Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem knoppcnlem11 35683
Description: Lemma for knoppcn 35684. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem11.t 𝑇 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((βŒŠβ€˜(π‘₯ + (1 / 2))) βˆ’ π‘₯)))
knoppcnlem11.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢↑𝑛) Β· (π‘‡β€˜(((2 Β· 𝑁)↑𝑛) Β· 𝑦)))))
knoppcnlem11.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
knoppcnlem11.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem11 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑛,𝑦   π‘š,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   πœ‘,𝑛,𝑦   πœ‘,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐢(π‘₯,𝑧,π‘š)   𝑇(π‘₯,𝑧,π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,π‘š)
Proof of Theorem knoppcnlem11
Dummy variables 𝑀 π‘˜ 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem11.t . . . . . 6 𝑇 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((βŒŠβ€˜(π‘₯ + (1 / 2))) βˆ’ π‘₯)))
2 knoppcnlem11.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢↑𝑛) Β· (π‘‡β€˜(((2 Β· 𝑁)↑𝑛) Β· 𝑦)))))
3 knoppcnlem11.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
43adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5 knoppcnlem11.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
81, 2, 4, 6, 7knoppcnlem7 35679 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜)))
9 eqidd 2732 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™))
10 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
11 elnn0uz 12872 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
1210, 11sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
134ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
146ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
15 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
16 elfzuz 13502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
17 nn0uz 12869 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1816, 17eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
1918adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
201, 2, 13, 14, 15, 19knoppcnlem3 35675 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™) ∈ ℝ)
2120recnd 11247 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™) ∈ β„‚)
229, 12, 21fsumser 15681 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™) = (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
2322eqcomd 2737 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) = Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™))
2423mpteq2dva 5249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜)) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)))
258, 24eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)))
26 eqid 2731 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
27 retopon 24501 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
2827a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„))
29 fzfid 13943 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0...π‘˜) ∈ Fin)
304adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
316adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
3218adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
331, 2, 30, 31, 32knoppcnlem10 35682 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3426, 28, 29, 33fsumcn 24609 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
35 ax-resscn 11170 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
36 ssid 4005 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
3735, 36pm3.2i 470 . . . . . 6 (ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚)
3826tgioo2 24540 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3926cnfldtopon 24520 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4039toponrestid 22644 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
4126, 38, 40cncfcn 24651 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ–cnβ†’β„‚) = ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4237, 41ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ–cnβ†’β„‚) = ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4334, 42eleqtrrdi 2843 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...π‘˜)((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘™)) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
4425, 43eqeltrd 2832 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
4544fmpttd 7117 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚))
46 0z 12574 . . . . . 6 0 ∈ β„€
47 seqfn 13983 . . . . . 6 (0 ∈ β„€ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0))
4846, 47ax-mp 5 . . . . 5 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0)
4917fneq2i 6648 . . . . 5 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn β„•0 ↔ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn (β„€β‰₯β€˜0))
5048, 49mpbir 230 . . . 4 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn β„•0
51 dffn5 6951 . . . 4 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) Fn β„•0 ↔ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)))
5250, 51mpbi 229 . . 3 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜))
5352feq1i 6709 . 2 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚) ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚))
5445, 53sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(ℝ–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186  Ξ£csu 15637  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949  β€“cnβ†’ccncf 24617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619
This theorem is referenced by:  knoppcn  35684
  Copyright terms: Public domain W3C validator