Theorem relexpnndm 14998

Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpnndm	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem relexpnndm

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
2	1	dmeqd 5856	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟1))
3	2	sseq1d 3954	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)))
5		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑚))
6	5	dmeqd 5856	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟𝑚))
7	6	sseq1d 3954	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅)))
9		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)))
10	9	dmeqd 5856	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)))
11	10	sseq1d 3954	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
13		oveq2 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑁))
14	13	dmeqd 5856	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟𝑁))
15	14	sseq1d 3954	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)))
17		relexp1g 14983	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
18	17	dmeqd 5856	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) = dom 𝑅)
19		eqimss 3981	. . . 4 ⊢ (dom (𝑅↑𝑟1) = dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
21		relexpsucnnr 14982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
22	21	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
23	22	dmeqd 5856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = dom ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
24		dmcoss 5926	. . . . . . 7 ⊢ dom ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅) ⊆ dom 𝑅
25	23, 24	eqsstrdi 3967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)
26	25	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → (dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
28	27	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅) → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
29	4, 8, 12, 16, 20, 28	nnind 12187	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
30	29	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  dom cdm 5626   ∘ ccom 5630  (class class class)co 7362  1c1 11034   + caddc 11036  ℕcn 12169  ↑_𝑟crelexp 14976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-relexp 14977

This theorem is referenced by:  relexpdmg  14999  relexpnnrn  15002  relexpfld  15006  relexpaddg  15010  relexpaddss  44167