3pthdlem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 3pthdlem1 30366

Description: Lemma 1 for 3pthd 30376. (Contributed by AV, 9-Feb-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))

**Assertion**
Ref	Expression
3pthdlem1	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘 𝐶,𝑘 𝐷,𝑘 𝑘,𝐽 𝑘,𝐾 𝑘,𝐿 𝑘,𝑉 𝑘,𝐹 𝑃,𝑘 𝑗,𝐹,𝑘 𝑃,𝑗 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑗,𝑘) 𝐴(𝑗) 𝐵(𝑗) 𝐶(𝑗) 𝐷(𝑗) 𝐽(𝑗) 𝐾(𝑗) 𝐿(𝑗) 𝑉(𝑗)

**Proof of Theorem 3pthdlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4	1, 2, 3	3wlkdlem3 30363	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		3wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
6		simpr1l 1244	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
7		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
9		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
10	9	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
11	8, 10	neeq12d 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
12	11	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	6, 12	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
14	13	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15		simpr1r 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
16		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
17	16	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
18	8, 17	neeq12d 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
19	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
20	15, 19	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
21	20	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
22	14, 21	jca 519	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
23		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = 1
24	23	2a1i 12	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘1) = (𝑃‘1) → 1 = 1))
25	24	necon3d 2978	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
26		simpr2l 1246	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
27	10, 17	neeq12d 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
28	27	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
29	26, 28	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
30	29	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
31	25, 30	jca 519	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
32	29	necomd 3012	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
33	32	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
34		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = 2
35	34	2a1i 12	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘2) = (𝑃‘2) → 2 = 2))
36	35	necon3d 2978	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
37		simpr2r 1247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐷)
38		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
39	38	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘3) = 𝐷)
40	10, 39	neeq12d 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵 ≠ 𝐷))
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵 ≠ 𝐷))
42	37, 41	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
43	42	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))
44	43	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
45		simp3 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
46	45	necomd 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ≠ 𝐶)
47	46	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐷 ≠ 𝐶)
48		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘3) = 𝐷)
49		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
50	48, 49	neeq12d 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
51	50	ancoms 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
52	51	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
53	52	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
54	47, 53	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))
55	54	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
56	44, 55	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
57	33, 36, 56	jca31 522	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
58	22, 31, 57	jca31 522	. . . 4 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
59	4, 5, 58	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
60	1	fveq2i 6870	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
61		s4len 14912	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
62	60, 61	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑃) = 4
63	62	oveq2i 7407	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^4)
64		fzo0to42pr 13759	. . . . . 6 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
65	63, 64	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝑃)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
66	65	raleqi 3318	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
67		ralunb 4149	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)))))
68		c0ex 11173	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
69		1ex 11176	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
70		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
71		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
72	71	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
73	70, 72	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
74		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 0 ≠ 2))
75	71	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
76	74, 75	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
77	73, 76	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))))
78		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
79		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
80	79	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
81	78, 80	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
82		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 1 ≠ 2))
83	79	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
84	82, 83	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
85	81, 84	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
86	68, 69, 77, 85	ralpr 4659	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
87		2ex 12295	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
88		3ex 12300	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
89		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
90		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
91	90	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
92	89, 91	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
93		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 2))
94	90	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
95	93, 94	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))))
96	92, 95	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))))
97		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
98		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘3))
99	98	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
100	97, 99	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))))
101		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
102	98	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
103	101, 102	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
104	100, 103	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 3 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
105	87, 88, 96, 104	ralpr 4659	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
106	86, 105	anbi12i 637	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
107	66, 67, 106	3bitri 299	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
108	59, 107	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
109	2	fveq2i 6870	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
110		s3len 14907	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
111	109, 110	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = 3
112	111	oveq2i 7407	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^3)
113		fzo13pr 13755	. . . . . 6 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
114	112, 113	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = {1, 2}
115	114	raleqi 3318	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)))
116		neeq2 3020	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑘 ≠ 𝑗 ↔ 𝑘 ≠ 1))
117		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘1))
118	117	neeq2d 3017	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
119	116, 118	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
120		neeq2 3020	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑘 ≠ 𝑗 ↔ 𝑘 ≠ 2))
121		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘2))
122	121	neeq2d 3017	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)))
123	120, 122	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
124	69, 87, 119, 123	ralpr 4659	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
125	115, 124	bitri 277	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
126	125	ralbii 3108	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
127	108, 126	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∧ w3a 1098 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∀wral 3076 ∪ cun 3902 {cpr 4584 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 0cc0 11073 1c1 11074 2c2 12272 3c3 12273 4c4 12274 ..^cfzo 13659 ♯chash 14343 ⟨“cs3 14855 ⟨“cs4 14856

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5227 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4906 df-iun 4951 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-er 8678 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-fin 8931 df-card 9897 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-nn 12211 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-n0 12482 df-z 12569 df-uz 12840 df-fz 13513 df-fzo 13660 df-hash 14344 df-word 14527 df-concat 14584 df-s1 14610 df-s2 14861 df-s3 14862 df-s4 14863

This theorem is referenced by: 3pthd 30376

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