Theorem climreeq 45534

Description: If 𝐹 is a real function, then 𝐹 converges to 𝐴 with respect to the standard topology on the reals if and only if it converges to 𝐴 with respect to the standard topology on complex numbers. In the theorem, 𝑅 is defined to be convergence w.r.t. the standard topology on the reals and then 𝐹𝑅𝐴 represents the statement "𝐹 converges to 𝐴, with respect to the standard topology on the reals". Notice that there is no need for the hypothesis that 𝐴 is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climreeq.1	⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
climreeq.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climreeq.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climreeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climreeq	⊢ (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climreeq

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climreeq.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
2	1	breqi 5172	. 2 ⊢ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
3		climreeq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climreeq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5		ax-resscn 11241	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7	4, 6	fssd 6764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9		climreeq.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	8, 9	lmclimf 25357	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
11	3, 7, 10	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
12	8	tgioo2 24844	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
13		reex 11275	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
15	8	cnfldtop 24825	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
19	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
20	12, 9, 14, 16, 17, 18, 19	lmss 23327	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
21	20	pm5.32da 578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)
23	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	11	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
25	4	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
26	25	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
27	9, 23, 24, 26	climrecl 15629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ))
29	28	ancrd 551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)))
30	22, 29	impbid2 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴))
31		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
32		retopon 24805	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
34		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
35		lmcl 23326	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	33, 34, 35	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	36	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ))
38	37	ancrd 551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
39	31, 38	impbid2 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
40	21, 30, 39	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
41	11, 40	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
42	2, 41	bitr4id 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  ℝcr 11183  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  (,)cioo 13407   ⇝ cli 15530  TopOpenctopn 17481  topGenctg 17497  ℂ_fldccnfld 21387  Topctop 22920  TopOnctopon 22937  ⇝_𝑡clm 23255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-fz 13568  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-lm 23258  df-xms 24351  df-ms 24352

This theorem is referenced by:  xlimclim  45745  stirlingr  46011