Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem1OLD 24756
 Description: Obsolete version of tdeglem1 24755 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem1OLD (𝐼𝑉𝐻:𝐴⟶ℕ0)
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem1OLD
StepHypRef Expression
1 cnfld0 20190 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
2 cnring 20188 . . . 4 fld ∈ Ring
3 ringcmn 19402 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
42, 3mp1i 13 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
5 simpl 486 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴) → 𝐼𝑉)
6 nn0subm 20221 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
76a1i 11 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
8 tdeglem.a . . . 4 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 20681 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴) → :𝐼⟶ℕ0)
108psrbagfsuppOLD 20683 . . . 4 ((𝐴𝐼𝑉) → finSupp 0)
1110ancoms 462 . . 3 ((𝐼𝑉𝐴) → finSupp 0)
121, 4, 5, 7, 9, 11gsumsubmcl 19107 . 2 ((𝐼𝑉𝐴) → (ℂfld Σg ) ∈ ℕ0)
13 tdeglem.h . 2 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
1412, 13fmptd 6869 1 (𝐼𝑉𝐻:𝐴⟶ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ◡ccnv 5523   “ cima 5527  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8416  Fincfn 8527   finSupp cfsupp 8866  0cc0 10575  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934   Σg cgsu 16772  SubMndcsubmnd 18021  CMndccmn 18973  Ringcrg 19365  ℂfldccnfld 20166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-cnfld 20167 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator