MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkdlem4 29203
Description: Lemma 4 for 3wlkd 29211. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem4
StepHypRef Expression
1 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
2 3wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3 3wlkd.f . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
42, 3, 13wlkdlem3 29202 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
65eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝐴𝑉))
7 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
87eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉𝐵𝑉))
96, 8anbi12d 631 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴𝑉𝐵𝑉)))
109biimparc 480 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
11 c0ex 11173 . . . . . . . 8 0 ∈ V
12 1ex 11175 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1311, 12pm3.2i 471 . . . . . . 7 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
14 fveq2 6862 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
1514eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
16 fveq2 6862 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
1716eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
1815, 17ralprg 4675 . . . . . . 7 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
1913, 18mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
2010, 19mpbird 256 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
2120ex 413 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
22 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
2322eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉𝐶𝑉))
24 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
2524eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ∈ 𝑉𝐷𝑉))
2623, 25anbi12d 631 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉) ↔ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
2726biimparc 480 . . . . . 6 (((𝐶𝑉𝐷𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
28 2ex 12254 . . . . . . . 8 2 ∈ V
29 3ex 12259 . . . . . . . 8 3 ∈ V
3028, 29pm3.2i 471 . . . . . . 7 (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
31 fveq2 6862 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
3231eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
33 fveq2 6862 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘3))
3433eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
3532, 34ralprg 4675 . . . . . . 7 ((2 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
3630, 35mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐶𝑉𝐷𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
3727, 36mpbird 256 . . . . 5 (((𝐶𝑉𝐷𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
3837ex 413 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
3921, 38im2anan9 620 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)))
401, 4, 39sylc 65 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
413fveq2i 6865 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
42 s3len 14810 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
4341, 42eqtri 2759 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 3
4443oveq2i 7388 . . . . 5 (0...(♯‘𝐹)) = (0...3)
45 fz0to3un2pr 13568 . . . . 5 (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
4644, 45eqtri 2759 . . . 4 (0...(♯‘𝐹)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
4746raleqi 3322 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
48 ralunb 4171 . . 3 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
4947, 48bitri 274 . 2 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
5040, 49sylibr 233 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  Vcvv 3459  cun 3926  {cpr 4608  cfv 6516  (class class class)co 7377  0cc0 11075  1c1 11076  2c2 12232  3c3 12233  ...cfz 13449  chash 14255  ⟨“cs3 14758  ⟨“cs4 14759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-concat 14486  df-s1 14511  df-s2 14764  df-s3 14765  df-s4 14766
This theorem is referenced by:  3wlkd  29211
  Copyright terms: Public domain W3C validator