3pthdlem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 3pthdlem1 30188

Description: Lemma 1 for 3pthd 30198. (Contributed by AV, 9-Feb-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))

**Assertion**
Ref	Expression
3pthdlem1	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘 𝐶,𝑘 𝐷,𝑘 𝑘,𝐽 𝑘,𝐾 𝑘,𝐿 𝑘,𝑉 𝑘,𝐹 𝑃,𝑘 𝑗,𝐹,𝑘 𝑃,𝑗 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑗,𝑘) 𝐴(𝑗) 𝐵(𝑗) 𝐶(𝑗) 𝐷(𝑗) 𝐽(𝑗) 𝐾(𝑗) 𝐿(𝑗) 𝑉(𝑗)

**Proof of Theorem 3pthdlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4	1, 2, 3	3wlkdlem3 30185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		3wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
6		simpr1l 1231	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
7		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
9		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
11	8, 10	neeq12d 2991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	6, 12	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
14	13	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15		simpr1r 1232	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
16		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
18	8, 17	neeq12d 2991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
20	15, 19	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
21	20	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
22	14, 21	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
23		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = 1
24	23	2a1i 12	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘1) = (𝑃‘1) → 1 = 1))
25	24	necon3d 2951	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
26		simpr2l 1233	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
27	10, 17	neeq12d 2991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
29	26, 28	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
30	29	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
31	25, 30	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
32	29	necomd 2985	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
33	32	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
34		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = 2
35	34	2a1i 12	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘2) = (𝑃‘2) → 2 = 2))
36	35	necon3d 2951	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
37		simpr2r 1234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐷)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘3) = 𝐷)
40	10, 39	neeq12d 2991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵 ≠ 𝐷))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵 ≠ 𝐷))
42	37, 41	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
43	42	necomd 2985	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))
44	43	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
45		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
46	45	necomd 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐷 ≠ 𝐶)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → 𝐷 ≠ 𝐶)
48		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘3) = 𝐷)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
50	48, 49	neeq12d 2991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
51	50	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷 ≠ 𝐶))
54	47, 53	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))
55	54	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
56	44, 55	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
57	33, 36, 56	jca31 514	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
58	22, 31, 57	jca31 514	. . . 4 ⊢ (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
59	4, 5, 58	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
60	1	fveq2i 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
61		s4len 14820	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
62	60, 61	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑃) = 4
63	62	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^4)
64		fzo0to42pr 13667	. . . . . 6 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
65	63, 64	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝑃)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
66	65	raleqi 3292	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
67		ralunb 4147	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)))))
68		c0ex 11124	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
69		1ex 11126	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
70		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
71		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
72	71	neeq1d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
73	70, 72	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
74		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 0 ≠ 2))
75	71	neeq1d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
76	74, 75	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
77	73, 76	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))))
78		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
79		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
80	79	neeq1d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
81	78, 80	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
82		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 1 ≠ 2))
83	79	neeq1d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
84	82, 83	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
85	81, 84	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
86	68, 69, 77, 85	ralpr 4655	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
87		2ex 12220	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
88		3ex 12225	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
89		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
90		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
91	90	neeq1d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
92	89, 91	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
93		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 2))
94	90	neeq1d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
95	93, 94	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))))
96	92, 95	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))))
97		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
98		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘3))
99	98	neeq1d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
100	97, 99	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))))
101		neeq1 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
102	98	neeq1d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
103	101, 102	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
104	100, 103	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 3 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
105	87, 88, 96, 104	ralpr 4655	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
106	86, 105	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
107	66, 67, 106	3bitri 297	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
108	59, 107	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
109	2	fveq2i 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
110		s3len 14815	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
111	109, 110	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = 3
112	111	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^3)
113		fzo13pr 13663	. . . . . 6 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
114	112, 113	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = {1, 2}
115	114	raleqi 3292	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)))
116		neeq2 2993	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑘 ≠ 𝑗 ↔ 𝑘 ≠ 1))
117		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘1))
118	117	neeq2d 2990	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
119	116, 118	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
120		neeq2 2993	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑘 ≠ 𝑗 ↔ 𝑘 ≠ 2))
121		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘2))
122	121	neeq2d 2990	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2)))
123	120, 122	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
124	69, 87, 119, 123	ralpr 4655	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
125	115, 124	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
126	125	ralbii 3080	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
127	108, 126	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2930 ∀wral 3049 ∪ cun 3897 {cpr 4580 ‘cfv 6490 (class class class)co 7356 0cc0 11024 1c1 11025 2c2 12198 3c3 12199 4c4 12200 ..^cfzo 13568 ♯chash 14251 ⟨“cs3 14763 ⟨“cs4 14764

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2706 ax-rep 5222 ax-sep 5239 ax-nul 5249 ax-pow 5308 ax-pr 5375 ax-un 7678 ax-cnex 11080 ax-resscn 11081 ax-1cn 11082 ax-icn 11083 ax-addcl 11084 ax-addrcl 11085 ax-mulcl 11086 ax-mulrcl 11087 ax-mulcom 11088 ax-addass 11089 ax-mulass 11090 ax-distr 11091 ax-i2m1 11092 ax-1ne0 11093 ax-1rid 11094 ax-rnegex 11095 ax-rrecex 11096 ax-cnre 11097 ax-pre-lttri 11098 ax-pre-lttrn 11099 ax-pre-ltadd 11100 ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2809 df-nfc 2883 df-ne 2931 df-nel 3035 df-ral 3050 df-rex 3059 df-reu 3349 df-rab 3398 df-v 3440 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4579 df-pr 4581 df-op 4585 df-uni 4862 df-int 4901 df-iun 4946 df-br 5097 df-opab 5159 df-mpt 5178 df-tr 5204 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-er 8633 df-en 8882 df-dom 8883 df-sdom 8884 df-fin 8885 df-card 9849 df-pnf 11166 df-mnf 11167 df-xr 11168 df-ltxr 11169 df-le 11170 df-sub 11364 df-neg 11365 df-nn 12144 df-2 12206 df-3 12207 df-4 12208 df-n0 12400 df-z 12487 df-uz 12750 df-fz 13422 df-fzo 13569 df-hash 14252 df-word 14435 df-concat 14492 df-s1 14518 df-s2 14769 df-s3 14770 df-s4 14771

This theorem is referenced by: 3pthd 30198

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