Theorem 0wlk 30052

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a walk iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlk	⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0wlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0wlk.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	iswlkg 29548	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))))
4		ral0 4479	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
5		hash0 14339	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
6	5	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
7		fzo0 13651	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
8	6, 7	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = ∅
9	8	raleqi 3299	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
10	4, 9	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
11	10	biantru 529	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
12	5	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ 0 = (♯‘∅)
13	12	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (0...0) = (0...(♯‘∅))
14	13	feq2i 6683	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉)
15		wrd0 14511	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)
16	15	biantrur 530	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
17	14, 16	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
18		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
19	11, 17, 18	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
20	3, 19	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1062   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592  {cpr 4594   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Walkscwlks 29531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-wlks 29534

This theorem is referenced by:  is0wlk  30053  0wlkon  30056  0trl  30058  0clwlk  30066