MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cply1coe0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cply1coe0bi 21815
Description: A polynomial is constant (i.e. a "lifted scalar") iff all but the first coefficient are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1coe0.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
cply1coe0.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
cply1coe0.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
cply1coe0.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
cply1coe0.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
cply1coe0bi ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑅,𝑛   𝐴,𝑛,𝑠   𝐡,𝑛,𝑠   𝐾,𝑠   𝑛,𝑀,𝑠   𝑅,𝑠   0 ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛,𝑠)   0 (𝑛)

Proof of Theorem cply1coe0bi
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cply1coe0.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2 cply1coe0.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
3 cply1coe0.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 cply1coe0.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5 cply1coe0.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
61, 2, 3, 4, 5cply1coe0 21814 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 )
76ad4ant13 749 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 )
8 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ (coe1β€˜π‘€) = (coe1β€˜(π΄β€˜π‘ )))
98fveq1d 6890 . . . . . . 7 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›))
109eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ (((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ↔ ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 ))
1110ralbidv 3177 . . . . 5 (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 ))
1211adantl 482 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘ ))β€˜π‘›) = 0 ))
137, 12mpbird 256 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 )
1413rexlimdva2 3157 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ))
15 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
16 0nn0 12483 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
17 eqid 2732 . . . . . . 7 (coe1β€˜π‘€) = (coe1β€˜π‘€)
1817, 4, 3, 1coe1fvalcl 21727 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾)
1915, 16, 18sylancl 586 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾)
2019adantr 481 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾)
21 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑠 = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) β†’ (π΄β€˜π‘ ) = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))
2221eqeq2d 2743 . . . . 5 (𝑠 = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) β†’ (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))))
2322adantl 482 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) ∧ 𝑠 = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) β†’ (𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))))
24 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
263ply1ring 21761 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
273ply1lmod 21765 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
28 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
295, 25, 26, 27, 28, 4asclf 21427 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢𝐡)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢𝐡)
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3217, 4, 3, 31coe1fvalcl 21727 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3315, 16, 32sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
343ply1sca 21766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3534eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3635fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3736adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3833, 37eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3930, 38ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡)
4024, 15, 393jca 1128 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡))
4140adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡))
42 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 )
433, 5, 1, 2coe1scl 21800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 )))
4419, 43syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 )))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 )))
46 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
4746neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
50 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ = 0 ↔ 𝑛 = 0))
5150notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (Β¬ π‘˜ = 0 ↔ Β¬ 𝑛 = 0))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (Β¬ π‘˜ = 0 ↔ Β¬ 𝑛 = 0))
5349, 52mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
5453iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ if(π‘˜ = 0, ((coe1β€˜π‘€)β€˜0), 0 ) = 0 )
55 nnnn0 12475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
572fvexi 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ V)
5945, 54, 56, 58fvmptd 7002 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) = 0 )
6059eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ 0 = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
6242, 61eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
6362ex 413 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›)))
6463ralimdva 3167 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›)))
6564imp 407 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
663, 5, 1ply1sclid 21801 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) ∈ 𝐾) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
6719, 66syldan 591 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
6867adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
69 df-n0 12469 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„• βˆͺ {0})
7069raleqi 3323 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆͺ {0})((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
71 c0ex 11204 . . . . . . . 8 0 ∈ V
72 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 β†’ ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜π‘€)β€˜0))
73 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))
7472, 73eqeq12d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 β†’ (((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0)))
7574ralunsn 4893 . . . . . . . 8 (0 ∈ V β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆͺ {0})((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))))
7671, 75mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„• βˆͺ {0})((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))))
7770, 76bitrid 282 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) ∧ ((coe1β€˜π‘€)β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜0))))
7865, 68, 77mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›))
79 eqid 2732 . . . . . 6 (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))) = (coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))
803, 4, 17, 79eqcoe1ply1eq 21812 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)) ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))β€˜π‘›) β†’ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0))))
8141, 78, 80sylc 65 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ 𝑀 = (π΄β€˜((coe1β€˜π‘€)β€˜0)))
8220, 23, 81rspcedvd 3614 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ))
8382ex 413 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ )))
8414, 83impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐾 𝑀 = (π΄β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((coe1β€˜π‘€)β€˜π‘›) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945  ifcif 4527  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  0cc0 11106  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  algSccascl 21398  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698
This theorem is referenced by:  cpmatel2  22206
  Copyright terms: Public domain W3C validator