MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellimc2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ellimc2 25618
Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limccl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limccl.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
ellimc2.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
ellimc2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑒,𝐴   𝑒,𝐡,𝑀   πœ‘,𝑒,𝑀   𝑒,𝐢,𝑀   𝑒,𝐹,𝑀   𝑒,𝐾,𝑀
Proof of Theorem ellimc2
Dummy variables 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25616 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
21sseli 3978 . . 3 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
32pm4.71ri 561 . 2 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
4 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
5 ellimc2.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
7 limccl.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
8 limccl.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 limccl.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
104, 5, 6, 7, 8, 9ellimc 25614 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
1110adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
125cnfldtopon 24519 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
139snssd 4812 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
148, 13unssd 4186 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
15 resttopon 22885 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
1612, 14, 15sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
1716adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
1812a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
19 ssun2 4173 . . . . . . 7 {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
20 snssg 4787 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2219, 21mpbiri 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
2322adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
24 elun 4148 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
25 velsn 4644 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 = 𝐡)
2625orbi2i 911 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡))
2724, 26bitri 274 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡))
28 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡)) ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
29 pm5.61 999 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡))
307ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3130ad2ant2r 745 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3229, 31sylan2b 594 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3332anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3428, 33ifclda 4563 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡)) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
3527, 34sylan2b 594 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
3635fmpttd 7116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
37 iscnp 22961 . . . . . 6 (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
3837baibd 540 . . . . 5 ((((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
3917, 18, 23, 36, 38syl31anc 1373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
40 iftrue 4534 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐡 β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐢)
4140, 6fvmptg 6996 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) = 𝐢)
4222, 41sylan 580 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) = 𝐢)
4342eleq1d 2818 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ 𝑒))
4443imbi1d 341 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
4544adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
465cnfldtop 24520 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ Top
47 cnex 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ ∈ V
4847ssex 5321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
4914, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
5049ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
51 restval 17376 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
5246, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
5352rexeqdv 3326 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
54 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ V
5554inex1 5317 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ V
5655rgenw 3065 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ V
57 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
58 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐡 ∈ 𝑣 ↔ 𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
59 imaeq2 6055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
6059sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
6158, 60anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ((𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
6257, 61rexrnmptw 7096 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
6356, 62mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
6422ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
65 elin 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↔ (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
6665rbaib 539 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑀))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑀))
68 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
69 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πΉβ€˜π‘§) ∈ V
70 ifexg 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ V) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
7168, 69, 70sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
7271ralrimivw 3150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
73 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
7473fnmpt 6690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V β†’ (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
7573fmpt 7111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))βŸΆπ‘’)
76 df-f 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))βŸΆπ‘’ ↔ ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
7775, 76bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
7877baib 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
7972, 74, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
80 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐢 ∈ 𝑒)
81 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ {𝐡}) β†’ 𝑧 ∈ {𝐡})
8225, 40sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐢)
8382eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ 𝑒))
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ {𝐡}) β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ 𝑒))
8580, 84syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
8685ralrimiv 3145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒)
87 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴 βˆͺ {𝐡})
8887ineq2i 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∩ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})) = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
89 indi 4273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∩ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})) = ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))
9088, 89eqtr3i 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))
9190raleqi 3323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒)
92 ralunb 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9391, 92bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9493rbaib 539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9586, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9679, 95bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
97 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}))
98 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
99 ifnefalse 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 β‰  𝐡 β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
101100eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
10297, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
103102ralbiia 3091 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒)
10496, 103bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
105 df-ima 5689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = ran ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
106 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
107 resmpt 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
109108rneqd 5937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ran ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
110105, 109eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
111110sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
1127ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
113112ffund 6721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ Fun 𝐹)
114 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆ– {𝐡})
115 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐴
116114, 115sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† 𝐴
117112fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
118116, 117sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† dom 𝐹)
119 funimass4 6956 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
120113, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
121104, 111, 1203bitr4d 310 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
12267, 121anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
123122rexbidva 3176 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
12453, 63, 1233bitrd 304 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
125124anassrs 468 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) ∧ 𝐢 ∈ 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
126125pm5.74da 802 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
12745, 126bitrd 278 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
128127ralbidva 3175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
12911, 39, 1283bitrd 304 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
130129pm5.32da 579 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
1313, 130bitrid 282 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   CnP ccnp 22949   limβ„‚ climc 25603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cnp 22952  df-xms 24046  df-ms 24047  df-limc 25607
This theorem is referenced by:  limcnlp  25619  ellimc3  25620  limcflf  25622  limcresi  25626  limciun  25635  lhop1lem  25754  limccog  44635
  Copyright terms: Public domain W3C validator