Theorem subgsubm 19061

Description: A subgroup is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
subgsubm	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Proof of Theorem subgsubm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19044	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	2	issubg3 19057	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆)))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆)))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ‘cfv 6481  SubMndcsubmnd 18690  Grpcgrp 18846  inv_gcminusg 18847  SubGrpcsubg 19033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036

This theorem is referenced by:  resghm2  19146  resghm2b  19147  symggen  19383  psgnunilem5  19407  subgod  19483  lsmsubg  19567  lsmub1  19570  lsmub2  19571  lsmidm  19576  gsumsubgcl  19833  dprdfeq0  19937  dprdlub  19941  zrhpsgnmhm  21522  resspsrmul  21914  gsumply1subr  22147  chfacfisfcpmat  22771  subgtgp  24021  plypf1  26145  amgmlem  26928  lgseisenlem4  27317  cyc3genpm  33119  nn0archi  33310  elrspunidl  33391  idlinsubrg  33394  ply1degltdimlem  33633  fedgmullem1  33640  evls1fldgencl  33681  fldextrspunlsplem  33684  amgmwlem  49840  amgmlemALT  49841