Theorem lmlimxrge0 33947

Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmlimxrge0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmlimxrge0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlimxrge0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmlimxrge0.x	⊢ 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
lmlimxrge0	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmlimxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmlimxrge0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0topn 33942	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
3	1, 2	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
4		letopon 23213	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
5		iccssxr 13470	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6		resttopon 23169	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
8	3, 7	eqeltri 2837	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
9		lmlimxrge0.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
10		lmlimxrge0.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
11		fvex 6919	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ V
12		lmlimxrge0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
13		icossicc 13476	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
14	12, 13	sstri 3993	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞)
15		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
16		restabs 23173	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ V ∧ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
18	3	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋)
19		rge0ssre 13496	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20	12, 19	sstri 3993	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ ℝ
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
23	21, 22	xrrest2 24830	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
24	20, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
25	17, 18, 24	3eqtr4i 2775	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
26		ax-resscn 11212	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	20, 26	sstri 3993	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
28	8, 9, 10, 25, 27	lmlim 33946	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  [,)cico 13389  [,]cicc 13390   ⇝ cli 15520   ↾_s cress 17274   ↾_t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ordTopcordt 17544  ℝ^*_𝑠cxrs 17545  ℂ_fldccnfld 21364  TopOnctopon 22916  ⇝_𝑡clm 23234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xms 24330  df-ms 24331

This theorem is referenced by:  esumcvg  34087  dstfrvclim1  34480