Theorem om1addcl 24931

Description: Closure of the group operation of the loop space. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om1bas.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
om1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
om1addcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
om1addcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
om1addcl	⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem om1addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om1addcl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
2		om1bas.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
3		om1bas.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		om1bas.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
5		om1bas.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
6	2, 3, 4, 5	om1elbas 24930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = 𝑌 ∧ (𝐻‘1) = 𝑌)))
7	1, 6	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = 𝑌 ∧ (𝐻‘1) = 𝑌))
8	7	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
9		om1addcl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 4, 5	om1elbas 24930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝐵 ↔ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐾‘0) = 𝑌 ∧ (𝐾‘1) = 𝑌)))
11	9, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐾‘0) = 𝑌 ∧ (𝐾‘1) = 𝑌))
12	11	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13	7	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = 𝑌)
14	11	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑌)
15	13, 14	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
16	8, 12, 15	pcocn 24915	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
17	8, 12	pco0 24912	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = (𝐻‘0))
18	7	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑌)
19	17, 18	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = 𝑌)
20	8, 12	pco1 24913	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
21	11	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘1) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = 𝑌)
23	2, 3, 4, 5	om1elbas 24930	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = 𝑌 ∧ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = 𝑌)))
24	16, 19, 22, 23	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010  Basecbs 17120  TopOnctopon 22795   Cn ccn 23109  IIcii 24766  *_𝑝cpco 24898   Ω₁ comi 24899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-ii 24768  df-pco 24903  df-om1 24904

This theorem is referenced by:  pi1cpbl  24942  pi1addf  24945  pi1addval  24946  pi1grplem  24947