Theorem 3wlkdlem4 30137

Description: Lemma 4 for 3wlkd 30145. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
2		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3		3wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
4	2, 3, 1	3wlkdlem3 30136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
6	5	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ 𝑉))
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
8	7	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ 𝐵 ∈ 𝑉))
9	6, 8	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)))
10	9	biimparc 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
11		c0ex 11103	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
12		1ex 11105	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
14		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
15	14	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
16		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
17	16	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
18	15, 17	ralprg 4649	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
19	13, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
20	10, 19	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
22		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
23	22	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ 𝐶 ∈ 𝑉))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
25	24	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ 𝐷 ∈ 𝑉))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
27	26	biimparc 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
28		2ex 12199	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
29		3ex 12204	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
30	28, 29	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
31		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
32	31	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
33		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘3))
34	33	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
35	32, 34	ralprg 4649	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
36	30, 35	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
37	27, 36	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
39	21, 38	im2anan9 620	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)))
40	1, 4, 39	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
41	3	fveq2i 6825	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
42		s3len 14798	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
43	41, 42	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 3
44	43	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...3)
45		fz0to3un2pr 13526	. . . . 5 ⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
46	44, 45	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
47	46	raleqi 3290	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
48		ralunb 4147	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
49	47, 48	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
50	40, 49	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∪ cun 3900  {cpr 4578  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004  2c2 12177  3c3 12178  ...cfz 13404  ♯chash 14234  ⟨“cs3 14746  ⟨“cs4 14747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-concat 14475  df-s1 14501  df-s2 14752  df-s3 14753  df-s4 14754

This theorem is referenced by:  3wlkd  30145