MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkdlem4 27628
Description: Lemma 4 for 3wlkd 27636. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem4
StepHypRef Expression
1 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
2 3wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3 3wlkd.f . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
42, 3, 13wlkdlem3 27627 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
65eleq1d 2867 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝐴𝑉))
7 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
87eleq1d 2867 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉𝐵𝑉))
96, 8anbi12d 630 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴𝑉𝐵𝑉)))
109biimparc 480 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
11 c0ex 10481 . . . . . . . 8 0 ∈ V
12 1ex 10483 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1311, 12pm3.2i 471 . . . . . . 7 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
14 fveq2 6538 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
1514eleq1d 2867 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
16 fveq2 6538 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
1716eleq1d 2867 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
1815, 17ralprg 4539 . . . . . . 7 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
1913, 18mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
2010, 19mpbird 258 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
2120ex 413 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
22 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
2322eleq1d 2867 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉𝐶𝑉))
24 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
2524eleq1d 2867 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ∈ 𝑉𝐷𝑉))
2623, 25anbi12d 630 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉) ↔ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
2726biimparc 480 . . . . . 6 (((𝐶𝑉𝐷𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
28 2ex 11562 . . . . . . . 8 2 ∈ V
29 3ex 11567 . . . . . . . 8 3 ∈ V
3028, 29pm3.2i 471 . . . . . . 7 (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
31 fveq2 6538 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
3231eleq1d 2867 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
33 fveq2 6538 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘3))
3433eleq1d 2867 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
3532, 34ralprg 4539 . . . . . . 7 ((2 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
3630, 35mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐶𝑉𝐷𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
3727, 36mpbird 258 . . . . 5 (((𝐶𝑉𝐷𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
3837ex 413 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
3921, 38im2anan9 619 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)))
401, 4, 39sylc 65 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
413fveq2i 6541 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
42 s3len 14092 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
4341, 42eqtri 2819 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 3
4443oveq2i 7027 . . . . 5 (0...(♯‘𝐹)) = (0...3)
45 fz0to3un2pr 12859 . . . . 5 (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
4644, 45eqtri 2819 . . . 4 (0...(♯‘𝐹)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
4746raleqi 3373 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
48 ralunb 4088 . . 3 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
4947, 48bitri 276 . 2 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
5040, 49sylibr 235 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  Vcvv 3437  cun 3857  {cpr 4474  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384  2c2 11540  3c3 11541  ...cfz 12742  chash 13540  ⟨“cs3 14040  ⟨“cs4 14041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-concat 13769  df-s1 13794  df-s2 14046  df-s3 14047  df-s4 14048
This theorem is referenced by:  3wlkd  27636
  Copyright terms: Public domain W3C validator