Theorem om1addcl 25097

Description: Closure of the group operation of the loop space. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om1bas.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
om1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
om1addcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
om1addcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
om1addcl	⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem om1addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om1addcl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
2		om1bas.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
3		om1bas.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		om1bas.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
5		om1bas.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
6	2, 3, 4, 5	om1elbas 25096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = 𝑌 ∧ (𝐻‘1) = 𝑌)))
7	1, 6	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = 𝑌 ∧ (𝐻‘1) = 𝑌))
8	7	simp1d 1156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
9		om1addcl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 4, 5	om1elbas 25096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝐵 ↔ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐾‘0) = 𝑌 ∧ (𝐾‘1) = 𝑌)))
11	9, 10	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐾‘0) = 𝑌 ∧ (𝐾‘1) = 𝑌))
12	11	simp1d 1156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13	7	simp3d 1158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = 𝑌)
14	11	simp2d 1157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑌)
15	13, 14	eqtr4d 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
16	8, 12, 15	pcocn 25081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
17	8, 12	pco0 25078	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = (𝐻‘0))
18	7	simp2d 1157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑌)
19	17, 18	eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = 𝑌)
20	8, 12	pco1 25079	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
21	11	simp3d 1158	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘1) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = 𝑌)
23	2, 3, 4, 5	om1elbas 25096	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = 𝑌 ∧ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = 𝑌)))
24	16, 19, 22, 23	mpbir3and 1357	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  1c1 11076  Basecbs 17247  TopOnctopon 22972   Cn ccn 23286  IIcii 24939  *_𝑝cpco 25064   Ω₁ comi 25065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-pt 17475  df-prds 17478  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-xps 17542  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-mulg 19112  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cld 23081  df-cn 23289  df-cnp 23290  df-tx 23624  df-hmeo 23817  df-xms 24382  df-ms 24383  df-tms 24384  df-ii 24941  df-pco 25069  df-om1 25070

This theorem is referenced by:  pi1cpbl  25108  pi1addf  25111  pi1addval  25112  pi1grplem  25113