Theorem knoppcnlem11 36619

Description: Lemma for knoppcn 36620. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem11.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem11.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem11.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem11	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem11

Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem11.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcnlem11.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcnlem11.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppcnlem11.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	1, 2, 4, 6, 7	knoppcnlem7 36615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)))
9		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑙) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑙))
10		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		elnn0uz 12783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
13	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
14	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑤 ∈ ℝ)
16		elfzuz 13427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ (ℤ≥‘0))
17		nn0uz 12780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18	16, 17	eleqtrrdi 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
20	1, 2, 13, 14, 15, 19	knoppcnlem3 36611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑙) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11151	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑙) ∈ ℂ)
22	9, 12, 21	fsumser 15644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
23	22	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘) = Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙))
24	23	mpteq2dva 5188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)))
25	8, 24	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)))
26		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27		retopon 24698	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
29		fzfid 13887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
30	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
31	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
32	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
33	1, 2, 30, 31, 32	knoppcnlem10 36618	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑤)‘𝑙)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34	26, 28, 29, 33	fsumcn 24808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35		ax-resscn 11074	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
36		ssid 3953	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
37	35, 36	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
38		tgioo4 24740	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
39	26	cnfldtopon 24717	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
40	39	toponrestid 22856	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
41	26, 38, 40	cncfcn 24850	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
43	34, 42	eleqtrrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹‘𝑤)‘𝑙)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
44	25, 43	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
45	44	fmpttd 7057	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
46		0z 12490	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
47		seqfn 13927	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0)
49	17	fneq2i 6587	. . . . 5 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ≥‘0))
50	48, 49	mpbir 231	. . . 4 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0
51		dffn5 6889	. . . 4 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)))
52	50, 51	mpbi 230	. . 3 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘))
53	52	feq1i 6650	. 2 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
54	45, 53	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   − cmin 11355   / cdiv 11785  ℕcn 12136  2c2 12191  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  (,)cioo 13252  ...cfz 13414  ⌊cfl 13701  seqcseq 13915  ↑cexp 13975  abscabs 15148  Σcsu 15600  TopOpenctopn 17332  topGenctg 17348  ℂ_fldccnfld 21300  TopOnctopon 22845   Cn ccn 23159  –cn→ccncf 24816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-sum 15601  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818

This theorem is referenced by:  knoppcn  36620