Theorem resslem 16557

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslem.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resslem.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resslem.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resslem.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resslem.b	⊢ 1 < 𝑁

Assertion

Ref	Expression
resslem	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressid2 16552	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
4	3	fveq2d 6674	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
5	4	3expib 1118	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
6	1, 2	ressval2 16553	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
7	6	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		resslem.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		resslem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 16509	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11	8, 9	ndxarg 16508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
12		1re 10641	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		resslem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
14	12, 13	gtneii 10752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 1
15	11, 14	eqnetri 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 1
16		basendx 16547	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17	15, 16	neeqtrri 3089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
18	10, 17	setsnid 16539	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
19	7, 18	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	3expib 1118	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
21	5, 20	pm2.61i 184	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22		reldmress 16550	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
23	22	ovprc1 7195	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
24	1, 23	syl5eq 2868	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
25	24	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
26	8	str0 16535	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
27	25, 26	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
28		fvprc 6663	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
29	27, 28	eqtr4d 2859	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	29	adantr 483	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	21, 30	pm2.61ian 810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32		resslem.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
33	31, 32	syl6reqr 2875	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1c1 10538   < clt 10675  ℕcn 11638  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Slot cslot 16482  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-nn 11639  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491

This theorem is referenced by:  ressplusg  16612  ressmulr  16625  ressstarv  16626  resssca  16650  ressvsca  16651  ressip  16652  resstset  16665  ressle  16672  ressds  16686  resshom  16691  ressco  16692  ressunif  22871