HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem3b 32294
Description: Lemma for cdj3i 32295. The second-component function ๐‘‡ is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 31-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.2 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem3.3 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem3b (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐‘‡,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem cdj3lem3b
Dummy variables ๐‘ก โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.2 . . 3 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
2 cdj3lem2.1 . . 3 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
3 cdj3lem3.3 . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
41, 2shscomi 31217 . . . . 5 (๐ต +โ„‹ ๐ด) = (๐ด +โ„‹ ๐ต)
51sheli 31068 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
62sheli 31068 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
7 ax-hvcom 30855 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค))
85, 6, 7syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค))
98eqeq2d 2736 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
109rexbidva 3167 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
1110riotabiia 7393 . . . . 5 (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง)) = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค))
124, 11mpteq12i 5249 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
133, 12eqtr4i 2756 . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง)))
141, 2, 13cdj3lem2b 32291 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
15 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
1615oveq1d 7431 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
17 fvoveq1 7439 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))
1817oveq2d 7432 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))))
1916, 18breq12d 5156 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
20 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2120oveq2d 7432 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
22 oveq2 7424 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
2322fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
2423oveq2d 7432 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
2521, 24breq12d 5156 . . . . . 6 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
2619, 25cbvral2vw 3229 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
27 ralcom 3277 . . . . 5 (โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
281sheli 31068 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
29 normcl 30979 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3130recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
322sheli 31068 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
33 normcl 30979 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
3534recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
36 addcom 11430 . . . . . . . . . 10 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3731, 35, 36syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
38 ax-hvcom 30855 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))
3928, 32, 38syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))
4039fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ)))
4140oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))))
4237, 41breq12d 5156 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ)))))
4342ralbidva 3166 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ)))))
4443ralbiia 3081 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))))
45 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
4645oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
47 oveq2 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž))
4847fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž)))
4948oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž))))
5046, 49breq12d 5156 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž)))))
51 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
5251oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
53 fvoveq1 7439 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
5453oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5552, 54breq12d 5156 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5650, 55cbvral2vw 3229 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5744, 56bitr2i 275 . . . . 5 (โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))
5826, 27, 573bitri 296 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))
5958anbi2i 621 . . 3 ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†” (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
6059rexbii 3084 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
612, 1shscomi 31217 . . . . 5 (๐ด +โ„‹ ๐ต) = (๐ต +โ„‹ ๐ด)
6261raleqi 3313 . . . 4 (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))
6362anbi2i 621 . . 3 ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†” (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
6463rexbii 3084 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
6514, 60, 643imtr4i 291 1 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6543  โ„ฉcrio 7371  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279   โ„‹chba 30773   +โ„Ž cva 30774  normโ„Žcno 30777   Sโ„‹ csh 30782   +โ„‹ cph 30785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-hilex 30853  ax-hfvadd 30854  ax-hvcom 30855  ax-hvass 30856  ax-hv0cl 30857  ax-hvaddid 30858  ax-hfvmul 30859  ax-hvmulid 30860  ax-hvmulass 30861  ax-hvdistr1 30862  ax-hvdistr2 30863  ax-hvmul0 30864  ax-hfi 30933  ax-his1 30936  ax-his3 30938  ax-his4 30939
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-grpo 30347  df-ablo 30399  df-hnorm 30822  df-hvsub 30825  df-sh 31061  df-ch0 31107  df-shs 31162
This theorem is referenced by:  cdj3i  32295
  Copyright terms: Public domain W3C validator