Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsumcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem refsumcn 43714
Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 24386 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsumcn.1 β„²π‘₯πœ‘
refsumcn.2 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
refsumcn.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
refsumcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsumcn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐽,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐾(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem refsumcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2 refsumcn.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 refsumcn.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
4 refsumcn.5 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 refsumcn.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
61tgioo2 24319 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
75, 6eqtri 2761 . . . . . . 7 𝐾 = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
87oveq2i 7420 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
94, 8eleqtrdi 2844 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
101cnfldtopon 24299 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
122adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
13 retopon 24280 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
145, 13eqeltri 2830 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„))
16 cnf2 22753 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
1712, 15, 4, 16syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
1817frnd 6726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ)
19 ax-resscn 11167 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
2019a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
21 cnrest2 22790 . . . . . 6 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
2211, 18, 20, 21syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
239, 22mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
241, 2, 3, 23fsumcnf 43705 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
2510a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
26 refsumcn.1 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯πœ‘
273adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
28 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ πœ‘)
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
3028, 29jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴))
31 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
3332fmpt 7110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„)
3417, 33sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ ℝ)
35 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ ℝ))
3730, 31, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3827, 37fsumrecl 15680 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ)
3938ex 414 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ))
4026, 39ralrimi 3255 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ)
41 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4241fnmpt 6691 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) Fn 𝑋)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) Fn 𝑋)
44 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑋
45 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝑦
46 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
4744, 45, 46fvelrnbf 43702 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) Fn 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦))
4843, 47syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦))
4948biimpa 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦)
5046nfrn 5952 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
5150nfcri 2891 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
5226, 51nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
53 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ℝ
5453nfcri 2891 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ ℝ
55 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
5655, 38jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ))
5741fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
59583adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
60 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦)
6159, 60eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = 𝑦)
62383adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ ℝ)
6361, 62eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
64633adant1r 1178 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
65643exp 1120 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)))
6652, 54, 65rexlimd 3264 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ ℝ))
6749, 66mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
6867ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ℝ))
6968ssrdv 3989 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) βŠ† ℝ)
7019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
71 cnrest2 22790 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
7225, 69, 70, 71syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
7324, 72mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
7473, 8eleqtrrdi 2845 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  (,)cioo 13324  Ξ£csu 15632   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  43721
  Copyright terms: Public domain W3C validator