MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkdlem4 27506
Description: Lemma 4 for 3wlkd 27514. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem 3wlkdlem4
StepHypRef Expression
1 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
2 3wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3 3wlkd.f . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
42, 3, 13wlkdlem3 27505 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 simpl 475 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
65eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝐴𝑉))
7 simpr 478 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
87eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉𝐵𝑉))
96, 8anbi12d 625 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴𝑉𝐵𝑉)))
109biimparc 472 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
11 c0ex 10322 . . . . . . . 8 0 ∈ V
12 1ex 10324 . . . . . . . 8 1 ∈ V
1311, 12pm3.2i 463 . . . . . . 7 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
14 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
1514eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
16 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
1716eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
1815, 17ralprg 4424 . . . . . . 7 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
1913, 18mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉)))
2010, 19mpbird 249 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
2120ex 402 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
22 simpl 475 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
2322eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉𝐶𝑉))
24 simpr 478 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
2524eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ∈ 𝑉𝐷𝑉))
2623, 25anbi12d 625 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉) ↔ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
2726biimparc 472 . . . . . 6 (((𝐶𝑉𝐷𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
28 2ex 11390 . . . . . . . 8 2 ∈ V
29 3ex 11396 . . . . . . . 8 3 ∈ V
3028, 29pm3.2i 463 . . . . . . 7 (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
31 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
3231eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
33 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘3))
3433eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘3) ∈ 𝑉))
3532, 34ralprg 4424 . . . . . . 7 ((2 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
3630, 35mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐶𝑉𝐷𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉)))
3727, 36mpbird 249 . . . . 5 (((𝐶𝑉𝐷𝑉) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
3837ex 402 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
3921, 38im2anan9 614 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)))
401, 4, 39sylc 65 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
413fveq2i 6414 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
42 s3len 13979 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
4341, 42eqtri 2821 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 3
4443oveq2i 6889 . . . . 5 (0...(♯‘𝐹)) = (0...3)
45 fz0to3un2pr 12696 . . . . 5 (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
4644, 45eqtri 2821 . . . 4 (0...(♯‘𝐹)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
4746raleqi 3325 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
48 ralunb 3992 . . 3 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
4947, 48bitri 267 . 2 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉))
5040, 49sylibr 226 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  Vcvv 3385  cun 3767  {cpr 4370  cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  1c1 10225  2c2 11368  3c3 11369  ...cfz 12580  chash 13370  ⟨“cs3 13927  ⟨“cs4 13928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-s1 13616  df-s2 13933  df-s3 13934  df-s4 13935
This theorem is referenced by:  3wlkd  27514
  Copyright terms: Public domain W3C validator