Theorem om1addcl 24933

Description: Closure of the group operation of the loop space. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om1bas.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
om1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
om1addcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
om1addcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
om1addcl	⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem om1addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om1addcl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
2		om1bas.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
3		om1bas.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		om1bas.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
5		om1bas.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
6	2, 3, 4, 5	om1elbas 24932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = 𝑌 ∧ (𝐻‘1) = 𝑌)))
7	1, 6	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = 𝑌 ∧ (𝐻‘1) = 𝑌))
8	7	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
9		om1addcl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 4, 5	om1elbas 24932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝐵 ↔ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐾‘0) = 𝑌 ∧ (𝐾‘1) = 𝑌)))
11	9, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐾‘0) = 𝑌 ∧ (𝐾‘1) = 𝑌))
12	11	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13	7	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = 𝑌)
14	11	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑌)
15	13, 14	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
16	8, 12, 15	pcocn 24917	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
17	8, 12	pco0 24914	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = (𝐻‘0))
18	7	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑌)
19	17, 18	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = 𝑌)
20	8, 12	pco1 24915	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
21	11	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘1) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = 𝑌)
23	2, 3, 4, 5	om1elbas 24932	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = 𝑌 ∧ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = 𝑌)))
24	16, 19, 22, 23	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069  Basecbs 17179  TopOnctopon 22797   Cn ccn 23111  IIcii 24768  *_𝑝cpco 24900   Ω₁ comi 24901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-ii 24770  df-pco 24905  df-om1 24906

This theorem is referenced by:  pi1cpbl  24944  pi1addf  24947  pi1addval  24948  pi1grplem  24949