MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cply1coe0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cply1coe0bi 21824
Description: A polynomial is constant (i.e. a "lifted scalar") iff all but the first coefficient are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1coe0.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
cply1coe0.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
cply1coe0.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
cply1coe0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
cply1coe0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
cply1coe0bi ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑅,𝑛   𝐴,𝑛,𝑠   𝐡,𝑛,𝑠   𝐾,𝑠   𝑛,𝑀,𝑠   𝑅,𝑠   0 ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛,𝑠)   0 (𝑛)

Proof of Theorem cply1coe0bi
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cply1coe0.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2 cply1coe0.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 cply1coe0.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 cply1coe0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5 cply1coe0.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
61, 2, 3, 4, 5cply1coe0 21823 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 )
76ad4ant13 750 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 )
8 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ (coe1β€˜π‘€) = (coe1β€˜(π΄β€˜π‘ )))
98fveq1d 6894 . . . . . . 7 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›))
109eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ (((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ↔ ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 ))
1110ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 ))
1211adantl 483 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 ))
137, 12mpbird 257 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 )
1413rexlimdva2 3158 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ))
15 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
16 0nn0 12487 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
17 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1β€˜π‘€) = (coe1β€˜π‘€)
1817, 4, 3, 1coe1fvalcl 21736 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾)
1915, 16, 18sylancl 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾)
2019adantr 482 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾)
21 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑠 = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) β†’ (π΄β€˜π‘ ) = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))
2221eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑠 = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) β†’ (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))))
2322adantl 483 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) ∧ 𝑠 = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) β†’ (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))))
24 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
263ply1ring 21770 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
273ply1lmod 21774 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
295, 25, 26, 27, 28, 4asclf 21436 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢𝐡)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢𝐡)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3217, 4, 3, 31coe1fvalcl 21736 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3315, 16, 32sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
343ply1sca 21775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3534eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3635fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3833, 37eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3930, 38ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡)
4024, 15, 393jca 1129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡))
4140adantr 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡))
42 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 )
433, 5, 1, 2coe1scl 21809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 )))
4419, 43syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 )))
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 )))
46 nnne0 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
4746neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
4847adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
50 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ = 0 ↔ 𝑛 = 0))
5150notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (Β¬ π‘˜ = 0 ↔ Β¬ 𝑛 = 0))
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (Β¬ π‘˜ = 0 ↔ Β¬ 𝑛 = 0))
5349, 52mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
5453iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 ) = 0 )
55 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
572fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ V)
5945, 54, 56, 58fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) = 0 )
6059eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ 0 = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
6242, 61eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
6362ex 414 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›)))
6463ralimdva 3168 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›)))
6564imp 408 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
663, 5, 1ply1sclid 21810 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
6719, 66syldan 592 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
6867adantr 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
69 df-n0 12473 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„• βˆͺ {0})
7069raleqi 3324 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆͺ {0})((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
71 c0ex 11208 . . . . . . . 8 0 ∈ V
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0))
73 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
7472, 73eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 β†’ (((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0)))
7574ralunsn 4895 . . . . . . . 8 (0 ∈ V β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆͺ {0})((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))))
7671, 75mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆͺ {0})((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))))
7770, 76bitrid 283 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))))
7865, 68, 77mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
79 eqid 2733 . . . . . 6 (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))
803, 4, 17, 79eqcoe1ply1eq 21821 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) β†’ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))))
8141, 78, 80sylc 65 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))
8220, 23, 81rspcedvd 3615 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ))
8382ex 414 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )))
8414, 83impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947  ifcif 4529  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  0cc0 11110  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385  Ringcrg 20056  algSccascl 21407  Poly1cpl1 21701  coe1cco1 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-coe1 21707
This theorem is referenced by:  cpmatel2  22215
  Copyright terms: Public domain W3C validator