MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpnndm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpnndm 14259
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpnndm ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem relexpnndm
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6982 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
21dmeqd 5620 . . . . 5 (𝑛 = 1 → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟1))
32sseq1d 3881 . . . 4 (𝑛 = 1 → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅))
43imbi2d 333 . . 3 (𝑛 = 1 → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅)))
5 oveq2 6982 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑚))
65dmeqd 5620 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟𝑚))
76sseq1d 3881 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅))
87imbi2d 333 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅)))
9 oveq2 6982 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
109dmeqd 5620 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
1110sseq1d 3881 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
1211imbi2d 333 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
13 oveq2 6982 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑁))
1413dmeqd 5620 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → dom (𝑅𝑟𝑛) = dom (𝑅𝑟𝑁))
1514sseq1d 3881 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
1615imbi2d 333 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)))
17 relexp1g 14244 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1817dmeqd 5620 . . . 4 (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟1) = dom 𝑅)
19 eqimss 3906 . . . 4 (dom (𝑅𝑟1) = dom 𝑅 → dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
21 relexpsucnnr 14243 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
2221ancoms 451 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
2322dmeqd 5620 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = dom ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
24 dmcoss 5681 . . . . . . 7 dom ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) ⊆ dom 𝑅
2523, 24syl6eqss 3904 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)
2625a1d 25 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → (dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
2726ex 405 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → (dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
2827a2d 29 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅) → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
294, 8, 12, 16, 20, 28nnind 11457 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
3029imp 398 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wss 3822  dom cdm 5403  ccom 5407  (class class class)co 6974  1c1 10334   + caddc 10336  cn 11437  𝑟crelexp 14238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-seq 13183  df-relexp 14239
This theorem is referenced by:  relexpdmg  14260  relexpnnrn  14263  relexpfld  14267  relexpaddg  14271  relexpaddss  39464
  Copyright terms: Public domain W3C validator