Theorem refsumcn 43225

Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 24233 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsumcn.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsumcn.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsumcn.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsumcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem refsumcn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2		refsumcn.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		refsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		refsumcn.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		refsumcn.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6	1	tgioo2 24166	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	5, 6	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
8	7	oveq2i 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9	4, 8	eleqtrdi 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
10	1	cnfldtopon 24146	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13		retopon 24127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
14	5, 13	eqeltri 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
16		cnf2 22600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
17	12, 15, 4, 16	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
18	17	frnd 6676	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
19		ax-resscn 11108	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
21		cnrest2 22637	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
22	11, 18, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
23	9, 22	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
24	1, 2, 3, 23	fsumcnf 43216	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
25	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
26		refsumcn.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
27	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
28		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
30	28, 29	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴))
31		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋)
32		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
33	32	fmpt 7058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶ℝ)
34	17, 33	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ)
35		rsp 3230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝐵 ∈ ℝ))
37	30, 31, 36	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	27, 37	fsumrecl 15619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
40	26, 39	ralrimi 3240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
41		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
42	41	fnmpt 6641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
44		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
45		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
46		nfmpt1 5213	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
47	44, 45, 46	fvelrnbf 43213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) Fn 𝑋 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
49	48	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
50	46	nfrn 5907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	nfcri 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	26, 51	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
53		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
54	53	nfcri 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
55		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
56	55, 38	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
57	41	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
59	58	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
60		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
61	59, 60	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑦)
62	38	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
63	61, 62	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
64	63	3adant1r 1177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
65	64	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ)))
66	52, 54, 65	rexlimd 3249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ℝ))
67	49, 66	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
68	67	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
69	68	ssrdv 3950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ)
70	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
71		cnrest2 22637	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
72	25, 69, 70, 71	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
73	24, 72	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
74	73, 8	eleqtrrdi 2849	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℂcc 11049  ℝcr 11050  (,)cioo 13264  Σcsu 15570   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ℂ_fldccnfld 20796  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675

This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  43232