Theorem sconnpht2 35221

Description: Any two paths in a simply connected space with the same start and end point are path-homotopic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sconnpht2.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ SConn)
sconnpht2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
sconnpht2.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
sconnpht2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
sconnpht2.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))

Assertion

Ref	Expression
sconnpht2	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)

Proof of Theorem sconnpht2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconnpht2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ SConn)
2		sconnpht2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3		sconnpht2.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))
5	4	pcorevcl 24923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0)))
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1) ∧ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0)))
7	6	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
8		sconnpht2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
9	6	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0) = (𝐺‘1))
10	8, 9	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘0))
11	2, 7, 10	pcocn 24915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))) ∈ (II Cn 𝐽))
12	2, 7	pco0 24912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = (𝐹‘0))
13	2, 7	pco1 24913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1))
14		sconnpht2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
15	6	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1) = (𝐺‘0))
16	14, 15	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))‘1))
17	13, 16	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1) = (𝐹‘0))
18	12, 17	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1))
19		sconnpht 35212	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ SConn ∧ (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥)))) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0) = ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘1)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}))
20	1, 11, 18, 19	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}))
21	12	sneqd 4589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)} = {(𝐹‘0)})
22	21	xpeq2d 5649	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
23	20, 22	breqtrd 5118	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
24		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
25	4, 24, 2, 3, 14, 8	pcophtb 24927	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑥))))( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘0)}) ↔ 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺))
26	23, 25	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   − cmin 11347  [,]cicc 13251   Cn ccn 23109  IIcii 24766   ≃_phcphtpc 24866  *_𝑝cpco 24898  SConncsconn 35203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-ii 24768  df-htpy 24867  df-phtpy 24868  df-phtpc 24889  df-pco 24903  df-sconn 35205

This theorem is referenced by:  cvmlift3lem1  35302