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Theorem 3pthdlem1 27938
Description: Lemma 1 for 3pthd 27948. (Contributed by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
3pthdlem1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝐾(𝑗)   𝐿(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem 3pthdlem1
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 33wlkdlem3 27935 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 3wlkd.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
6 simpr1l 1227 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐵)
7 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
87adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
9 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
109adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
118, 10neeq12d 3074 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1211adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
136, 12mpbird 260 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
1413a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15 simpr1r 1228 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐶)
16 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1716adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
188, 17neeq12d 3074 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
1918adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
2015, 19mpbird 260 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
2120a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2214, 21jca 515 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
23 eqid 2824 . . . . . . . 8 1 = 1
24232a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) = (𝑃‘1) → 1 = 1))
2524necon3d 3034 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
26 simpr2l 1229 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐶)
2710, 17neeq12d 3074 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2827adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2926, 28mpbird 260 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
3029a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
3125, 30jca 515 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
3229necomd 3068 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
3332a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
34 eqid 2824 . . . . . . . 8 2 = 2
35342a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘2) = (𝑃‘2) → 2 = 2))
3635necon3d 3034 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
37 simpr2r 1230 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐷)
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
3938adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘3) = 𝐷)
4010, 39neeq12d 3074 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4140adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4237, 41mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
4342necomd 3068 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))
4443a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
45 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
4645necomd 3068 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐷𝐶)
4746adantl 485 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐷𝐶)
48 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘3) = 𝐷)
49 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
5048, 49neeq12d 3074 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5150ancoms 462 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5251adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5352adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5447, 53mpbird 260 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))
5554a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
5644, 55jca 515 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
5733, 36, 56jca31 518 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
5822, 31, 57jca31 518 . . . 4 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
594, 5, 58syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
601fveq2i 6654 . . . . . . . 8 (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
61 s4len 14250 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
6260, 61eqtri 2847 . . . . . . 7 (♯‘𝑃) = 4
6362oveq2i 7149 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^4)
64 fzo0to42pr 13117 . . . . . 6 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6563, 64eqtri 2847 . . . . 5 (0..^(♯‘𝑃)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6665raleqi 3400 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
67 ralunb 4151 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))))
68 c0ex 10620 . . . . . 6 0 ∈ V
69 1ex 10622 . . . . . 6 1 ∈ V
70 neeq1 3075 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
71 fveq2 6651 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
7271neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
7370, 72imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
74 neeq1 3075 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 0 ≠ 2))
7571neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
7674, 75imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
7773, 76anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))))
78 neeq1 3075 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
79 fveq2 6651 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
8079neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
8178, 80imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
82 neeq1 3075 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 1 ≠ 2))
8379neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
8482, 83imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
8581, 84anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
8668, 69, 77, 85ralpr 4617 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
87 2ex 11700 . . . . . 6 2 ∈ V
88 3ex 11705 . . . . . 6 3 ∈ V
89 neeq1 3075 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
90 fveq2 6651 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
9190neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
9289, 91imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
93 neeq1 3075 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 2))
9490neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
9593, 94imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))))
9692, 95anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))))
97 neeq1 3075 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
98 fveq2 6651 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘3))
9998neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
10097, 99imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))))
101 neeq1 3075 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
10298neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
103101, 102imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
104100, 103anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10587, 88, 96, 104ralpr 4617 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10686, 105anbi12i 629 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10766, 67, 1063bitri 300 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10859, 107sylibr 237 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
1092fveq2i 6654 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
110 s3len 14245 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
111109, 110eqtri 2847 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = 3
112111oveq2i 7149 . . . . . 6 (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^3)
113 fzo13pr 13114 . . . . . 6 (1..^3) = {1, 2}
114112, 113eqtri 2847 . . . . 5 (1..^(♯‘𝐹)) = {1, 2}
115114raleqi 3400 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
116 neeq2 3076 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 1))
117 fveq2 6651 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘1))
118117neeq2d 3073 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
119116, 118imbi12d 348 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
120 neeq2 3076 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 2))
121 fveq2 6651 . . . . . . 7 (𝑗 = 2 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘2))
122121neeq2d 3073 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))
123120, 122imbi12d 348 . . . . 5 (𝑗 = 2 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
12469, 87, 119, 123ralpr 4617 . . . 4 (∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
125115, 124bitri 278 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
126125ralbii 3159 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
127108, 126sylibr 237 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wral 3132  cun 3916  {cpr 4550  cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522  1c1 10523  2c2 11678  3c3 11679  4c4 11680  ..^cfzo 13026  chash 13684  ⟨“cs3 14193  ⟨“cs4 14194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-s1 13939  df-s2 14199  df-s3 14200  df-s4 14201
This theorem is referenced by:  3pthd  27948
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