Theorem refsumcn 42573

Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 24033 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsumcn.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsumcn.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsumcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsumcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem refsumcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		refsumcn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		refsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		refsumcn.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		refsumcn.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6	1	tgioo2 23966	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	5, 6	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8	7	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9	4, 8	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
10	1	cnfldtopon 23946	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13		retopon 23927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
14	5, 13	eqeltri 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
16		cnf2 22400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
17	12, 15, 4, 16	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
18	17	frnd 6608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
19		ax-resscn 10928	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
21		cnrest2 22437	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
22	11, 18, 20, 21	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
23	9, 22	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24	1, 2, 3, 23	fsumcnf 42564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
26		refsumcn.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
27	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
28		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
30	28, 29	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴))
31		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋)
32		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
33	32	fmpt 6984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
34	17, 33	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ)
35		rsp 3131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
37	30, 31, 36	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
40	26, 39	ralrimi 3141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
41		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
42	41	fnmpt 6573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
44		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
45		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
46		nfmpt1 5182	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	44, 45, 46	fvelrnbf 42561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
49	48	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
50	46	nfrn 5861	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	nfcri 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	26, 51	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
53		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
54	53	nfcri 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
55		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
56	55, 38	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
57	41	fvmpt2 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
59	58	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
60		simp3 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
61	59, 60	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑦)
62	38	3adant3 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
63	61, 62	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	63	3adant1r 1176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
65	64	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ)))
66	52, 54, 65	rexlimd 3250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ))
67	49, 66	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
68	67	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
69	68	ssrdv 3927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ)
70	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
71		cnrest2 22437	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
72	25, 69, 70, 71	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
73	24, 72	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
74	73, 8	eleqtrrdi 2850	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  ℝcr 10870  (,)cioo 13079  Σcsu 15397   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  topGenctg 17148  ℂ_fldccnfld 20597  TopOnctopon 22059   Cn ccn 22375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475

This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  42580