Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsumcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refsumcn 41278
Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 23470 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsumcn.1 𝑥𝜑
refsumcn.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsumcn.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsumcn.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsumcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem refsumcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2 refsumcn.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 refsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 refsumcn.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 refsumcn.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
61tgioo2 23403 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
75, 6eqtri 2842 . . . . . . 7 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87oveq2i 7159 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
94, 8eleqtrdi 2921 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
101cnfldtopon 23383 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
122adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13 retopon 23364 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
145, 13eqeltri 2907 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
16 cnf2 21849 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
1712, 15, 4, 16syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
1817frnd 6514 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ran (𝑥𝑋𝐵) ⊆ ℝ)
19 ax-resscn 10586 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
21 cnrest2 21886 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝑋𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
2211, 18, 20, 21syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
239, 22mpbird 259 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
241, 2, 3, 23fsumcnf 41269 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2510a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
26 refsumcn.1 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝜑
273adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
28 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝜑)
29 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
3028, 29jca 514 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → (𝜑𝑘𝐴))
31 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥𝑋)
32 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
3332fmpt 6867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
3417, 33sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ)
35 rsp 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℝ))
3730, 31, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3827, 37fsumrecl 15083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
3938ex 415 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝑋 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
4026, 39ralrimi 3214 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
41 eqid 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4241fnmpt 6481 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑋 Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
44 nfcv 2975 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑋
45 nfcv 2975 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦
46 nfmpt1 5155 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4744, 45, 46fvelrnbf 41266 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
4843, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
4948biimpa 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
5046nfrn 5817 . . . . . . . . . 10 𝑥ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
5150nfcri 2969 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
5226, 51nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵))
53 nfcv 2975 . . . . . . . . 9 𝑥
5453nfcri 2969 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 ∈ ℝ
55 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5655, 38jca 514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝑋 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
5741fvmpt2 6772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
59583adant3 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
60 simp3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
6159, 60eqtr3d 2856 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 𝑦)
62383adant3 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
6361, 62eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
64633adant1r 1172 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
65643exp 1114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → (𝑥𝑋 → (((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℝ)))
6652, 54, 65rexlimd 3315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → (∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℝ))
6749, 66mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6867ex 415 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
6968ssrdv 3971 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ⊆ ℝ)
7019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
71 cnrest2 21886 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
7225, 69, 70, 71syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
7324, 72mpbid 234 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
7473, 8eleqtrrdi 2922 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wnf 1778  wcel 2108  wral 3136  wrex 3137  wss 3934  cmpt 5137  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  cc 10527  cr 10528  (,)cioo 12730  Σcsu 15034  t crest 16686  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  fldccnfld 20537  TopOnctopon 21510   Cn ccn 21824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924
This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  41285
  Copyright terms: Public domain W3C validator