MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0wlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0wlk 27289
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a walk iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
0wlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
0wlk (𝐺𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0wlk
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0wlk.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2771 . . 3 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31, 2iswlkg 26737 . 2 (𝐺𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))))
4 ral0 4217 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
5 hash0 13353 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
65oveq2i 6802 . . . . . . 7 (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
7 fzo0 12693 . . . . . . 7 (0..^0) = ∅
86, 7eqtri 2793 . . . . . 6 (0..^(♯‘∅)) = ∅
98raleqi 3291 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
104, 9mpbir 221 . . . 4 𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
1110biantru 519 . . 3 ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
125eqcomi 2780 . . . . . 6 0 = (♯‘∅)
1312oveq2i 6802 . . . . 5 (0...0) = (0...(♯‘∅))
1413feq2i 6175 . . . 4 (𝑃:(0...0)⟶𝑉𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉)
15 wrd0 13519 . . . . 5 ∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)
1615biantrur 520 . . . 4 (𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
1714, 16bitri 264 . . 3 (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
18 df-3an 1073 . . 3 ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
1911, 17, 183bitr4ri 293 . 2 ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
203, 19syl6bb 276 1 (𝐺𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  if-wif 1049  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723  c0 4063  {csn 4316  {cpr 4318   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139  ...cfz 12526  ..^cfzo 12666  chash 13314  Word cword 13480  Vtxcvtx 26088  iEdgciedg 26089  Walkscwlks 26720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-hash 13315  df-word 13488  df-wlks 26723
This theorem is referenced by:  is0wlk  27290  0wlkon  27293  0trl  27295  0clwlk  27303
  Copyright terms: Public domain W3C validator