HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cdj3lem3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdj3lem3b 32202
Description: Lemma for cdj3i 32203. The second-component function ๐‘‡ is bounded if the subspaces are completely disjoint. (Contributed by NM, 31-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdj3lem2.1 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem2.2 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
cdj3lem3.3 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
Assertion
Ref Expression
cdj3lem3b (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข   ๐‘ฃ,๐‘‡,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem cdj3lem3b
Dummy variables ๐‘ก โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdj3lem2.2 . . 3 ๐ต โˆˆ Sโ„‹
2 cdj3lem2.1 . . 3 ๐ด โˆˆ Sโ„‹
3 cdj3lem3.3 . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
41, 2shscomi 31125 . . . . 5 (๐ต +โ„‹ ๐ด) = (๐ด +โ„‹ ๐ต)
51sheli 30976 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‹)
62sheli 30976 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
7 ax-hvcom 30763 . . . . . . . . 9 ((๐‘ค โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค))
85, 6, 7syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง) = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค))
98eqeq2d 2737 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
109rexbidva 3170 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
1110riotabiia 7382 . . . . 5 (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง)) = (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค))
124, 11mpteq12i 5247 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ง +โ„Ž ๐‘ค)))
133, 12eqtr4i 2757 . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ = (๐‘ค +โ„Ž ๐‘ง)))
141, 2, 13cdj3lem2b 32199 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
15 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
1615oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
17 fvoveq1 7428 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))
1817oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))))
1916, 18breq12d 5154 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
20 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
2120oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
22 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))
2322fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
2423oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
2521, 24breq12d 5154 . . . . . 6 (๐‘ฆ = โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
2619, 25cbvral2vw 3232 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
27 ralcom 3280 . . . . 5 (โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
281sheli 30976 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
29 normcl 30887 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3130recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
322sheli 30976 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
33 normcl 30887 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
3534recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
36 addcom 11404 . . . . . . . . . 10 (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
3731, 35, 36syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
38 ax-hvcom 30763 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))
3928, 32, 38syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))
4039fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ)))
4140oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))))
4237, 41breq12d 5154 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ)))))
4342ralbidva 3169 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ)))))
4443ralbiia 3085 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))))
45 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (normโ„Žโ€˜โ„Ž))
4645oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
47 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž))
4847fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž)))
4948oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž))))
5046, 49breq12d 5154 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โ„Ž โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž)))))
51 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (normโ„Žโ€˜๐‘ก))
5251oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) = ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)))
53 fvoveq1 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))
5453oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž))) = (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5552, 54breq12d 5154 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘ก โ†’ (((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž โ„Ž))) โ†” ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž)))))
5650, 55cbvral2vw 3232 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฆ +โ„Ž ๐‘ฅ))) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))))
5744, 56bitr2i 276 . . . . 5 (โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ก โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ก) + (normโ„Žโ€˜โ„Ž)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ก +โ„Ž โ„Ž))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))
5826, 27, 573bitri 297 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ))))
5958anbi2i 622 . . 3 ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†” (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
6059rexbii 3088 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))))
612, 1shscomi 31125 . . . . 5 (๐ด +โ„‹ ๐ต) = (๐ต +โ„‹ ๐ด)
6261raleqi 3317 . . . 4 (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)) โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข)))
6362anbi2i 622 . . 3 ((0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†” (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
6463rexbii 3088 . 2 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต +โ„‹ ๐ด)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
6514, 60, 643imtr4i 292 1 (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) + (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘ฅ +โ„Ž ๐‘ฆ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฃ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ด +โ„‹ ๐ต)(normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ข)) โ‰ค (๐‘ฃ ยท (normโ„Žโ€˜๐‘ข))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  โ„ฉcrio 7360  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โ„‹chba 30681   +โ„Ž cva 30682  normโ„Žcno 30685   Sโ„‹ csh 30690   +โ„‹ cph 30693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his3 30846  ax-his4 30847
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-grpo 30255  df-ablo 30307  df-hnorm 30730  df-hvsub 30733  df-sh 30969  df-ch0 31015  df-shs 31070
This theorem is referenced by:  cdj3i  32203
  Copyright terms: Public domain W3C validator