MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0wlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0wlk 28508
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a walk iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0wlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0wlk (𝐺𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0wlk
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0wlk.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2733 . . 3 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31, 2iswlkg 28008 . 2 (𝐺𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))))
4 ral0 4446 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
5 hash0 14110 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
65oveq2i 7306 . . . . . . 7 (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
7 fzo0 13439 . . . . . . 7 (0..^0) = ∅
86, 7eqtri 2761 . . . . . 6 (0..^(♯‘∅)) = ∅
98raleqi 3348 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
104, 9mpbir 230 . . . 4 𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
1110biantru 529 . . 3 ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
125eqcomi 2742 . . . . . 6 0 = (♯‘∅)
1312oveq2i 7306 . . . . 5 (0...0) = (0...(♯‘∅))
1413feq2i 6610 . . . 4 (𝑃:(0...0)⟶𝑉𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉)
15 wrd0 14270 . . . . 5 ∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)
1615biantrur 530 . . . 4 (𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
1714, 16bitri 274 . . 3 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
18 df-3an 1087 . . 3 ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
1911, 17, 183bitr4ri 303 . 2 ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
203, 19bitrdi 286 1 (𝐺𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  if-wif 1059  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  wral 3059  wss 3889  c0 4259  {csn 4564  {cpr 4566   class class class wbr 5077  dom cdm 5591  wf 6443  cfv 6447  (class class class)co 7295  0cc0 10899  1c1 10900   + caddc 10902  ...cfz 13267  ..^cfzo 13410  chash 14072  Word cword 14245  Vtxcvtx 27394  iEdgciedg 27395  Walkscwlks 27991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-hash 14073  df-word 14246  df-wlks 27994
This theorem is referenced by:  is0wlk  28509  0wlkon  28512  0trl  28514  0clwlk  28522
  Copyright terms: Public domain W3C validator