Theorem knoppcnlem11 36779

Description: Lemma for knoppcn 36780. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem11.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem11.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem11.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem11	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem11

Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem11.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcnlem11.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcnlem11.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppcnlem11.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	1, 2, 4, 6, 7	knoppcnlem7 36775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)))
9		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑙) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑙))
10		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		elnn0uz 12820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
13	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	6	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑤 ∈ ℝ)
16		elfzuz 13465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ (ℤ≥‘0))
17		nn0uz 12817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18	16, 17	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
20	1, 2, 13, 14, 15, 19	knoppcnlem3 36771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑙) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑙) ∈ ℂ)
22	9, 12, 21	fsumser 15683	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
23	22	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘) = Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙))
24	23	mpteq2dva 5179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)))
25	8, 24	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)))
26		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27		retopon 24738	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
29		fzfid 13926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
30	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
31	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
32	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
33	1, 2, 30, 31, 32	knoppcnlem10 36778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑙)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34	26, 28, 29, 33	fsumcn 24847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35		ax-resscn 11086	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
36		ssid 3945	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
37	35, 36	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
38		tgioo4 24780	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
39	26	cnfldtopon 24757	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
40	39	toponrestid 22896	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
41	26, 38, 40	cncfcn 24887	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
43	34, 42	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
44	25, 43	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
45	44	fmpttd 7061	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
46		0z 12526	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
47		seqfn 13966	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0)
49	17	fneq2i 6590	. . . . 5 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
50	48, 49	mpbir 231	. . . 4 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0
51		dffn5 6892	. . . 4 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)))
52	50, 51	mpbi 230	. . 3 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘))
53	52	feq1i 6653	. 2 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
54	45, 53	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  (,)cioo 13289  ...cfz 13452  ⌊cfl 13740  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  abscabs 15187  Σcsu 15639  TopOpenctopn 17375  topGenctg 17391  ℂ_fldccnfld 21344  TopOnctopon 22885   Cn ccn 23199  –cn→ccncf 24853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855

This theorem is referenced by:  knoppcn  36780