MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpnndm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpnndm 14935
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpnndm ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem relexpnndm
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
21dmeqd 5865 . . . . 5 (𝑛 = 1 → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟1))
32sseq1d 3979 . . . 4 (𝑛 = 1 → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅))
43imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅)))
5 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑚))
65dmeqd 5865 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟𝑚))
76sseq1d 3979 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅))
87imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅)))
9 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
109dmeqd 5865 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
1110sseq1d 3979 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
1211imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
13 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑁))
1413dmeqd 5865 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟𝑁))
1514sseq1d 3979 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
1615imbi2d 341 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)))
17 relexp1g 14920 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1817dmeqd 5865 . . . 4 (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟1) = dom 𝑅)
19 eqimss 4004 . . . 4 (dom (𝑅𝑟1) = dom 𝑅 → dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
21 relexpsucnnr 14919 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
2221ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
2322dmeqd 5865 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = dom ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
24 dmcoss 5930 . . . . . . 7 dom ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) ⊆ dom 𝑅
2523, 24eqsstrdi 4002 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)
2625a1d 25 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
2726ex 414 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → (dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
2827a2d 29 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅) → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
294, 8, 12, 16, 20, 28nnind 12179 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
3029imp 408 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3914  dom cdm 5637  ccom 5641  (class class class)co 7361  1c1 11060   + caddc 11062  cn 12161  𝑟crelexp 14913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-relexp 14914
This theorem is referenced by:  relexpdmg  14936  relexpnnrn  14939  relexpfld  14943  relexpaddg  14947  relexpaddss  42082
  Copyright terms: Public domain W3C validator