Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sconnpht2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sconnpht2 32542
 Description: Any two paths in a simply connected space with the same start and end point are path-homotopic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sconnpht2.1 (𝜑𝐽 ∈ SConn)
sconnpht2.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
sconnpht2.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
sconnpht2.4 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
sconnpht2.5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
Assertion
Ref Expression
sconnpht2 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)

Proof of Theorem sconnpht2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpht2.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ SConn)
2 sconnpht2.2 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 sconnpht2.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
54pcorevcl 23633 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0)))
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0)))
76simp1d 1139 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8 sconnpht2.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
96simp2d 1140 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1))
108, 9eqtr4d 2862 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0))
112, 7, 10pcocn 23625 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))) ∈ (II Cn 𝐽))
122, 7pco0 23622 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = (𝐹‘0))
132, 7pco1 23623 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1))
14 sconnpht2.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
156simp3d 1141 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0))
1614, 15eqtr4d 2862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1))
1713, 16eqtr4d 2862 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1) = (𝐹‘0))
1812, 17eqtr4d 2862 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1))
19 sconnpht 32533 . . . 4 ((𝐽 ∈ SConn ∧ (𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1)) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}))
201, 11, 18, 19syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}))
2112sneqd 4562 . . . 4 (𝜑 → {((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)} = {(𝐹‘0)})
2221xpeq2d 5572 . . 3 (𝜑 → ((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
2320, 22breqtrd 5078 . 2 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
24 eqid 2824 . . 3 ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
254, 24, 2, 3, 14, 8pcophtb 23637 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) ↔ 𝐹( ≃ph𝐽)𝐺))
2623, 25mpbid 235 1 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {csn 4550   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132   × cxp 5540  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   − cmin 10868  [,]cicc 12738   Cn ccn 21832  IIcii 23483   ≃phcphtpc 23577  *𝑝cpco 23608  SConncsconn 32524 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-ii 23485  df-htpy 23578  df-phtpy 23579  df-phtpc 23600  df-pco 23613  df-sconn 32526 This theorem is referenced by:  cvmlift3lem1  32623
 Copyright terms: Public domain W3C validator