Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climreeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climreeq 44408
Description: If 𝐹 is a real function, then 𝐹 converges to 𝐴 with respect to the standard topology on the reals if and only if it converges to 𝐴 with respect to the standard topology on complex numbers. In the theorem, 𝑅 is defined to be convergence w.r.t. the standard topology on the reals and then 𝐹𝑅𝐴 represents the statement "𝐹 converges to 𝐴, with respect to the standard topology on the reals". Notice that there is no need for the hypothesis that 𝐴 is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climreeq.1 𝑅 = (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))
climreeq.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climreeq.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climreeq.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
climreeq (πœ‘ β†’ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climreeq
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climreeq.1 . . 3 𝑅 = (β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))
21breqi 5154 . 2 (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)
3 climreeq.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 climreeq.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
5 ax-resscn 11169 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
74, 6fssd 6735 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
8 eqid 2732 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9 climreeq.2 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
108, 9lmclimf 24828 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
113, 7, 10syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
128tgioo2 24326 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
13 reex 11203 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ℝ ∈ V)
158cnfldtop 24307 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
1615a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
17 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
183adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
194adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
2012, 9, 14, 16, 17, 18, 19lmss 22809 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
2120pm5.32da 579 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)))
22 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴)
233adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2411biimpa 477 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
254ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2625adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
279, 23, 24, 26climrecl 15529 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2827ex 413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
2928ancrd 552 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴)))
3022, 29impbid2 225 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴))
31 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)
32 retopon 24287 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„))
34 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)
35 lmcl 22808 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3633, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3736ex 413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
3837ancrd 552 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴)))
3931, 38impbid2 225 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
4021, 30, 393bitr3d 308 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
4111, 40bitr3d 280 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(topGenβ€˜ran (,)))𝐴))
422, 41bitr4id 289 1 (πœ‘ β†’ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  (,)cioo 13326   ⇝ cli 15430  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  β‡π‘‘clm 22737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-fz 13487  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-lm 22740  df-xms 23833  df-ms 23834
This theorem is referenced by:  xlimclim  44619  stirlingr  44885
  Copyright terms: Public domain W3C validator