopt 24529 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐บโ€˜0) = (๐นโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
4527, 42, 44syl2anc 584 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
462, 39, 45ertrd 8715 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)(๐ป(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ))( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
472, 25, 46ertr3d 8717 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ) โ†’ ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
481a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ))
499adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐ปโ€˜0))
50 simpr 485 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ)
5110adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ๐ป โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
5248, 51erref 8719 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ ๐ป( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐ป)
5349, 50, 52pcohtpy 24527 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)(๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป))
54 eqid 2732 . . . . . . 7 ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}) = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)})
555, 54pcorev2 24535 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
564, 55syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
5740sneqd 4639 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {(๐นโ€˜0)} = {(๐บโ€˜0)})
5857xpeq2d 5705 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((0[,]1) ร— {(๐นโ€˜0)}) = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
5943, 58eqtrid 2784 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((0[,]1) ร— {(๐บโ€˜0)}))
6056, 59breqtrrd 5175 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
6160adantr 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐บ(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
6248, 53, 61ertrd 8715 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ) โ†’ (๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ)
6347, 62impbida 799 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐ป)( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ƒ โ†” ๐น( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  4c4 12265  [,]cicc 13323   Cn ccn 22719  IIcii 24382   โ‰ƒphcphtpc 24476  *๐‘cpco 24507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-ii 24384  df-htpy 24477  df-phtpy 24478  df-phtpc 24499  df-pco 24512
This theorem is referenced by:  sconnpht2  34217
  Copyright terms: Public domain W3C validator