Theorem sconnpht2 35260

Description: Any two paths in a simply connected space with the same start and end point are path-homotopic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sconnpht2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ SConn)
sconnpht2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
sconnpht2.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
sconnpht2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
sconnpht2.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))

Assertion

Ref	Expression
sconnpht2	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)

Proof of Theorem sconnpht2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconnpht2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ SConn)
2		sconnpht2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		sconnpht2.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
5	4	pcorevcl 24976	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0)))
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0)))
7	6	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8		sconnpht2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
9	6	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1))
10	8, 9	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0))
11	2, 7, 10	pcocn 24968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))) ∈ (II Cn 𝐽))
12	2, 7	pco0 24965	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = (𝐹‘0))
13	2, 7	pco1 24966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1))
14		sconnpht2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
15	6	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0))
16	14, 15	eqtr4d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1))
17	13, 16	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1) = (𝐹‘0))
18	12, 17	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1))
19		sconnpht 35251	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ SConn ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}))
20	1, 11, 18, 19	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}))
21	12	sneqd 4613	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)} = {(𝐹‘0)})
22	21	xpeq2d 5684	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
23	20, 22	breqtrd 5145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
24		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
25	4, 24, 2, 3, 14, 8	pcophtb 24980	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))
26	23, 25	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4601   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   − cmin 11466  [,]cicc 13365   Cn ccn 23162  IIcii 24819   ≃_phcphtpc 24919  *_𝑝cpco 24951  SConncsconn 35242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-ii 24821  df-htpy 24920  df-phtpy 24921  df-phtpc 24942  df-pco 24956  df-sconn 35244

This theorem is referenced by:  cvmlift3lem1  35341