Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem knoppcnlem11 35471
Description: Lemma for knoppcn 35472. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem11.t 𝑇 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((βŒŠβ€˜(π‘₯ + (1 / 2))) βˆ’ π‘₯)))
knoppcnlem11.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢↑𝑛) Β· (π‘‡β€˜(((2 Β· 𝑁)↑𝑛) Β· 𝑦)))))
knoppcnlem11.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
knoppcnlem11.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem11 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑛,𝑦   π‘š,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   πœ‘,𝑛,𝑦   πœ‘,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐢(π‘₯,𝑧,π‘š)   𝑇(π‘₯,𝑧,π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,π‘š)
Proof of Theorem knoppcnlem11
Dummy variables 𝑀 π‘˜ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem11.t . . . . . 6 𝑇 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((βŒŠβ€˜(π‘₯ + (1 / 2))) βˆ’ π‘₯)))
2 knoppcnlem11.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢↑𝑛) Β· (π‘‡β€˜(((2 Β· 𝑁)↑𝑛) Β· 𝑦)))))
3 knoppcnlem11.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
43adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5 knoppcnlem11.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
65adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
81, 2, 4, 6, 7knoppcnlem7 35467 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜)))
9 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™))
10 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
11 elnn0uz 12869 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
1210, 11sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
134ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
146ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
15 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
16 elfzuz 13499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
17 nn0uz 12866 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1816, 17eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
201, 2, 13, 14, 15, 19knoppcnlem3 35463 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™) ∈ ℝ)
2120recnd 11244 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™) ∈ β„‚)
229, 12, 21fsumser 15678 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™) = (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
2322eqcomd 2738 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) = Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™))
2423mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜)) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)))
258, 24eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)))
26 eqid 2732 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
27 retopon 24287 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
2827a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„))
29 fzfid 13940 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0...π‘˜) ∈ Fin)
304adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
316adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
3218adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
331, 2, 30, 31, 32knoppcnlem10 35470 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3426, 28, 29, 33fsumcn 24393 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
35 ax-resscn 11169 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
36 ssid 4004 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
3735, 36pm3.2i 471 . . . . . 6 (ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚)
3826tgioo2 24326 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3926cnfldtopon 24306 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4039toponrestid 22430 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
4126, 38, 40cncfcn 24433 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ–cnβ†’β„‚) = ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4237, 41ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ–cnβ†’β„‚) = ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4334, 42eleqtrrdi 2844 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
4425, 43eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
4544fmpttd 7116 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚))
46 0z 12571 . . . . . 6 0 ∈ β„€
47 seqfn 13980 . . . . . 6 (0 ∈ β„€ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0))
4846, 47ax-mp 5 . . . . 5 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0)
4917fneq2i 6647 . . . . 5 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn β„•0 ↔ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0))
5048, 49mpbir 230 . . . 4 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn β„•0
51 dffn5 6950 . . . 4 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn β„•0 ↔ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)))
5250, 51mpbi 229 . . 3 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜))
5352feq1i 6708 . 2 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚) ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚))
5445, 53sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  (,)cioo 13326  ...cfz 13486  βŒŠcfl 13757  seqcseq 13968  β†‘cexp 14029  abscabs 15183  Ξ£csu 15634  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735  β€“cnβ†’ccncf 24399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401
This theorem is referenced by:  knoppcn  35472
  Copyright terms: Public domain W3C validator