Theorem climreeq 45584

Description: If 𝐹 is a real function, then 𝐹 converges to 𝐴 with respect to the standard topology on the reals if and only if it converges to 𝐴 with respect to the standard topology on complex numbers. In the theorem, 𝑅 is defined to be convergence w.r.t. the standard topology on the reals and then 𝐹𝑅𝐴 represents the statement "𝐹 converges to 𝐴, with respect to the standard topology on the reals". Notice that there is no need for the hypothesis that 𝐴 is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climreeq.1	⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
climreeq.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climreeq.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climreeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climreeq	⊢ (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climreeq

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climreeq.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
2	1	breqi 5108	. 2 ⊢ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
3		climreeq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climreeq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5		ax-resscn 11101	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7	4, 6	fssd 6687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9		climreeq.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	8, 9	lmclimf 25180	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
11	3, 7, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
12		tgioo4 24669	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
13		reex 11135	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
15	8	cnfldtop 24647	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
19	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
20	12, 9, 14, 16, 17, 18, 19	lmss 23161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
21	20	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)
23	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	11	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
25	4	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
26	25	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
27	9, 23, 24, 26	climrecl 15525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ))
29	28	ancrd 551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)))
30	22, 29	impbid2 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴))
31		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
32		retopon 24627	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
34		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
35		lmcl 23160	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	36	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ))
38	37	ancrd 551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
39	31, 38	impbid2 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
40	21, 30, 39	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
41	11, 40	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
42	2, 41	bitr4id 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ran crn 5632  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  ℂcc 11042  ℝcr 11043  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  (,)cioo 13282   ⇝ cli 15426  TopOpenctopn 17360  topGenctg 17376  ℂ_fldccnfld 21240  Topctop 22756  TopOnctopon 22773  ⇝_𝑡clm 23089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-fz 13445  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17361  df-topn 17362  df-topgen 17382  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-lm 23092  df-xms 24184  df-ms 24185

This theorem is referenced by:  xlimclim  45795  stirlingr  46061