Theorem xrrest 24829

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrrest.1	⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )
xrrest.2	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
xrrest	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑋 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem xrrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrrest.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
2		xrrest.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ordTop‘ ≤ )
3	2	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
4	3	xrtgioo 24828	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝑋 ↾t ℝ)
5	1, 4	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑋 ↾t ℝ)
6	5	oveq1i 7441	. 2 ⊢ (𝑅 ↾t 𝐴) = ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴)
7	2	fvexi 6920	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
8		reex 11246	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
9		restabs 23173	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))
10	7, 8, 9	mp3an13 1454	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑋 ↾t ℝ) ↾t 𝐴) = (𝑋 ↾t 𝐴))
11	6, 10	eqtr2id 2790	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑋 ↾t 𝐴) = (𝑅 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   ≤ cle 11296  (,)cioo 13387   ↾_t crest 17465  topGenctg 17482  ordTopcordt 17544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953

This theorem is referenced by:  xrrest2  24830  dfii5  24911