Theorem 0ewlk 30406

Description: The empty set (empty sequence of edges) is an s-walk of edges for all s. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0ewlk	⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Proof of Theorem 0ewlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 14576	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)
2		ral0 4464	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
3		hash0 14403	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
4	3	oveq2i 7422	. . . . . 6 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = (1..^0)
5		0le1 11737	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
6		1z 12624	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		0z 12602	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		fzon 13709	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅))
9	6, 7, 8	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅)
10	5, 9	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (1..^0) = ∅
11	4, 10	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (1..^(♯‘∅)) = ∅
12	11	raleqi 3327	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
13	2, 12	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘))))
14	1, 13	pm3.2i 475	. 2 ⊢ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))
15		0ex 5272	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
16		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
17	16	isewlk 29893	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0* ∧ ∅ ∈ V) → (∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))))
18	15, 17	mp3an3 1476	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → (∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆) ↔ (∅ ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘∅))𝑆 ≤ (♯‘(((iEdg‘𝐺)‘(∅‘(𝑘 − 1))) ∩ ((iEdg‘𝐺)‘(∅‘𝑘)))))))
19	14, 18	mpbiri 261	1 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ ℕ0*) → ∅ ∈ (𝐺 EdgWalks 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∩ cin 3912  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   ≤ cle 11244   − cmin 11441  ℕ₀^*cxnn0 12577  ℤcz 12591  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550  iEdgciedg 29288   EdgWalks cewlks 29886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-ewlks 29889

This theorem is referenced by: (None)