Theorem lmlimxrge0 33938

Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmlimxrge0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmlimxrge0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlimxrge0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmlimxrge0.x	⊢ 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
lmlimxrge0	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Proof of Theorem lmlimxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmlimxrge0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		xrge0topn 33933	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
3	1, 2	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
4		letopon 23092	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
5		iccssxr 13391	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6		resttopon 23048	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
8	3, 7	eqeltri 2824	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
9		lmlimxrge0.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
10		lmlimxrge0.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
11		fvex 6871	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ V
12		lmlimxrge0.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
13		icossicc 13397	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
14	12, 13	sstri 3956	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞)
15		ovex 7420	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
16		restabs 23052	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ V ∧ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
17	11, 14, 15, 16	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
18	3	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋)
19		rge0ssre 13417	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20	12, 19	sstri 3956	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ ℝ
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
23	21, 22	xrrest2 24697	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
24	20, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
25	17, 18, 24	3eqtr4i 2762	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
26		ax-resscn 11125	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	20, 26	sstri 3956	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
28	8, 9, 10, 25, 27	lmlim 33937	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ 𝐹 ⇝ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  [,)cico 13308  [,]cicc 13309   ⇝ cli 15450   ↾_s cress 17200   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ordTopcordt 17462  ℝ^*_𝑠cxrs 17463  ℂ_fldccnfld 21264  TopOnctopon 22797  ⇝_𝑡clm 23113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-ordt 17464  df-xrs 17465  df-ps 18525  df-tsr 18526  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-lm 23116  df-xms 24208  df-ms 24209

This theorem is referenced by:  esumcvg  34076  dstfrvclim1  34469