Theorem sconnpht2 35771

Description: Any two paths in a simply connected space with the same start and end point are path-homotopic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sconnpht2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ SConn)
sconnpht2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
sconnpht2.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
sconnpht2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
sconnpht2.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))

Assertion

Ref	Expression
sconnpht2	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)

Proof of Theorem sconnpht2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconnpht2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ SConn)
2		sconnpht2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		sconnpht2.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
5	4	pcorevcl 25239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0)))
6	3, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0)))
7	6	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8		sconnpht2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
9	6	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1))
10	8, 9	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0))
11	2, 7, 10	pcocn 25231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))) ∈ (II Cn 𝐽))
12	2, 7	pco0 25228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = (𝐹‘0))
13	2, 7	pco1 25229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1))
14		sconnpht2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
15	6	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0))
16	14, 15	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1))
17	13, 16	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1) = (𝐹‘0))
18	12, 17	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1))
19		sconnpht 35762	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ SConn ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}))
20	1, 11, 18, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}))
21	12	sneqd 4603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)} = {(𝐹‘0)})
22	21	xpeq2d 5693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
23	20, 22	breqtrd 5139	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
24		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
25	4, 24, 2, 3, 14, 8	pcophtb 25243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))
26	23, 25	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120   − cmin 11460  [,]cicc 13395   Cn ccn 23435  IIcii 25089   ≃_phcphtpc 25183  *_𝑝cpco 25214  SConncsconn 35753

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-q 12993  df-rp 13037  df-xneg 13157  df-xadd 13158  df-xmul 13159  df-ioo 13396  df-icc 13399  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-hom 17360  df-cco 17361  df-rest 17501  df-topn 17502  df-0g 17520  df-gsum 17521  df-topgen 17522  df-pt 17523  df-prds 17526  df-xrs 17582  df-qtop 17587  df-imas 17588  df-xps 17590  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-mulg 19182  df-cntz 19435  df-cmn 19900  df-psmet 21568  df-xmet 21569  df-met 21570  df-bl 21571  df-mopn 21572  df-cnfld 21577  df-top 23105  df-topon 23122  df-topsp 23144  df-bases 23157  df-cld 23230  df-cn 23438  df-cnp 23439  df-tx 23774  df-hmeo 23967  df-xms 24532  df-ms 24533  df-tms 24534  df-ii 25091  df-htpy 25184  df-phtpy 25185  df-phtpc 25206  df-pco 25219  df-sconn 35755

This theorem is used by:  cvmlift3lem1  35852