Theorem 0wlk 28053

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a walk iff the second set contains exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 3-Jan-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0wlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0wlk	⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0wlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0wlk.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	iswlkg 27555	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))))
4		ral0 4400	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
5		hash0 13821	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
6	5	oveq2i 7182	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = (0..^0)
7		fzo0 13153	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
8	6, 7	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘∅)) = ∅
9	8	raleqi 3314	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
10	4, 9	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))
11	10	biantru 533	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
12	5	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ 0 = (♯‘∅)
13	12	oveq2i 7182	. . . . 5 ⊢ (0...0) = (0...(♯‘∅))
14	13	feq2i 6497	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉)
15		wrd0 13981	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)
16	15	biantrur 534	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
17	14, 16	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉))
18		df-3an 1090	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
19	11, 17, 18	3bitr4ri 307	. 2 ⊢ ((∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘∅))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
20	3, 19	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑈 → (∅(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  if-wif 1062   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3053   ⊆ wss 3844  ∅c0 4212  {csn 4517  {cpr 4519   class class class wbr 5031  dom cdm 5526  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  0cc0 10616  1c1 10617   + caddc 10619  ...cfz 12982  ..^cfzo 13125  ♯chash 13783  Word cword 13956  Vtxcvtx 26941  iEdgciedg 26942  Walkscwlks 27538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-hash 13784  df-word 13957  df-wlks 27541

This theorem is referenced by:  is0wlk  28054  0wlkon  28057  0trl  28059  0clwlk  28067