Theorem knoppcnlem11 36498

Description: Lemma for knoppcn 36499. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem11.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem11.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem11.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem11	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem11

Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem11.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcnlem11.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcnlem11.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppcnlem11.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	1, 2, 4, 6, 7	knoppcnlem7 36494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)))
9		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑙) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑙))
10		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		elnn0uz 12845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
13	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑤 ∈ ℝ)
16		elfzuz 13488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ (ℤ≥‘0))
17		nn0uz 12842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18	16, 17	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
20	1, 2, 13, 14, 15, 19	knoppcnlem3 36490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑙) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑙) ∈ ℂ)
22	9, 12, 21	fsumser 15703	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
23	22	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘) = Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙))
24	23	mpteq2dva 5203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)))
25	8, 24	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)))
26		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27		retopon 24658	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
29		fzfid 13945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
30	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
31	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
32	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
33	1, 2, 30, 31, 32	knoppcnlem10 36497	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑙)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34	26, 28, 29, 33	fsumcn 24768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35		ax-resscn 11132	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
36		ssid 3972	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
37	35, 36	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
38		tgioo4 24700	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
39	26	cnfldtopon 24677	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
40	39	toponrestid 22815	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
41	26, 38, 40	cncfcn 24810	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
43	34, 42	eleqtrrdi 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
44	25, 43	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
45	44	fmpttd 7090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
46		0z 12547	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
47		seqfn 13985	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0)
49	17	fneq2i 6619	. . . . 5 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
50	48, 49	mpbir 231	. . . 4 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0
51		dffn5 6922	. . . 4 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)))
52	50, 51	mpbi 230	. . 3 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘))
53	52	feq1i 6682	. 2 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
54	45, 53	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  (,)cioo 13313  ...cfz 13475  ⌊cfl 13759  seqcseq 13973  ↑cexp 14033  abscabs 15207  Σcsu 15659  TopOpenctopn 17391  topGenctg 17407  ℂ_fldccnfld 21271  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118  –cn→ccncf 24776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778

This theorem is referenced by:  knoppcn  36499