Theorem relexpnndm 15195

Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpnndm	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem relexpnndm

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
2	1	dmeqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟1))
3	2	sseq1d 3960	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅))
4	3	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)))
5		oveq2 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑚))
6	5	dmeqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟𝑚))
7	6	sseq1d 3960	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅)))
9		oveq2 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)))
10	9	dmeqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)))
11	10	sseq1d 3960	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
13		oveq2 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑁))
14	13	dmeqd 5887	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟𝑁))
15	14	sseq1d 3960	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)))
17		relexp1g 15180	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
18	17	dmeqd 5887	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) = dom 𝑅)
19		eqimss 3987	. . . 4 ⊢ (dom (𝑅↑𝑟1) = dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
21		relexpsucnnr 15179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
22	21	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
23	22	dmeqd 5887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = dom ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
24		dmcoss 5957	. . . . . . 7 ⊢ dom ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅) ⊆ dom 𝑅
25	23, 24	eqsstrdi 3973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)
26	25	a1d 26	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
27	26	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → (dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
28	27	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅) → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
29	4, 8, 12, 16, 20, 28	nnind 12354	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
30	29	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3914  dom cdm 5651   ∘ ccom 5655  (class class class)co 7421  1c1 11202   + caddc 11204  ℕcn 12336  ↑_𝑟crelexp 15173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-seq 14146  df-relexp 15174

This theorem is used by:  relexpdmg  15196  relexpnnrn  15199  relexpfld  15203  relexpaddg  15207  relexpaddss  44719