Theorem 3wlkdlem4 28427

Description: Lemma 4 for 3wlkd 28435. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
2		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3		3wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
4	2, 3, 1	3wlkdlem3 28426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
6	5	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ 𝑉))
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
8	7	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ 𝐵 ∈ 𝑉))
9	6, 8	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)))
10	9	biimparc 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
11		c0ex 10900	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
12		1ex 10902	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
14		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
15	14	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
16		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
17	16	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
18	15, 17	ralprg 4627	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
19	13, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
20	10, 19	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
22		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
23	22	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ 𝐶 ∈ 𝑉))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
25	24	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ 𝐷 ∈ 𝑉))
26	23, 25	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
27	26	biimparc 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
28		2ex 11980	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
29		3ex 11985	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ V
30	28, 29	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
31		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
32	31	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
33		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘3))
34	33	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
35	32, 34	ralprg 4627	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
36	30, 35	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
37	27, 36	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
39	21, 38	im2anan9 619	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)))
40	1, 4, 39	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
41	3	fveq2i 6759	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
42		s3len 14535	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
43	41, 42	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 3
44	43	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...3)
45		fz0to3un2pr 13287	. . . . 5 ⊢ (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
46	44, 45	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
47	46	raleqi 3337	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
48		ralunb 4121	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
49	47, 48	bitri 274	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉))
50	40, 49	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  2c2 11958  3c3 11959  ...cfz 13168  ♯chash 13972  ⟨“cs3 14483  ⟨“cs4 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-s4 14491

This theorem is referenced by:  3wlkd  28435