Theorem resgrpisgrp 18372

Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the other group restricted to the base set of the group is a group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpissubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpissubg.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resgrpisgrp	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))

Proof of Theorem resgrpisgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpissubg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpissubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
3	1, 2	grpissubg 18371	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
4	3	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		ibar 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)))
6	5	ad2ant2r 746	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)))
7		df-3an 1086	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
8	6, 7	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)))
9	1	issubg 18351	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
10	8, 9	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ↔ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
11	4, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
12	11	ex 416	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860   × cxp 5525   ↾ cres 5529  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Basecbs 16546   ↾_s cress 16547  +_gcplusg 16628  Grpcgrp 18174  SubGrpcsubg 18345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-subg 18348

This theorem is referenced by: (None)