Theorem refsum2cnlem1 44937

Description: This is the core Lemma for refsum2cn 44938: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsum2cnlem1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
refsum2cnlem1.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
refsum2cnlem1.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐺
refsum2cnlem1.4	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsum2cnlem1.5	⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
refsum2cnlem1.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsum2cnlem1.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsum2cnlem1.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
refsum2cnlem1.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsum2cnlem1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem refsum2cnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refsum2cnlem1.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		refsum2cnlem1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
3		nfmpt1 5274	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
4	2, 3	nfcxfr 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
5		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘1
6	4, 5	nffv 6930	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴‘1)
7		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
8	6, 7	nffv 6930	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐴‘1)‘𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘((𝐴‘1)‘𝑥))
10		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘2
11	4, 10	nffv 6930	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴‘2)
12	11, 7	nffv 6930	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐴‘2)‘𝑥)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘((𝐴‘2)‘𝑥))
14		1cnd 11285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15		2cnd 12371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
16		1ex 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
17	16	prid1 4787	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
18		refsum2cnlem1.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19		refsum2cnlem1.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20	18, 19	ifcld 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
22	21	ifbid 4571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
23	22, 2	fvmptg 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ {1, 2} ∧ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
24	17, 20, 23	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
25		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = 1
26	25	iftruei 4555	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹
27	24, 26	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) = 𝐹)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴‘1) = 𝐹)
29	28	fveq1d 6922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
30		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
31		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
32	30, 31	cnf 23275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
33	18, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
34		refsum2cnlem1.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35		toponuni 22941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
37	36	eqcomd 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = 𝑋)
38		refsum2cnlem1.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
39	38	unieqi 4943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
40		uniretop 24804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
41	39, 40	eqtr4i 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐾 = ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 = ℝ)
43	37, 42	feq23d 6742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
44	33, 43	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
45	44	anim1i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
46		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
47		recn 11274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
49	29, 48	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) ∈ ℂ)
50		2ex 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
51	50	prid2 4788	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
52	18, 19	ifcld 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 = 1 ↔ 2 = 1))
54	53	ifbid 4571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
55	54, 2	fvmptg 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ {1, 2} ∧ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
56	51, 52, 55	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
57		1ne2 12501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
58	57	nesymi 3004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 2 = 1
59	58	iffalsei 4558	. . . . . . . . 9 ⊢ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺
60	56, 59	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) = 𝐺)
61	60	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴‘2) = 𝐺)
62	61	fveq1d 6922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
63	30, 31	cnf 23275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
64	19, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
65	37, 42	feq23d 6742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
66	64, 65	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
67	66	anim1i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
68		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
69		recn 11274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
71	62, 70	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) ∈ ℂ)
72	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ≠ 2)
73		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘1))
74	73	fveq1d 6922	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
75	74	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
76		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘2))
77	76	fveq1d 6922	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
78	77	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
79	9, 13, 14, 15, 49, 71, 72, 75, 78	sumpair 44935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)))
80	29, 62	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
81	79, 80	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
82	1, 81	mpteq2da 5264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
83		prfi 9391	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
84	83	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {1, 2} ∈ Fin)
85		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = 𝑋
86	85	ax-gen 1793	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 𝑋 = 𝑋
87		refsum2cnlem1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
88		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
89	87, 88	nffv 6930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘)
90		refsum2cnlem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
91	89, 90	nfeq 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘) = 𝐹
92		fveq1 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
93	92	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
94	91, 93	ralrimi 3263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
95		mpteq12f 5254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
96	86, 94, 95	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
97	96	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
98		retopon 24805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
99	38, 98	eqeltri 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
101		cnf2 23278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
102	34, 100, 18, 101	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
103	102	ffnd 6748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
104	90	dffn5f 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
105	103, 104	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
106	105	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
107	97, 106	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = 𝐹)
108	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
109	107, 108	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110	109	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
111		refsum2cnlem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
112	89, 111	nfeq 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘) = 𝐺
113		fveq1 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
114	113	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
115	112, 114	ralrimi 3263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
116		mpteq12f 5254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
117	86, 115, 116	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
118	117	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
119		cnf2 23278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
120	34, 100, 19, 119	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
121	120	ffnd 6748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
122	111	dffn5f 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Fn 𝑋 ↔ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
123	121, 122	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
124	123	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
125	118, 124	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = 𝐺)
126	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
127	125, 126	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
128	127	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
129		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → 𝑘 ∈ {1, 2})
130	18, 19	ifcld 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
131	130	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
132	2	fvmpt2 7040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {1, 2} ∧ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
133	129, 131, 132	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
134		iftrue 4554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹)
135	133, 134	sylan9eq 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → (𝐴‘𝑘) = 𝐹)
136	135	orcd 872	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
137	133	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
138		neeq2 3010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (1 ≠ 𝑘 ↔ 1 ≠ 2))
139	57, 138	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → 1 ≠ 𝑘)
140	139	necomd 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 1)
141	140	neneqd 2951	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1)
142	141	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 1)
143	142	iffalsed 4559	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺)
144	137, 143	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴‘𝑘) = 𝐺)
145	144	olcd 873	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
146		elpri 4671	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {1, 2} → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
147	146	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
148	136, 145, 147	mpjaodan 959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
149	110, 128, 148	mpjaodan 959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
150	1, 38, 34, 84, 149	refsumcn 44930	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
151	82, 150	eqeltrrd 2845	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846  ∀wal 1535   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ifcif 4548  {cpr 4650  ∪ cuni 4931   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187  2c2 12348  (,)cioo 13407  Σcsu 15734  topGenctg 17497  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353

This theorem is referenced by:  refsum2cn  44938