Theorem 0ewlk 29917

Description: The empty set (empty sequence of edges) is an s-walk of edges for all s. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0ewlk	⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Proof of Theorem 0ewlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 14515	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)
2		ral0 4508	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
3		hash0 14352	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
4	3	oveq2i 7425	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = (1..^0)
5		0le1 11761	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
6		1z 12616	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		0z 12593	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		fzon 13679	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅))
9	6, 7, 8	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅)
10	5, 9	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (1..^0) = ∅
11	4, 10	eqtri 2755	. . . . 5 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = ∅
12	11	raleqi 3318	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
13	2, 12	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
14	1, 13	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
15		0ex 5301	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
16		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
17	16	isewlk 29409	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ ∅ ∈ V) → (∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))))
18	15, 17	mp3an3 1447	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))))
19	14, 18	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  Vcvv 3469   ∩ cin 3943  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   ≤ cle 11273   − cmin 11468  ℕ₀^*cxnn0 12568  ℤcz 12582  ..^cfzo 13653  ♯chash 14315  Word cword 14490  iEdgciedg 28803   EdgWalks cewlks 29402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-ewlks 29405

This theorem is referenced by: (None)