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Theorem 3pthdlem1 27343
Description: Lemma 1 for 3pthd 27353. (Contributed by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
3pthdlem1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝐾(𝑗)   𝐿(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem 3pthdlem1
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 33wlkdlem3 27340 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 3wlkd.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
6 simpr1l 1290 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐵)
7 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
87adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
9 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
109adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
118, 10neeq12d 3004 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1211adantr 466 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
136, 12mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
1413a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15 simpr1r 1292 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐶)
16 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1716adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
188, 17neeq12d 3004 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
1918adantr 466 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
2015, 19mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
2120a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2214, 21jca 501 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
23 eqid 2771 . . . . . . . 8 1 = 1
24232a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) = (𝑃‘1) → 1 = 1))
2524necon3d 2964 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
26 simpr2l 1294 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐶)
2710, 17neeq12d 3004 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2827adantr 466 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2926, 28mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
3029a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
3125, 30jca 501 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
3229necomd 2998 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
3332a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
34 eqid 2771 . . . . . . . 8 2 = 2
35342a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘2) = (𝑃‘2) → 2 = 2))
3635necon3d 2964 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
37 simpr2r 1296 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐷)
38 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
3938adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘3) = 𝐷)
4010, 39neeq12d 3004 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4140adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4237, 41mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
4342necomd 2998 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))
4443a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
45 simp3 1132 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
4645necomd 2998 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐷𝐶)
4746adantl 467 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐷𝐶)
48 simpl 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘3) = 𝐷)
49 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
5048, 49neeq12d 3004 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5150ancoms 446 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5251adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5352adantr 466 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5447, 53mpbird 247 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))
5554a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
5644, 55jca 501 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
5733, 36, 56jca31 504 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
5822, 31, 57jca31 504 . . . 4 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
594, 5, 58syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
601fveq2i 6336 . . . . . . . 8 (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
61 s4len 13852 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
6260, 61eqtri 2793 . . . . . . 7 (♯‘𝑃) = 4
6362oveq2i 6806 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^4)
64 fzo0to42pr 12762 . . . . . 6 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6563, 64eqtri 2793 . . . . 5 (0..^(♯‘𝑃)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6665raleqi 3291 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
67 ralunb 3945 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))))
68 c0ex 10239 . . . . . 6 0 ∈ V
69 1ex 10240 . . . . . 6 1 ∈ V
70 neeq1 3005 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
71 fveq2 6333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
7271neeq1d 3002 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
7370, 72imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
74 neeq1 3005 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 0 ≠ 2))
7571neeq1d 3002 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
7674, 75imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
7773, 76anbi12d 616 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))))
78 neeq1 3005 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
79 fveq2 6333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
8079neeq1d 3002 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
8178, 80imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
82 neeq1 3005 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 1 ≠ 2))
8379neeq1d 3002 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
8482, 83imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
8581, 84anbi12d 616 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
8668, 69, 77, 85ralpr 4376 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
87 2ex 11297 . . . . . 6 2 ∈ V
88 3ex 11301 . . . . . 6 3 ∈ V
89 neeq1 3005 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
90 fveq2 6333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
9190neeq1d 3002 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
9289, 91imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
93 neeq1 3005 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 2))
9490neeq1d 3002 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
9593, 94imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))))
9692, 95anbi12d 616 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))))
97 neeq1 3005 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
98 fveq2 6333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘3))
9998neeq1d 3002 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
10097, 99imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))))
101 neeq1 3005 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
10298neeq1d 3002 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
103101, 102imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
104100, 103anbi12d 616 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10587, 88, 96, 104ralpr 4376 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10686, 105anbi12i 612 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10766, 67, 1063bitri 286 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10859, 107sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
1092fveq2i 6336 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
110 s3len 13847 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
111109, 110eqtri 2793 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = 3
112111oveq2i 6806 . . . . . 6 (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^3)
113 fzo13pr 12759 . . . . . 6 (1..^3) = {1, 2}
114112, 113eqtri 2793 . . . . 5 (1..^(♯‘𝐹)) = {1, 2}
115114raleqi 3291 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
116 neeq2 3006 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 1))
117 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘1))
118117neeq2d 3003 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
119116, 118imbi12d 333 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
120 neeq2 3006 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 2))
121 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑗 = 2 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘2))
122121neeq2d 3003 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))
123120, 122imbi12d 333 . . . . 5 (𝑗 = 2 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
12469, 87, 119, 123ralpr 4376 . . . 4 (∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
125115, 124bitri 264 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
126125ralbii 3129 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
127108, 126sylibr 224 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  cun 3721  {cpr 4319  cfv 6030  (class class class)co 6795  0cc0 10141  1c1 10142  2c2 11275  3c3 11276  4c4 11277  ..^cfzo 12672  chash 13320  ⟨“cs3 13795  ⟨“cs4 13796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-card 8968  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-s4 13803
This theorem is referenced by:  3pthd  27353
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