Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climreeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climreeq 44329
Description: If 𝐹 is a real function, then 𝐹 converges to 𝐴 with respect to the standard topology on the reals if and only if it converges to 𝐴 with respect to the standard topology on complex numbers. In the theorem, 𝑅 is defined to be convergence w.r.t. the standard topology on the reals and then 𝐹𝑅𝐴 represents the statement "𝐹 converges to 𝐴, with respect to the standard topology on the reals". Notice that there is no need for the hypothesis that 𝐴 is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climreeq.1 𝑅 = (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))
climreeq.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climreeq.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climreeq.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
climreeq (πœ‘ β†’ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climreeq
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climreeq.1 . . 3 𝑅 = (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))
21breqi 5155 . 2 (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)
3 climreeq.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 climreeq.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
5 ax-resscn 11167 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
74, 6fssd 6736 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
8 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9 climreeq.2 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
108, 9lmclimf 24821 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
113, 7, 10syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
128tgioo2 24319 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
13 reex 11201 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ℝ ∈ V)
158cnfldtop 24300 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
1615a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
17 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
183adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
194adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
2012, 9, 14, 16, 17, 18, 19lmss 22802 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
2120pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)))
22 simpr 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴)
233adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2411biimpa 478 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
254ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2625adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
279, 23, 24, 26climrecl 15527 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2827ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
2928ancrd 553 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴)))
3022, 29impbid2 225 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴))
31 simpr 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)
32 retopon 24280 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„))
34 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)
35 lmcl 22801 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3633, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3736ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
3837ancrd 553 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)))
3931, 38impbid2 225 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
4021, 30, 393bitr3d 309 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
4111, 40bitr3d 281 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
422, 41bitr4id 290 1 (πœ‘ β†’ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„‚cc 11108  β„cr 11109  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  (,)cioo 13324   ⇝ cli 15428  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  β‡π‘‘clm 22730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-fz 13485  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-lm 22733  df-xms 23826  df-ms 23827
This theorem is referenced by:  xlimclim  44540  stirlingr  44806
  Copyright terms: Public domain W3C validator