Theorem pcophtb 23205

Description: The path homotopy equivalence relation on two paths 𝐹, 𝐺 with the same start and end point can be written in terms of the loop 𝐹 − 𝐺 formed by concatenating 𝐹 with the inverse of 𝐺. Thus, all the homotopy information in ≃_ph‘𝐽 is available if we restrict our attention to closed loops, as in the definition of the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcophtb.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
pcophtb.p	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
pcophtb.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcophtb.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
pcophtb.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))

Assertion

Ref	Expression
pcophtb	⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem pcophtb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcer 23171	. . . 4 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
3		pcophtb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
4		pcophtb.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5		pcophtb.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
6	5	pcorevcl 23201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = (𝐺‘1) ∧ (𝐻‘1) = (𝐺‘0)))
8	7	simp2d 1177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = (𝐺‘1))
9	3, 8	eqtr4d 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
10	7	simp1d 1176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
11	10, 4	pco0 23190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0) = (𝐻‘0))
12	9, 11	eqtr4d 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
13	12	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘0))
14		pcophtb.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
15	14	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
16	2, 15	erref 8034	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐹)
17		eqid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
18	5, 17	pcorev 23203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
20	19	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
21	13, 16, 20	pcohtpy 23196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)})))
22	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
23	17	pcopt2 23199	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
24	15, 22, 23	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
25	2, 21, 24	ertrd 8030	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐹)
26	10	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
27	4	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
28	9	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
29	7	simp3d 1178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
30	29	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐻‘1) = (𝐺‘0))
31		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
32	15, 26, 27, 28, 30, 31	pcoass 23200	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺)))
33	14, 10	pco1 23191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐻‘1))
34	33, 29	eqtrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
35	34	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)‘1) = (𝐺‘0))
36		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
37	2, 27	erref 8034	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐺)
38	35, 36, 37	pcohtpy 23196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
39	2, 32, 38	ertr3d 8032	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)(𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺))
40		pcophtb.0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
41	40	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
42	41	eqcomd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐺‘0) = (𝐹‘0))
43		pcophtb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
44	43	pcopt 23198	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘0)) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
45	27, 42, 44	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝑃(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝐺)
46	2, 39, 45	ertrd 8030	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐺))( ≃ph‘𝐽)𝐺)
47	2, 25, 46	ertr3d 8032	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
48	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
49	9	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹‘1) = (𝐻‘0))
50		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)
51	10	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
52	48, 51	erref 8034	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → 𝐻( ≃ph‘𝐽)𝐻)
53	49, 50, 52	pcohtpy 23196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)(𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻))
54		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)})
55	5, 54	pcorev2 23204	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
56	4, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
57	40	sneqd 4411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘0)} = {(𝐺‘0)})
58	57	xpeq2d 5376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
59	43, 58	syl5eq 2873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐺‘0)}))
60	56, 59	breqtrrd 4903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
61	60	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐺(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
62	48, 53, 61	ertrd 8030	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃)
63	47, 62	impbida 835	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐻)( ≃ph‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ifcif 4308  {csn 4399   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954   × cxp 5344  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   Er wer 8011  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   ≤ cle 10399   − cmin 10592   / cdiv 11016  2c2 11413  4c4 11415  [,]cicc 12473   Cn ccn 21406  IIcii 23055   ≃_phcphtpc 23145  *_𝑝cpco 23176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-ii 23057  df-htpy 23146  df-phtpy 23147  df-phtpc 23168  df-pco 23181

This theorem is referenced by:  sconnpht2  31762