Theorem 2wlkdlem4 30186

Description: Lemma 4 for 2wlkd 30194. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem 2wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2		2wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3		2wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4	2, 3, 1	2wlkdlem3 30185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
5		simp1 1152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
6	5	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ 𝑉))
7		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
8	7	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ 𝐵 ∈ 𝑉))
9		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
10	9	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ 𝐶 ∈ 𝑉))
11	6, 8, 10	3anbi123d 1460	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)))
12	11	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
13	4, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
14	1, 13	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
15	3	fveq2i 6874	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
16		s2len 14916	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
17	15, 16	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
18	17	oveq2i 7411	. . . . 5 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
19		fz0tp 13647	. . . . 5 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
20	18, 19	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2}
21	20	raleqi 3321	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
22		c0ex 11188	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
23		1ex 11191	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
24		2ex 12309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
25		fveq2 6871	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
26	25	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘0) ∈ 𝑉))
27		fveq2 6871	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
28	27	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
29		fveq2 6871	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘2))
30	29	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
31	22, 23, 24, 26, 28, 30	raltp 4667	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
32	21, 31	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
33	14, 32	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {ctp 4589  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089  2c2 12286  ...cfz 13526  ♯chash 14357  ⟨“cs2 14868  ⟨“cs3 14869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-s3 14876

This theorem is referenced by:  2wlkd  30194