Theorem refsumcn 45485

Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 24862 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsumcn.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsumcn.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsumcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsumcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem refsumcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		refsumcn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		refsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		refsumcn.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		refsumcn.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6		tgioo4 24795	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	5, 6	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8	7	oveq2i 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9	4, 8	eleqtrdi 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
10	1	cnfldtopon 24772	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13		retopon 24753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
14	5, 13	eqeltri 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
16		cnf2 23239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
17	12, 15, 4, 16	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
18	17	frnd 6670	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
19		ax-resscn 11093	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
21		cnrest2 23276	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
22	11, 18, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
23	9, 22	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24	1, 2, 3, 23	fsumcnf 45476	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
26		refsumcn.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
27	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
28		simpll 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
30	28, 29	jca 516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴))
31		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋)
32		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
33	32	fmpt 7058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
34	17, 33	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ)
35		rsp 3228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
37	30, 31, 36	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
40	26, 39	ralrimi 3238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
41		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
42	41	fnmpt 6632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
44		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
45		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
46		nfmpt1 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	44, 45, 46	fvelrnbf 45473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
49	48	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
50	46	nfrn 5901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	nfcri 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	26, 51	nfan 1906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
53		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
54	53	nfcri 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
55		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
56	55, 38	jca 516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
57	41	fvmpt2 6954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
59	58	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
60		simp3 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
61	59, 60	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑦)
62	38	3adant3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
63	61, 62	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	63	3adant1r 1184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
65	64	3exp 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ)))
66	52, 54, 65	rexlimd 3247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ))
67	49, 66	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
68	67	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
69	68	ssrdv 3928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ)
70	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
71		cnrest2 23276	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
72	25, 69, 70, 71	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
73	24, 72	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
74	73, 8	eleqtrrdi 2851	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5160  ran crn 5626   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  ℂcc 11034  ℝcr 11035  (,)cioo 13296  Σcsu 15646   ↾_t crest 17381  TopOpenctopn 17382  topGenctg 17398  ℂ_fldccnfld 21354  TopOnctopon 22900   Cn ccn 23214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312

This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  45492