Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlimxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmlimxrge0 33582
Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlimxrge0.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
lmlimxrge0.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
lmlimxrge0.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
lmlimxrge0.x 𝑋 βŠ† (0[,)+∞)
Assertion
Ref Expression
lmlimxrge0 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmlimxrge0
StepHypRef Expression
1 lmlimxrge0.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 xrge0topn 33577 . . . 4 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
31, 2eqtri 2756 . . 3 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
4 letopon 23129 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
5 iccssxr 13447 . . . 4 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
6 resttopon 23085 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
74, 5, 6mp2an 690 . . 3 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
83, 7eqeltri 2825 . 2 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
9 lmlimxrge0.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
10 lmlimxrge0.p . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
11 fvex 6915 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ V
12 lmlimxrge0.x . . . . 5 𝑋 βŠ† (0[,)+∞)
13 icossicc 13453 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
1412, 13sstri 3991 . . . 4 𝑋 βŠ† (0[,]+∞)
15 ovex 7459 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
16 restabs 23089 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ V ∧ 𝑋 βŠ† (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt 𝑋) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝑋))
1711, 14, 15, 16mp3an 1457 . . 3 (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt 𝑋) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝑋)
183oveq1i 7436 . . 3 (𝐽 β†Ύt 𝑋) = (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt 𝑋)
19 rge0ssre 13473 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
2012, 19sstri 3991 . . . 4 𝑋 βŠ† ℝ
21 eqid 2728 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
22 eqid 2728 . . . . 5 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
2321, 22xrrest2 24744 . . . 4 (𝑋 βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑋) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝑋))
2420, 23ax-mp 5 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑋) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝑋)
2517, 18, 243eqtr4i 2766 . 2 (𝐽 β†Ύt 𝑋) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑋)
26 ax-resscn 11203 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
2720, 26sstri 3991 . 2 𝑋 βŠ† β„‚
288, 9, 10, 25, 27lmlim 33581 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287  β„•cn 12250  [,)cico 13366  [,]cicc 13367   ⇝ cli 15468   β†Ύs cress 17216   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  ordTopcordt 17488  β„*𝑠cxrs 17489  β„‚fldccnfld 21286  TopOnctopon 22832  β‡π‘‘clm 23150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-ordt 17490  df-xrs 17491  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-lm 23153  df-xms 24246  df-ms 24247
This theorem is referenced by:  esumcvg  33738  dstfrvclim1  34130
  Copyright terms: Public domain W3C validator