MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellimc2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ellimc2 25394
Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limccl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limccl.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
ellimc2.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
ellimc2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑒,𝐴   𝑒,𝐡,𝑀   πœ‘,𝑒,𝑀   𝑒,𝐢,𝑀   𝑒,𝐹,𝑀   𝑒,𝐾,𝑀
Proof of Theorem ellimc2
Dummy variables 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25392 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
21sseli 3979 . . 3 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
32pm4.71ri 562 . 2 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
4 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
5 ellimc2.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
7 limccl.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
8 limccl.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 limccl.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
104, 5, 6, 7, 8, 9ellimc 25390 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
125cnfldtopon 24299 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
139snssd 4813 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
148, 13unssd 4187 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
15 resttopon 22665 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
1612, 14, 15sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
1716adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
1812a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
19 ssun2 4174 . . . . . . 7 {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
20 snssg 4788 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2219, 21mpbiri 258 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
2322adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
24 elun 4149 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
25 velsn 4645 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 = 𝐡)
2625orbi2i 912 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡))
2724, 26bitri 275 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡))
28 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡)) ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
29 pm5.61 1000 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡))
307ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3130ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3229, 31sylan2b 595 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3332anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3428, 33ifclda 4564 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡)) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
3527, 34sylan2b 595 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
3635fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
37 iscnp 22741 . . . . . 6 (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
3837baibd 541 . . . . 5 ((((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
3917, 18, 23, 36, 38syl31anc 1374 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
40 iftrue 4535 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐡 β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐢)
4140, 6fvmptg 6997 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) = 𝐢)
4222, 41sylan 581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) = 𝐢)
4342eleq1d 2819 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ 𝑒))
4443imbi1d 342 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
4544adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
465cnfldtop 24300 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ Top
47 cnex 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ ∈ V
4847ssex 5322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
4914, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
51 restval 17372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
5246, 50, 51sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
5352rexeqdv 3327 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
54 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ V
5554inex1 5318 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ V
5655rgenw 3066 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ V
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
58 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐡 ∈ 𝑣 ↔ 𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
59 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
6059sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
6158, 60anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ((𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
6257, 61rexrnmptw 7097 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
6356, 62mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
6422ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
65 elin 3965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↔ (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
6665rbaib 540 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑀))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑀))
68 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
69 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πΉβ€˜π‘§) ∈ V
70 ifexg 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ V) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
7168, 69, 70sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
7271ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
73 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
7473fnmpt 6691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V β†’ (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
7573fmpt 7110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))βŸΆπ‘’)
76 df-f 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))βŸΆπ‘’ ↔ ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
7775, 76bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
7877baib 537 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
7972, 74, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
80 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐢 ∈ 𝑒)
81 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ {𝐡}) β†’ 𝑧 ∈ {𝐡})
8225, 40sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐢)
8382eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ 𝑒))
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ {𝐡}) β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ 𝑒))
8580, 84syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
8685ralrimiv 3146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒)
87 undif1 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴 βˆͺ {𝐡})
8887ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∩ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})) = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
89 indi 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∩ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})) = ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))
9088, 89eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))
9190raleqi 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒)
92 ralunb 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9391, 92bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9493rbaib 540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9586, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9679, 95bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
97 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}))
98 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
99 ifnefalse 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 β‰  𝐡 β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
101100eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
10297, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
103102ralbiia 3092 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒)
10496, 103bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
105 df-ima 5690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = ran ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
106 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
107 resmpt 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
109108rneqd 5938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ran ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
110105, 109eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
111110sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
1127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
113112ffund 6722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ Fun 𝐹)
114 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆ– {𝐡})
115 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐴
116114, 115sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† 𝐴
117112fdmd 6729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
118116, 117sseqtrrid 4036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† dom 𝐹)
119 funimass4 6957 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
120113, 118, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
121104, 111, 1203bitr4d 311 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
12267, 121anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
123122rexbidva 3177 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
12453, 63, 1233bitrd 305 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
125124anassrs 469 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) ∧ 𝐢 ∈ 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
126125pm5.74da 803 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
12745, 126bitrd 279 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
128127ralbidva 3176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
12911, 39, 1283bitrd 305 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
130129pm5.32da 580 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
1313, 130bitrid 283 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   CnP ccnp 22729   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  limcnlp  25395  ellimc3  25396  limcflf  25398  limcresi  25402  limciun  25411  lhop1lem  25530  limccog  44336
  Copyright terms: Public domain W3C validator