Theorem climreeq 46624

Description: If 𝐹 is a real function, then 𝐹 converges to 𝐴 with respect to the standard topology on the reals if and only if it converges to 𝐴 with respect to the standard topology on complex numbers. In the theorem, 𝑅 is defined to be convergence w.r.t. the standard topology on the reals and then 𝐹𝑅𝐴 represents the statement "𝐹 converges to 𝐴, with respect to the standard topology on the reals". Notice that there is no need for the hypothesis that 𝐴 is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climreeq.1	⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
climreeq.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climreeq.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climreeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climreeq	⊢ (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climreeq

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climreeq.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
2	1	breqi 5109	. 2 ⊢ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
3		climreeq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climreeq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5		ax-resscn 11257	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7	4, 6	fssd 6727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9		climreeq.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	8, 9	lmclimf 25625	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
11	3, 7, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
12		tgioo4 25124	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
13		reex 11291	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
15	8	cnfldtop 25102	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
19	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
20	12, 9, 14, 16, 17, 18, 19	lmss 23616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
21	20	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
22		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)
23	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	11	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
25	4	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
26	25	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
27	9, 23, 24, 26	climrecl 15750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ))
29	28	ancrd 561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)))
30	22, 29	impbid2 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴))
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
32		retopon 25082	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
34		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
35		lmcl 23615	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	33, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	36	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ))
38	37	ancrd 561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
39	31, 38	impbid2 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
40	21, 30, 39	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
41	11, 40	bitr3d 284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
42	2, 41	bitr4id 293	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ran crn 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ℂcc 11198  ℝcr 11199  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  (,)cioo 13476   ⇝ cli 15651  TopOpenctopn 17592  topGenctg 17608  ℂ_fldccnfld 21678  Topctop 23211  TopOnctopon 23228  ⇝_𝑡clm 23544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-fz 13640  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-rest 17593  df-topn 17594  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-lm 23547  df-xms 24639  df-ms 24640

This theorem is used by:  xlimclim  46833  stirlingr  47099