Theorem relexpnndm 15020

Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpnndm	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Proof of Theorem relexpnndm

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
2	1	dmeqd 5902	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟1))
3	2	sseq1d 4004	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅))
4	3	imbi2d 339	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)))
5		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑚))
6	5	dmeqd 5902	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟𝑚))
7	6	sseq1d 4004	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅))
8	7	imbi2d 339	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅)))
9		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)))
10	9	dmeqd 5902	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)))
11	10	sseq1d 4004	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
12	11	imbi2d 339	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
13		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑁))
14	13	dmeqd 5902	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) = dom (𝑅↑𝑟𝑁))
15	14	sseq1d 4004	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅 ↔ dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
16	15	imbi2d 339	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ dom 𝑅) ↔ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)))
17		relexp1g 15005	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
18	17	dmeqd 5902	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) = dom 𝑅)
19		eqimss 4031	. . . 4 ⊢ (dom (𝑅↑𝑟1) = dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟1) ⊆ dom 𝑅)
21		relexpsucnnr 15004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
22	21	ancoms 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
23	22	dmeqd 5902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) = dom ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
24		dmcoss 5968	. . . . . . 7 ⊢ dom ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ 𝑅) ⊆ dom 𝑅
25	23, 24	eqsstrdi 4027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)
26	25	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅))
27	26	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → (dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
28	27	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑚) ⊆ dom 𝑅) → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟(𝑚 + 1)) ⊆ dom 𝑅)))
29	4, 8, 12, 16, 20, 28	nnind 12260	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅))
30	29	imp 405	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939  dom cdm 5672   ∘ ccom 5676  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141  ℕcn 12242  ↑_𝑟crelexp 14998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-relexp 14999

This theorem is referenced by:  relexpdmg  15021  relexpnnrn  15024  relexpfld  15028  relexpaddg  15032  relexpaddss  43213