Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climreeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climreeq 43826
Description: If 𝐹 is a real function, then 𝐹 converges to 𝐴 with respect to the standard topology on the reals if and only if it converges to 𝐴 with respect to the standard topology on complex numbers. In the theorem, 𝑅 is defined to be convergence w.r.t. the standard topology on the reals and then 𝐹𝑅𝐴 represents the statement "𝐹 converges to 𝐴, with respect to the standard topology on the reals". Notice that there is no need for the hypothesis that 𝐴 is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climreeq.1 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
climreeq.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climreeq.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climreeq.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
climreeq (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climreeq
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climreeq.1 . . 3 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
21breqi 5111 . 2 (𝐹𝑅𝐴𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
3 climreeq.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 climreeq.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
5 ax-resscn 11107 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
74, 6fssd 6686 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
8 eqid 2736 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9 climreeq.2 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
108, 9lmclimf 24666 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴𝐹𝐴))
113, 7, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴𝐹𝐴))
128tgioo2 24164 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
13 reex 11141 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
158cnfldtop 24145 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
17 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
183adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
194adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
2012, 9, 14, 16, 17, 18, 19lmss 22647 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
2120pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
22 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)
233adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
2411biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹𝐴)
254ffvelcdmda 7034 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2625adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
279, 23, 24, 26climrecl 15464 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴𝐴 ∈ ℝ))
2928ancrd 552 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)))
3022, 29impbid2 225 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴))
31 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
32 retopon 24125 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
34 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
35 lmcl 22646 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3633, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3736ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴𝐴 ∈ ℝ))
3837ancrd 552 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
3931, 38impbid2 225 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
4021, 30, 393bitr3d 308 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
4111, 40bitr3d 280 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
422, 41bitr4id 289 1 (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  ran crn 5634  wf 6492  cfv 6496  cc 11048  cr 11049  cz 12498  cuz 12762  (,)cioo 13263  cli 15365  TopOpenctopn 17302  topGenctg 17318  fldccnfld 20794  Topctop 22240  TopOnctopon 22257  𝑡clm 22575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13267  df-fz 13424  df-fl 13696  df-seq 13906  df-exp 13967  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-struct 17018  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-rest 17303  df-topn 17304  df-topgen 17324  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-cnfld 20795  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-lm 22578  df-xms 23671  df-ms 23672
This theorem is referenced by:  xlimclim  44037  stirlingr  44303
  Copyright terms: Public domain W3C validator