Theorem 2wlkdlem4 30314

Description: Lemma 4 for 2wlkd 30322. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem 2wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2		2wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3		2wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4	2, 3, 1	2wlkdlem3 30313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
5		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
6	5	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ 𝑉))
7		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
8	7	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ 𝐵 ∈ 𝑉))
9		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
10	9	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ 𝐶 ∈ 𝑉))
11	6, 8, 10	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)))
12	11	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
13	4, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
14	1, 13	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
15	3	fveq2i 6891	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
16		s2len 14952	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
17	15, 16	eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
18	17	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
19		fz0tp 13675	. . . . 5 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
20	18, 19	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
21	20	raleqi 3324	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
22		c0ex 11218	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
23		1ex 11221	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
24		2ex 12336	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
25		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
26	25	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
27		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
28	27	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
29		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
30	29	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
31	22, 23, 24, 26, 28, 30	raltp 4676	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
32	21, 31	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
33	14, 32	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  {ctp 4598  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119  2c2 12313  ...cfz 13553  ♯chash 14386  ⟨“cs2 14904  ⟨“cs3 14905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912

This theorem is used by:  2wlkd  30322