Theorem om1addcl 23240

Description: Closure of the group operation of the loop space. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om1bas.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
om1bas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
om1addcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
om1addcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
om1addcl	⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem om1addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om1addcl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
2		om1bas.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
3		om1bas.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		om1bas.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
5		om1bas.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑂))
6	2, 3, 4, 5	om1elbas 23239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ 𝐵 ↔ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = 𝑌 ∧ (𝐻‘1) = 𝑌)))
7	1, 6	mpbid 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻‘0) = 𝑌 ∧ (𝐻‘1) = 𝑌))
8	7	simp1d 1133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
9		om1addcl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 4, 5	om1elbas 23239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝐵 ↔ (𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐾‘0) = 𝑌 ∧ (𝐾‘1) = 𝑌)))
11	9, 10	mpbid 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐾‘0) = 𝑌 ∧ (𝐾‘1) = 𝑌))
12	11	simp1d 1133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13	7	simp3d 1135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = 𝑌)
14	11	simp2d 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘0) = 𝑌)
15	13, 14	eqtr4d 2817	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
16	8, 12, 15	pcocn 23224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
17	8, 12	pco0 23221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = (𝐻‘0))
18	7	simp2d 1134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑌)
19	17, 18	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = 𝑌)
20	8, 12	pco1 23222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = (𝐾‘1))
21	11	simp3d 1135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘1) = 𝑌)
22	20, 21	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = 𝑌)
23	2, 3, 4, 5	om1elbas 23239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘0) = 𝑌 ∧ ((𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)‘1) = 𝑌)))
24	16, 19, 22, 23	mpbir3and 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273  Basecbs 16255  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436  IIcii 23086  *_𝑝cpco 23207   Ω₁ comi 23208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-ii 23088  df-pco 23212  df-om1 23213

This theorem is referenced by:  pi1cpbl  23251  pi1addf  23254  pi1addval  23255  pi1grplem  23256