Theorem subgsubm 19180

Description: A subgroup is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
subgsubm	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Proof of Theorem subgsubm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19163	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	2	issubg3 19176	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆)))
5	4	ibi 269	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
6	5	simpld 498	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ‘cfv 6515  SubMndcsubmnd 18806  Grpcgrp 18965  inv_gcminusg 18966  SubGrpcsubg 19152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-subg 19155

This theorem is referenced by:  resghm2  19263  resghm2b  19264  symggen  19500  psgnunilem5  19524  subgod  19600  lsmsubg  19684  lsmub1  19687  lsmub2  19688  lsmidm  19693  gsumsubgcl  19950  dprdfeq0  20054  dprdlub  20058  zrhpsgnmhm  21623  resspsrmul  22014  gsumply1subr  22282  chfacfisfcpmat  22902  subgtgp  24152  plypf1  26259  amgmlem  27041  lgseisenlem4  27429  cyc3genpm  33292  nn0archi  33493  elrspunidl  33574  idlinsubrg  33577  ply1degltdimlem  33879  fedgmullem1  33886  evls1fldgencl  33927  fldextrspunlsplem  33930  amgmwlem  50383  amgmlemALT  50384