Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resslem 16615
 Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
resslem.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
resslem.e 𝐶 = (𝐸𝑊)
resslem.f 𝐸 = Slot 𝑁
resslem.n 𝑁 ∈ ℕ
resslem.b 1 < 𝑁
Assertion
Ref Expression
resslem (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))

Proof of Theorem resslem
StepHypRef Expression
1 resslem.e . 2 𝐶 = (𝐸𝑊)
2 resslem.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
3 eqid 2758 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3ressid2 16610 . . . . . 6 (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
54fveq2d 6662 . . . . 5 (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
653expib 1119 . . . 4 ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
72, 3ressval2 16611 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
87fveq2d 6662 . . . . . 6 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9 resslem.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
10 resslem.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
119, 10ndxid 16567 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
129, 10ndxarg 16566 . . . . . . . . 9 (𝐸‘ndx) = 𝑁
13 1re 10679 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
14 resslem.b . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
1513, 14gtneii 10790 . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 1
1612, 15eqnetri 3021 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) ≠ 1
17 basendx 16605 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) = 1
1816, 17neeqtrri 3024 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
1911, 18setsnid 16597 . . . . . 6 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
208, 19eqtr4di 2811 . . . . 5 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
21203expib 1119 . . . 4 (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
226, 21pm2.61i 185 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
23 reldmress 16608 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾s
2423ovprc1 7189 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
252, 24syl5eq 2805 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
2625fveq2d 6662 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸‘∅))
279str0 16593 . . . . . 6 ∅ = (𝐸‘∅)
2826, 27eqtr4di 2811 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = ∅)
29 fvprc 6650 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
3028, 29eqtr4d 2796 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3130adantr 484 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3222, 31pm2.61ian 811 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
331, 32eqtr4id 2812 1 (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  1c1 10576   < clt 10713  ℕcn 11674  ndxcnx 16538   sSet csts 16539  Slot cslot 16540  Basecbs 16541   ↾s cress 16542 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-ltxr 10718  df-nn 11675  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549 This theorem is referenced by:  ressplusg  16670  ressmulr  16683  ressstarv  16684  resssca  16708  ressvsca  16709  ressip  16710  resstset  16723  ressle  16730  ressds  16744  resshom  16749  ressco  16750  ressunif  22963
 Copyright terms: Public domain W3C validator