Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlkdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlkdlem4 27721
 Description: Lemma 4 for 2wlkd 27729. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
Assertion
Ref Expression
2wlkdlem4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem 2wlkdlem4
StepHypRef Expression
1 2wlkd.s . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2 2wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3 2wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
42, 3, 12wlkdlem3 27720 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
5 simp1 1133 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
65eleq1d 2874 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉𝐴𝑉))
7 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
87eleq1d 2874 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉𝐵𝑉))
9 simp3 1135 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
109eleq1d 2874 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉𝐶𝑉))
116, 8, 103anbi123d 1433 . . . . 5 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)))
1211bicomd 226 . . . 4 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
134, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
141, 13mpbid 235 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
153fveq2i 6648 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
16 s2len 14244 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
1715, 16eqtri 2821 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 2
1817oveq2i 7146 . . . . 5 (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
19 fz0tp 13005 . . . . 5 (0...2) = {0, 1, 2}
2018, 19eqtri 2821 . . . 4 (0...(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
2120raleqi 3362 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
22 c0ex 10626 . . . 4 0 ∈ V
23 1ex 10628 . . . 4 1 ∈ V
24 2ex 11704 . . . 4 2 ∈ V
25 fveq2 6645 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
2625eleq1d 2874 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
27 fveq2 6645 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
2827eleq1d 2874 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
29 fveq2 6645 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
3029eleq1d 2874 . . . 4 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
3122, 23, 24, 26, 28, 30raltp 4601 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
3221, 31bitri 278 . 2 (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
3314, 32sylibr 237 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {ctp 4529  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10528  1c1 10529  2c2 11682  ...cfz 12887  ♯chash 13688  ⟨“cs2 14196  ⟨“cs3 14197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-hash 13689  df-word 13860  df-concat 13916  df-s1 13943  df-s2 14203  df-s3 14204 This theorem is referenced by:  2wlkd  27729
 Copyright terms: Public domain W3C validator