MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellimc2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ellimc2 25386
Description: Write the definition of a limit directly in terms of open sets of the topology on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limccl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limccl.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
ellimc2.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
ellimc2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑒,𝐴   𝑒,𝐡,𝑀   πœ‘,𝑒,𝑀   𝑒,𝐢,𝑀   𝑒,𝐹,𝑀   𝑒,𝐾,𝑀
Proof of Theorem ellimc2
Dummy variables 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25384 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
21sseli 3978 . . 3 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
32pm4.71ri 562 . 2 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
4 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
5 ellimc2.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
7 limccl.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
8 limccl.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 limccl.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
104, 5, 6, 7, 8, 9ellimc 25382 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
125cnfldtopon 24291 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
139snssd 4812 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
148, 13unssd 4186 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
15 resttopon 22657 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
1612, 14, 15sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
1716adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
1812a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
19 ssun2 4173 . . . . . . 7 {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
20 snssg 4787 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2219, 21mpbiri 258 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
2322adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
24 elun 4148 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
25 velsn 4644 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 = 𝐡)
2625orbi2i 912 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡))
2724, 26bitri 275 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡))
28 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡)) ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
29 pm5.61 1000 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡))
307ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3130ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3229, 31sylan2b 595 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3332anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡)) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3428, 33ifclda 4563 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 = 𝐡)) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
3527, 34sylan2b 595 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
3635fmpttd 7112 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
37 iscnp 22733 . . . . . 6 (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))))
3837baibd 541 . . . . 5 ((((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
3917, 18, 23, 36, 38syl31anc 1374 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
40 iftrue 4534 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐡 β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐢)
4140, 6fvmptg 6994 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) = 𝐢)
4222, 41sylan 581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) = 𝐢)
4342eleq1d 2819 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ 𝑒))
4443imbi1d 342 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
4544adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))))
465cnfldtop 24292 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ Top
47 cnex 11188 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ ∈ V
4847ssex 5321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
4914, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
51 restval 17369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
5246, 50, 51sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
5352rexeqdv 3327 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
54 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ V
5554inex1 5317 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ V
5655rgenw 3066 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ V
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
58 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐡 ∈ 𝑣 ↔ 𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
59 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))))
6059sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
6158, 60anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ((𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
6257, 61rexrnmptw 7094 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
6356, 62mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ran (𝑀 ∈ 𝐾 ↦ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
6422ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
65 elin 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↔ (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
6665rbaib 540 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑀))
6764, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↔ 𝐡 ∈ 𝑀))
68 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
69 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πΉβ€˜π‘§) ∈ V
70 ifexg 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ V) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
7168, 69, 70sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
7271ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
73 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
7473fnmpt 6688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V β†’ (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
7573fmpt 7107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))βŸΆπ‘’)
76 df-f 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))):(𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))βŸΆπ‘’ ↔ ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
7775, 76bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
7877baib 537 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) Fn (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
7972, 74, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
80 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐢 ∈ 𝑒)
81 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ {𝐡}) β†’ 𝑧 ∈ {𝐡})
8225, 40sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐢)
8382eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ 𝑒))
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ {𝐡}) β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ 𝑒))
8580, 84syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
8685ralrimiv 3146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒)
87 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴 βˆͺ {𝐡})
8887ineq2i 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∩ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})) = (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
89 indi 4273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∩ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})) = ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))
9088, 89eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))
9190raleqi 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒)
92 ralunb 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘§ ∈ ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βˆͺ (𝑀 ∩ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9391, 92bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9493rbaib 540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9586, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
9679, 95bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒))
97 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}))
98 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
99 ifnefalse 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 β‰  𝐡 β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
101100eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
10297, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
103102ralbiia 3092 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒)
10496, 103bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
105 df-ima 5689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = ran ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
106 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
107 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
109108rneqd 5936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ran ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
110105, 109eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) = ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
111110sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ ran (𝑧 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) βŠ† 𝑒))
1127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
113112ffund 6719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ Fun 𝐹)
114 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆ– {𝐡})
115 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐴
116114, 115sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† 𝐴
117112fdmd 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
118116, 117sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† dom 𝐹)
119 funimass4 6954 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
120113, 118, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))(πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝑒))
121104, 111, 1203bitr4d 311 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
12267, 121anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
123122rexbidva 3177 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
12453, 63, 1233bitrd 305 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
125124anassrs 469 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) ∧ 𝐢 ∈ 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
126125pm5.74da 803 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
12745, 126bitrd 279 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
128127ralbidva 3176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))β€˜π΅) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
12911, 39, 1283bitrd 305 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
130129pm5.32da 580 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
1313, 130bitrid 283 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐾 (𝐡 ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ (𝑀 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  Topctop 22387  TopOnctopon 22404   CnP ccnp 22721   limβ„‚ climc 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-rest 17365  df-topn 17366  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cnp 22724  df-xms 23818  df-ms 23819  df-limc 25375
This theorem is referenced by:  limcnlp  25387  ellimc3  25388  limcflf  25390  limcresi  25394  limciun  25403  lhop1lem  25522  limccog  44323
  Copyright terms: Public domain W3C validator