Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlimxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmlimxrge0 33457
Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlimxrge0.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
lmlimxrge0.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
lmlimxrge0.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
lmlimxrge0.x 𝑋 βŠ† (0[,)+∞)
Assertion
Ref Expression
lmlimxrge0 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmlimxrge0
StepHypRef Expression
1 lmlimxrge0.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 xrge0topn 33452 . . . 4 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
31, 2eqtri 2754 . . 3 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
4 letopon 23059 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
5 iccssxr 13410 . . . 4 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
6 resttopon 23015 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
74, 5, 6mp2an 689 . . 3 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
83, 7eqeltri 2823 . 2 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
9 lmlimxrge0.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
10 lmlimxrge0.p . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
11 fvex 6897 . . . 4 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ V
12 lmlimxrge0.x . . . . 5 𝑋 βŠ† (0[,)+∞)
13 icossicc 13416 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
1412, 13sstri 3986 . . . 4 𝑋 βŠ† (0[,]+∞)
15 ovex 7437 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
16 restabs 23019 . . . 4 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ V ∧ 𝑋 βŠ† (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt 𝑋) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝑋))
1711, 14, 15, 16mp3an 1457 . . 3 (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt 𝑋) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝑋)
183oveq1i 7414 . . 3 (𝐽 β†Ύt 𝑋) = (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt 𝑋)
19 rge0ssre 13436 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
2012, 19sstri 3986 . . . 4 𝑋 βŠ† ℝ
21 eqid 2726 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
22 eqid 2726 . . . . 5 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
2321, 22xrrest2 24674 . . . 4 (𝑋 βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑋) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝑋))
2420, 23ax-mp 5 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑋) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝑋)
2517, 18, 243eqtr4i 2764 . 2 (𝐽 β†Ύt 𝑋) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑋)
26 ax-resscn 11166 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
2720, 26sstri 3986 . 2 𝑋 βŠ† β„‚
288, 9, 10, 25, 27lmlim 33456 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  [,)cico 13329  [,]cicc 13330   ⇝ cli 15431   β†Ύs cress 17179   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  ordTopcordt 17451  β„*𝑠cxrs 17452  β„‚fldccnfld 21235  TopOnctopon 22762  β‡π‘‘clm 23080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-ordt 17453  df-xrs 17454  df-ps 18528  df-tsr 18529  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-lm 23083  df-xms 24176  df-ms 24177
This theorem is referenced by:  esumcvg  33613  dstfrvclim1  34005
  Copyright terms: Public domain W3C validator