Theorem lmlimxrge0 33925

Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmlimxrge0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmlimxrge0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlimxrge0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmlimxrge0.x	⊢ 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
lmlimxrge0	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmlimxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmlimxrge0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0topn 33920	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
3	1, 2	eqtri 2758	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
4		letopon 23141	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
5		iccssxr 13445	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6		resttopon 23097	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
8	3, 7	eqeltri 2830	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
9		lmlimxrge0.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
10		lmlimxrge0.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
11		fvex 6888	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ V
12		lmlimxrge0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
13		icossicc 13451	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
14	12, 13	sstri 3968	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞)
15		ovex 7436	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
16		restabs 23101	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ V ∧ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
18	3	oveq1i 7413	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋)
19		rge0ssre 13471	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20	12, 19	sstri 3968	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ ℝ
21		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
23	21, 22	xrrest2 24746	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
24	20, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
25	17, 18, 24	3eqtr4i 2768	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
26		ax-resscn 11184	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	20, 26	sstri 3968	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
28	8, 9, 10, 25, 27	lmlim 33924	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268  ℕcn 12238  [,)cico 13362  [,]cicc 13363   ⇝ cli 15498   ↾_s cress 17249   ↾_t crest 17432  TopOpenctopn 17433  ordTopcordt 17511  ℝ^*_𝑠cxrs 17512  ℂ_fldccnfld 21313  TopOnctopon 22846  ⇝_𝑡clm 23162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-rest 17434  df-topn 17435  df-topgen 17455  df-ordt 17513  df-xrs 17514  df-ps 18574  df-tsr 18575  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-lm 23165  df-xms 24257  df-ms 24258

This theorem is referenced by:  esumcvg  34063  dstfrvclim1  34456