Theorem refsumcn 46263

Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 25224 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsumcn.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsumcn.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsumcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsumcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥, 𝑘)   𝐾(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem refsumcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		refsumcn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		refsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		refsumcn.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		refsumcn.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6		tgioo4 25157	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	5, 6	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8	7	oveq2i 7457	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9	4, 8	eleqtrdi 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
10	1	cnfldtopon 25134	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13		retopon 25115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
14	5, 13	eqeltri 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
16		cnf2 23600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
17	12, 15, 4, 16	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
18	17	frnd 6743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
19		ax-resscn 11287	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
21		cnrest2 23637	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
22	11, 18, 20, 21	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
23	9, 22	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24	1, 2, 3, 23	fsumcnf 46254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
26		refsumcn.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
27	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
28		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
30	28, 29	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴))
31		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋)
32		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
33	32	fmpt 7137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
34	17, 33	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ)
35		rsp 3254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
37	30, 31, 36	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
40	26, 39	ralrimi 3264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
41		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
42	41	fnmpt 6704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
43	40, 42	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
44		nfcv 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
45		nfcv 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
46		nfmpt1 5208	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	44, 45, 46	fvelrnbf 46251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
48	43, 47	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
49	48	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
50	46	nfrn 5942	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	nfcri 2918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	26, 51	nfan 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
53		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
54	53	nfcri 2918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
55		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
56	55, 38	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
57	41	fvmpt2 7031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
59	58	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
60		simp3 1156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
61	59, 60	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑦)
62	38	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
63	61, 62	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	63	3adant1r 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
65	64	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ)))
66	52, 54, 65	rexlimd 3273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ))
67	49, 66	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
68	67	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
69	68	ssrdv 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ)
70	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
71		cnrest2 23637	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
72	25, 69, 70, 71	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
73	24, 72	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
74	73, 8	eleqtrrdi 2875	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5190  ran crn 5657   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  ℂcc 11228  ℝcr 11229  (,)cioo 13506  Σcsu 15885   ↾_t crest 17623  TopOpenctopn 17624  topGenctg 17640  ℂ_fldccnfld 21711  TopOnctopon 23261   Cn ccn 23575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-sum 15886  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674

This theorem is used by:  refsum2cnlem1  46270