Theorem xrrest 25002

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrrest.1	⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )
xrrest.2	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
xrrest	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑋 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem xrrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrrest.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
2		xrrest.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )
3	2	oveq1i 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
4	3	xrtgioo 25001	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝑋 ↾t ℝ)
5	1, 4	eqtri 2789	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑋 ↾t ℝ)
6	5	oveq1i 7433	. 2 ⊢ (𝑅 ↾t 𝐴) = ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴)
7	2	fvexi 6902	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
8		reex 11209	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
9		restabs 23359	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))
10	7, 8, 9	mp3an13 1481	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))
11	6, 10	eqtr2id 2814	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑋 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   ≤ cle 11262  (,)cioo 13390   ↾_t crest 17498  topGenctg 17515  ordTopcordt 17578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-ordt 17580  df-ps 18647  df-tsr 18648  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140

This theorem is used by:  xrrest2  25003  dfii5  25081