MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlkdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlkdlem4 29783
Description: Lemma 4 for 2wlkd 29791. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
Assertion
Ref Expression
2wlkdlem4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem 2wlkdlem4
StepHypRef Expression
1 2wlkd.s . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2 2wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3 2wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
42, 3, 12wlkdlem3 29782 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
5 simp1 1133 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
65eleq1d 2810 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝐴𝑉))
7 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
87eleq1d 2810 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉𝐵𝑉))
9 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
109eleq1d 2810 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉𝐶𝑉))
116, 8, 103anbi123d 1432 . . . . 5 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)))
1211bicomd 222 . . . 4 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
134, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
141, 13mpbid 231 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
153fveq2i 6895 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
16 s2len 14872 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
1715, 16eqtri 2753 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 2
1817oveq2i 7427 . . . . 5 (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
19 fz0tp 13634 . . . . 5 (0...2) = {0, 1, 2}
2018, 19eqtri 2753 . . . 4 (0...(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
2120raleqi 3313 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
22 c0ex 11238 . . . 4 0 ∈ V
23 1ex 11240 . . . 4 1 ∈ V
24 2ex 12319 . . . 4 2 ∈ V
25 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
2625eleq1d 2810 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
27 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
2827eleq1d 2810 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
29 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
3029eleq1d 2810 . . . 4 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
3122, 23, 24, 26, 28, 30raltp 4705 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
3221, 31bitri 274 . 2 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
3314, 32sylibr 233 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  {ctp 4628  cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139  2c2 12297  ...cfz 13516  chash 14321  ⟨“cs2 14824  ⟨“cs3 14825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-s3 14832
This theorem is referenced by:  2wlkd  29791
  Copyright terms: Public domain W3C validator