Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climreeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climreeq 43861
Description: If 𝐹 is a real function, then 𝐹 converges to 𝐴 with respect to the standard topology on the reals if and only if it converges to 𝐴 with respect to the standard topology on complex numbers. In the theorem, 𝑅 is defined to be convergence w.r.t. the standard topology on the reals and then 𝐹𝑅𝐴 represents the statement "𝐹 converges to 𝐴, with respect to the standard topology on the reals". Notice that there is no need for the hypothesis that 𝐴 is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climreeq.1 𝑅 = (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))
climreeq.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climreeq.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climreeq.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
climreeq (πœ‘ β†’ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climreeq
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climreeq.1 . . 3 𝑅 = (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))
21breqi 5112 . 2 (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)
3 climreeq.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 climreeq.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
5 ax-resscn 11109 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
74, 6fssd 6687 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
8 eqid 2737 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9 climreeq.2 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
108, 9lmclimf 24671 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
113, 7, 10syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
128tgioo2 24169 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
13 reex 11143 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ℝ ∈ V)
158cnfldtop 24150 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
1615a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
17 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
183adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
194adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
2012, 9, 14, 16, 17, 18, 19lmss 22652 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
2120pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)))
22 simpr 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴)
233adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2411biimpa 478 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
254ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2625adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
279, 23, 24, 26climrecl 15466 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2827ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
2928ancrd 553 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴)))
3022, 29impbid2 225 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴))
31 simpr 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)
32 retopon 24130 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„))
34 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)
35 lmcl 22651 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3633, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3736ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
3837ancrd 553 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)))
3931, 38impbid2 225 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
4021, 30, 393bitr3d 309 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
4111, 40bitr3d 281 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
422, 41bitr4id 290 1 (πœ‘ β†’ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„‚cc 11050  β„cr 11051  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  (,)cioo 13265   ⇝ cli 15367  TopOpenctopn 17304  topGenctg 17320  β„‚fldccnfld 20799  Topctop 22245  TopOnctopon 22262  β‡π‘‘clm 22580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-fz 13426  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-rest 17305  df-topn 17306  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-lm 22583  df-xms 23676  df-ms 23677
This theorem is referenced by:  xlimclim  44072  stirlingr  44338
  Copyright terms: Public domain W3C validator