Theorem refsumcn 45024

Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 24761 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsumcn.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsumcn.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsumcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsumcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem refsumcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		refsumcn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		refsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		refsumcn.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		refsumcn.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6		tgioo4 24693	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	5, 6	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8	7	oveq2i 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9	4, 8	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
10	1	cnfldtopon 24670	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13		retopon 24651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
14	5, 13	eqeltri 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
16		cnf2 23136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
17	12, 15, 4, 16	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
18	17	frnd 6696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
19		ax-resscn 11125	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
21		cnrest2 23173	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
22	11, 18, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
23	9, 22	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24	1, 2, 3, 23	fsumcnf 45015	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
26		refsumcn.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
27	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
28		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
30	28, 29	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴))
31		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋)
32		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
33	32	fmpt 7082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
34	17, 33	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ)
35		rsp 3225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
37	30, 31, 36	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
40	26, 39	ralrimi 3235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
41		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
42	41	fnmpt 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
44		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
45		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
46		nfmpt1 5206	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	44, 45, 46	fvelrnbf 45012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
49	48	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
50	46	nfrn 5916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	nfcri 2883	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	26, 51	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
53		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
54	53	nfcri 2883	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
56	55, 38	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
57	41	fvmpt2 6979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
59	58	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
60		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
61	59, 60	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑦)
62	38	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
63	61, 62	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	63	3adant1r 1178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
65	64	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ)))
66	52, 54, 65	rexlimd 3244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ))
67	49, 66	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
68	67	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
69	68	ssrdv 3952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ)
70	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
71		cnrest2 23173	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
72	25, 69, 70, 71	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
73	24, 72	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
74	73, 8	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  (,)cioo 13306  Σcsu 15652   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  topGenctg 17400  ℂ_fldccnfld 21264  TopOnctopon 22797   Cn ccn 23111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210

This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  45031