Theorem relexpnndm 15080

Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpnndm	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem relexpnndm

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
2	1	dmeqd 5898	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟1))
3	2	sseq1d 3976	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)))
5		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑚))
6	5	dmeqd 5898	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟𝑚))
7	6	sseq1d 3976	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅)))
9		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)))
10	9	dmeqd 5898	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)))
11	10	sseq1d 3976	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
13		oveq2 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑁))
14	13	dmeqd 5898	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟𝑁))
15	14	sseq1d 3976	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)))
17		relexp1g 15065	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
18	17	dmeqd 5898	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) = dom 𝑅)
19		eqimss 4003	. . . 4 ⊢ (dom (𝑅↑𝑟1) = dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
21		relexpsucnnr 15064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
22	21	ancoms 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
23	22	dmeqd 5898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = dom ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
24		dmcoss 5968	. . . . . . 7 ⊢ dom ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅) ⊆ dom 𝑅
25	23, 24	eqsstrdi 3989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)
26	25	a1d 26	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
27	26	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → (dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
28	27	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅) → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
29	4, 8, 12, 16, 20, 28	nnind 12253	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
30	29	imp 411	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  dom cdm 5664   ∘ ccom 5668  (class class class)co 7413  1c1 11103   + caddc 11105  ℕcn 12235  ↑_𝑟crelexp 15058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-seq 14040  df-relexp 15059

This theorem is referenced by:  relexpdmg  15081  relexpnnrn  15084  relexpfld  15088  relexpaddg  15092  relexpaddss  44373