MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cply1coe0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cply1coe0bi 21687
Description: A polynomial is constant (i.e. a "lifted scalar") iff all but the first coefficient are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1coe0.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
cply1coe0.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
cply1coe0.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
cply1coe0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
cply1coe0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
cply1coe0bi ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑅,𝑛   𝐴,𝑛,𝑠   𝐡,𝑛,𝑠   𝐾,𝑠   𝑛,𝑀,𝑠   𝑅,𝑠   0 ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛,𝑠)   0 (𝑛)

Proof of Theorem cply1coe0bi
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cply1coe0.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2 cply1coe0.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 cply1coe0.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 cply1coe0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5 cply1coe0.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
61, 2, 3, 4, 5cply1coe0 21686 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 )
76ad4ant13 750 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 )
8 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ (coe1β€˜π‘€) = (coe1β€˜(π΄β€˜π‘ )))
98fveq1d 6845 . . . . . . 7 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›))
109eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ (((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ↔ ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 ))
1110ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 ))
1211adantl 483 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 ))
137, 12mpbird 257 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 )
1413rexlimdva2 3151 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ))
15 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
16 0nn0 12433 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
17 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1β€˜π‘€) = (coe1β€˜π‘€)
1817, 4, 3, 1coe1fvalcl 21599 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾)
1915, 16, 18sylancl 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾)
2019adantr 482 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾)
21 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑠 = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) β†’ (π΄β€˜π‘ ) = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))
2221eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑠 = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) β†’ (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))))
2322adantl 483 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) ∧ 𝑠 = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) β†’ (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))))
24 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
263ply1ring 21635 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
273ply1lmod 21639 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
295, 25, 26, 27, 28, 4asclf 21301 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢𝐡)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢𝐡)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3217, 4, 3, 31coe1fvalcl 21599 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3315, 16, 32sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
343ply1sca 21640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3534eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3635fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3833, 37eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3930, 38ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡)
4024, 15, 393jca 1129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡))
4140adantr 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡))
42 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 )
433, 5, 1, 2coe1scl 21674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 )))
4419, 43syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 )))
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 )))
46 nnne0 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
4746neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
4847adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
50 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ = 0 ↔ 𝑛 = 0))
5150notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (Β¬ π‘˜ = 0 ↔ Β¬ 𝑛 = 0))
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (Β¬ π‘˜ = 0 ↔ Β¬ 𝑛 = 0))
5349, 52mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
5453iffalsed 4498 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 ) = 0 )
55 nnnn0 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
572fvexi 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ V)
5945, 54, 56, 58fvmptd 6956 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) = 0 )
6059eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ 0 = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
6242, 61eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
6362ex 414 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›)))
6463ralimdva 3161 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›)))
6564imp 408 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
663, 5, 1ply1sclid 21675 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
6719, 66syldan 592 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
6867adantr 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
69 df-n0 12419 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„• βˆͺ {0})
7069raleqi 3310 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆͺ {0})((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
71 c0ex 11154 . . . . . . . 8 0 ∈ V
72 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0))
73 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
7472, 73eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 β†’ (((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0)))
7574ralunsn 4852 . . . . . . . 8 (0 ∈ V β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆͺ {0})((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))))
7671, 75mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆͺ {0})((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))))
7770, 76bitrid 283 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))))
7865, 68, 77mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
79 eqid 2733 . . . . . 6 (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))
803, 4, 17, 79eqcoe1ply1eq 21684 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) β†’ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))))
8141, 78, 80sylc 65 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))
8220, 23, 81rspcedvd 3582 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ))
8382ex 414 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )))
8414, 83impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909  ifcif 4487  {csn 4587   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  0cc0 11056  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141  0gc0g 17326  Ringcrg 19969  algSccascl 21274  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-srg 19923  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570
This theorem is referenced by:  cpmatel2  22078
  Copyright terms: Public domain W3C validator