Theorem lmlimxrge0 31926

Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmlimxrge0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmlimxrge0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlimxrge0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmlimxrge0.x	⊢ 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
lmlimxrge0	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmlimxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmlimxrge0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0topn 31921	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
3	1, 2	eqtri 2761	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
4		letopon 22384	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
5		iccssxr 13190	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6		resttopon 22340	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
7	4, 5, 6	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
8	3, 7	eqeltri 2830	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
9		lmlimxrge0.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
10		lmlimxrge0.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
11		fvex 6805	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ V
12		lmlimxrge0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
13		icossicc 13196	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
14	12, 13	sstri 3932	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞)
15		ovex 7328	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
16		restabs 22344	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ V ∧ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1459	. . 3 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
18	3	oveq1i 7305	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋)
19		rge0ssre 13216	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20	12, 19	sstri 3932	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ ℝ
21		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
23	21, 22	xrrest2 23999	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
24	20, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
25	17, 18, 24	3eqtr4i 2771	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
26		ax-resscn 10956	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	20, 26	sstri 3932	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
28	8, 9, 10, 25, 27	lmlim 31925	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  Vcvv 3434   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5077  ⟶wf 6443  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  ℂcc 10897  ℝcr 10898  0cc0 10899  +∞cpnf 11034  ℝ^*cxr 11036   ≤ cle 11038  ℕcn 12001  [,)cico 13109  [,]cicc 13110   ⇝ cli 15221   ↾_s cress 16969   ↾_t crest 17159  TopOpenctopn 17160  ordTopcordt 17238  ℝ^*_𝑠cxrs 17239  ℂ_fldccnfld 20625  TopOnctopon 22087  ⇝_𝑡clm 22405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fi 9198  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-q 12717  df-rp 12759  df-xneg 12876  df-xadd 12877  df-xmul 12878  df-ioo 13111  df-ioc 13112  df-ico 13113  df-icc 13114  df-fz 13268  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-clim 15225  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-starv 17005  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-unif 17013  df-rest 17161  df-topn 17162  df-topgen 17182  df-ordt 17240  df-xrs 17241  df-ps 18312  df-tsr 18313  df-psmet 20617  df-xmet 20618  df-met 20619  df-bl 20620  df-mopn 20621  df-cnfld 20626  df-top 22071  df-topon 22088  df-topsp 22110  df-bases 22124  df-lm 22408  df-xms 23501  df-ms 23502

This theorem is referenced by:  esumcvg  32082  dstfrvclim1  32472