Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsumcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem refsumcn 43796
Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 24393 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsumcn.1 β„²π‘₯πœ‘
refsumcn.2 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
refsumcn.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
refsumcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsumcn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐽,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐾(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem refsumcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2 refsumcn.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 refsumcn.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
4 refsumcn.5 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 refsumcn.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
61tgioo2 24326 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
75, 6eqtri 2760 . . . . . . 7 𝐾 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
87oveq2i 7422 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
94, 8eleqtrdi 2843 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
101cnfldtopon 24306 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
122adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
13 retopon 24287 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
145, 13eqeltri 2829 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„))
16 cnf2 22760 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
1712, 15, 4, 16syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
1817frnd 6725 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
19 ax-resscn 11169 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
2019a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
21 cnrest2 22797 . . . . . 6 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
2211, 18, 20, 21syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
239, 22mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
241, 2, 3, 23fsumcnf 43787 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2510a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
26 refsumcn.1 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯πœ‘
273adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
28 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ πœ‘)
29 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
3028, 29jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴))
31 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
32 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
3332fmpt 7111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
3417, 33sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ ℝ)
35 rsp 3244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ ℝ))
3730, 31, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3827, 37fsumrecl 15682 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ)
3938ex 413 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ))
4026, 39ralrimi 3254 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ)
41 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4241fnmpt 6690 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) Fn 𝑋)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) Fn 𝑋)
44 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑋
45 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑦
46 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4744, 45, 46fvelrnbf 43784 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) Fn 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦))
4843, 47syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦))
4948biimpa 477 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦)
5046nfrn 5951 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
5150nfcri 2890 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
5226, 51nfan 1902 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
53 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ℝ
5453nfcri 2890 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ ℝ
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
5655, 38jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ))
5741fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
59583adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
60 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦)
6159, 60eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = 𝑦)
62383adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ)
6361, 62eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
64633adant1r 1177 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
65643exp 1119 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)))
6652, 54, 65rexlimd 3263 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ ℝ))
6749, 66mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
6867ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ))
6968ssrdv 3988 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) βŠ† ℝ)
7019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
71 cnrest2 22797 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
7225, 69, 70, 71syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
7324, 72mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
7473, 8eleqtrrdi 2844 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  (,)cioo 13326  Ξ£csu 15634   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835
This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  43803
  Copyright terms: Public domain W3C validator