Theorem resv0g 30370

Description: 0_g is unaffected by scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvbas.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾v 𝐴)
resv0g.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
resv0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 0 = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem resv0g

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resv0g.2	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		eqidd 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
3		resvbas.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾v 𝐴)
4		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	3, 4	resvbas 30366	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
6		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	3, 6	resvplusg 30367	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
8	7	oveqdr 6933	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
9	2, 5, 8	grpidpropd 17614	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
10	1, 9	syl5eq 2873	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 0 = (0g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +_gcplusg 16305  0_gc0g 16453   ↾_v cresv 30358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-plusg 16318  df-sca 16321  df-0g 16455  df-resv 30359

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  30378