MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resgrpisgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resgrpisgrp 17824
Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the other group restricted to the base set of the group is a group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
grpissubg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpissubg.s 𝑆 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
resgrpisgrp ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))

Proof of Theorem resgrpisgrp
StepHypRef Expression
1 grpissubg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpissubg.s . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝐻)
31, 2grpissubg 17823 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
43imp 395 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 ibar 520 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → ((𝐺s 𝑆) ∈ Grp ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)))
65ad2ant2r 744 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝐺s 𝑆) ∈ Grp ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)))
7 df-3an 1102 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
86, 7syl6bbr 280 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝐺s 𝑆) ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)))
91issubg 17803 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
108, 9syl6bbr 280 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝐺s 𝑆) ∈ Grp ↔ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
114, 10mpbird 248 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
1211ex 399 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wss 3780   × cxp 5320  cres 5324  cfv 6108  (class class class)co 6881  Basecbs 16075  s cress 16076  +gcplusg 16160  Grpcgrp 17634  SubGrpcsubg 17797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-nn 11313  df-2 11371  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-plusg 16173  df-0g 16314  df-mgm 17454  df-sgrp 17496  df-mnd 17507  df-grp 17637  df-minusg 17638  df-subg 17800
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator