Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsumcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refsumcn 41278
 Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 23470 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsumcn.1 𝑥𝜑
refsumcn.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsumcn.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsumcn.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsumcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem refsumcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2 refsumcn.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 refsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 refsumcn.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 refsumcn.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
61tgioo2 23403 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
75, 6eqtri 2842 . . . . . . 7 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87oveq2i 7159 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
94, 8eleqtrdi 2921 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
101cnfldtopon 23383 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
122adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13 retopon 23364 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
145, 13eqeltri 2907 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
16 cnf2 21849 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
1712, 15, 4, 16syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
1817frnd 6514 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ran (𝑥𝑋𝐵) ⊆ ℝ)
19 ax-resscn 10586 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
21 cnrest2 21886 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝑋𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
2211, 18, 20, 21syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
239, 22mpbird 259 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
241, 2, 3, 23fsumcnf 41269 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2510a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
26 refsumcn.1 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝜑
273adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
28 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝜑)
29 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
3028, 29jca 514 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → (𝜑𝑘𝐴))
31 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥𝑋)
32 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
3332fmpt 6867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
3417, 33sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ)
35 rsp 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℝ))
3730, 31, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3827, 37fsumrecl 15083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
3938ex 415 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝑋 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
4026, 39ralrimi 3214 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
41 eqid 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4241fnmpt 6481 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑋 Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
44 nfcv 2975 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑋
45 nfcv 2975 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦
46 nfmpt1 5155 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4744, 45, 46fvelrnbf 41266 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
4843, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
4948biimpa 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
5046nfrn 5817 . . . . . . . . . 10 𝑥ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
5150nfcri 2969 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
5226, 51nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵))
53 nfcv 2975 . . . . . . . . 9 𝑥
5453nfcri 2969 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 ∈ ℝ
55 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5655, 38jca 514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝑋 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
5741fvmpt2 6772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
59583adant3 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
60 simp3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
6159, 60eqtr3d 2856 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 𝑦)
62383adant3 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
6361, 62eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
64633adant1r 1172 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
65643exp 1114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → (𝑥𝑋 → (((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℝ)))
6652, 54, 65rexlimd 3315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → (∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℝ))
6749, 66mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6867ex 415 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
6968ssrdv 3971 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ⊆ ℝ)
7019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
71 cnrest2 21886 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
7225, 69, 70, 71syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
7324, 72mpbid 234 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
7473, 8eleqtrrdi 2922 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2108  ∀wral 3136  ∃wrex 3137   ⊆ wss 3934   ↦ cmpt 5137  ran crn 5549   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  ℂcc 10527  ℝcr 10528  (,)cioo 12730  Σcsu 15034   ↾t crest 16686  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  ℂfldccnfld 20537  TopOnctopon 21510   Cn ccn 21824 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924 This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  41285
 Copyright terms: Public domain W3C validator