Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlimxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmlimxrge0 33908
Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlimxrge0.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
lmlimxrge0.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlimxrge0.p (𝜑𝑃𝑋)
lmlimxrge0.x 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
Assertion
Ref Expression
lmlimxrge0 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))

Proof of Theorem lmlimxrge0
StepHypRef Expression
1 lmlimxrge0.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 xrge0topn 33903 . . . 4 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
31, 2eqtri 2762 . . 3 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
4 letopon 23228 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
5 iccssxr 13466 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 resttopon 23184 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
74, 5, 6mp2an 692 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
83, 7eqeltri 2834 . 2 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
9 lmlimxrge0.f . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
10 lmlimxrge0.p . 2 (𝜑𝑃𝑋)
11 fvex 6919 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ V
12 lmlimxrge0.x . . . . 5 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
13 icossicc 13472 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
1412, 13sstri 4004 . . . 4 𝑋 ⊆ (0[,]+∞)
15 ovex 7463 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
16 restabs 23188 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ V ∧ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
1711, 14, 15, 16mp3an 1460 . . 3 (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
183oveq1i 7440 . . 3 (𝐽t 𝑋) = (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋)
19 rge0ssre 13492 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2012, 19sstri 4004 . . . 4 𝑋 ⊆ ℝ
21 eqid 2734 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 eqid 2734 . . . . 5 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
2321, 22xrrest2 24843 . . . 4 (𝑋 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
2420, 23ax-mp 5 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
2517, 18, 243eqtr4i 2772 . 2 (𝐽t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
26 ax-resscn 11209 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
2720, 26sstri 4004 . 2 𝑋 ⊆ ℂ
288, 9, 10, 25, 27lmlim 33907 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  *cxr 11291  cle 11293  cn 12263  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  cli 15516  s cress 17273  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  ordTopcordt 17545  *𝑠cxrs 17546  fldccnfld 21381  TopOnctopon 22931  𝑡clm 23249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-lm 23252  df-xms 24345  df-ms 24346
This theorem is referenced by:  esumcvg  34066  dstfrvclim1  34458
  Copyright terms: Public domain W3C validator