Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsumcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refsumcn 45035
Description: A finite sum of continuous real functions, from a common topological space, is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. See fsumcn 24894 for the analogous theorem on continuous complex functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsumcn.1 𝑥𝜑
refsumcn.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsumcn.3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsumcn.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
refsumcn.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsumcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem refsumcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2 refsumcn.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 refsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 refsumcn.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 refsumcn.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6 tgioo4 24826 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
75, 6eqtri 2765 . . . . . . 7 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87oveq2i 7442 . . . . . 6 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
94, 8eleqtrdi 2851 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
101cnfldtopon 24803 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
122adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13 retopon 24784 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
145, 13eqeltri 2837 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
16 cnf2 23257 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
1712, 15, 4, 16syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
1817frnd 6744 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ran (𝑥𝑋𝐵) ⊆ ℝ)
19 ax-resscn 11212 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ℝ ⊆ ℂ)
21 cnrest2 23294 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝑋𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
2211, 18, 20, 21syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
239, 22mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
241, 2, 3, 23fsumcnf 45026 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2510a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
26 refsumcn.1 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝜑
273adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
28 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝜑)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
3028, 29jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → (𝜑𝑘𝐴))
31 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥𝑋)
32 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
3332fmpt 7130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℝ)
3417, 33sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ)
35 rsp 3247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℝ))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℝ))
3730, 31, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3827, 37fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
3938ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝑋 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
4026, 39ralrimi 3257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4241fnmpt 6708 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑋 Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋)
44 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑋
45 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦
46 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4744, 45, 46fvelrnbf 45023 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) Fn 𝑋 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
4843, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦))
4948biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → ∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
5046nfrn 5963 . . . . . . . . . 10 𝑥ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
5150nfcri 2897 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)
5226, 51nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵))
53 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑥
5453nfcri 2897 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 ∈ ℝ
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5655, 38jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝑋 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ))
5741fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
59583adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
60 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦)
6159, 60eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 𝑦)
62383adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
6361, 62eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
64633adant1r 1178 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
65643exp 1120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → (𝑥𝑋 → (((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℝ)))
6652, 54, 65rexlimd 3266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → (∃𝑥𝑋 ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)‘𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ ℝ))
6749, 66mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6867ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ))
6968ssrdv 3989 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ⊆ ℝ)
7019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
71 cnrest2 23294 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
7225, 69, 70, 71syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
7324, 72mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
7473, 8eleqtrrdi 2852 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  cmpt 5225  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  (,)cioo 13387  Σcsu 15722  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332
This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  45042
  Copyright terms: Public domain W3C validator