MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem1OLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tdeglem1OLD 25574
Description: Obsolete version of tdeglem1 25573 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem1OLD (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„•0)
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑉(π‘š)
Proof of Theorem tdeglem1OLD
StepHypRef Expression
1 cnfld0 20969 . . 3 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
2 cnring 20967 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
3 ringcmn 20099 . . . 4 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
42, 3mp1i 13 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
5 simpl 484 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 nn0subm 21000 . . . 4 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
76a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
8 tdeglem.a . . . 4 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 21472 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ β„Ž:πΌβŸΆβ„•0)
108psrbagfsuppOLD 21474 . . . 4 ((β„Ž ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ β„Ž finSupp 0)
1110ancoms 460 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ β„Ž finSupp 0)
121, 4, 5, 7, 9, 11gsumsubmcl 19787 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) ∈ β„•0)
13 tdeglem.h . 2 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
1412, 13fmptd 7114 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  0cc0 11110  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472   Ξ£g cgsu 17386  SubMndcsubmnd 18670  CMndccmn 19648  Ringcrg 20056  β„‚fldccnfld 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-cnfld 20945
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator