Theorem refsum2cnlem1 45727

Description: This is the core Lemma for refsum2cn 45728: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsum2cnlem1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
refsum2cnlem1.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
refsum2cnlem1.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐺
refsum2cnlem1.4	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsum2cnlem1.5	⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
refsum2cnlem1.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsum2cnlem1.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsum2cnlem1.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
refsum2cnlem1.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsum2cnlem1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem refsum2cnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refsum2cnlem1.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		refsum2cnlem1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
3		nfmpt1 5209	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
4	2, 3	nfcxfr 2921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
5		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘1
6	4, 5	nffv 6891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴‘1)
7		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
8	6, 7	nffv 6891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐴‘1)‘𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘((𝐴‘1)‘𝑥))
10		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘2
11	4, 10	nffv 6891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴‘2)
12	11, 7	nffv 6891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐴‘2)‘𝑥)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘((𝐴‘2)‘𝑥))
14		1cnd 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15		2cnd 12318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
16		1ex 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
17	16	prid1 4727	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
18		refsum2cnlem1.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19		refsum2cnlem1.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20	18, 19	ifcld 4533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
22	21	ifbid 4510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
23	22, 2	fvmptg 6987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ {1, 2} ∧ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
24	17, 20, 23	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
25		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = 1
26	25	iftruei 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹
27	24, 26	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) = 𝐹)
28	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴‘1) = 𝐹)
29	28	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
30		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
31		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
32	30, 31	cnf 23382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
33	18, 32	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
34		refsum2cnlem1.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35		toponuni 23050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
37	36	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = 𝑋)
38		refsum2cnlem1.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
39	38	unieqi 4883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
40		uniretop 24898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
41	39, 40	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐾 = ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 = ℝ)
43	37, 42	feq23d 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
44	33, 43	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
45	44	anim1i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
46		ffvelcdm 7076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
47		recn 11189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
49	29, 48	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) ∈ ℂ)
50		2ex 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
51	50	prid2 4728	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
52	18, 19	ifcld 4533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 = 1 ↔ 2 = 1))
54	53	ifbid 4510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
55	54, 2	fvmptg 6987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ {1, 2} ∧ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
56	51, 52, 55	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
57		1ne2 12450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
58	57	nesymi 3013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 2 = 1
59	58	iffalsei 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺
60	56, 59	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) = 𝐺)
61	60	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴‘2) = 𝐺)
62	61	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
63	30, 31	cnf 23382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
64	19, 63	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
65	37, 42	feq23d 6700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
66	64, 65	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
67	66	anim1i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
68		ffvelcdm 7076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
69		recn 11189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
71	62, 70	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) ∈ ℂ)
72	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ≠ 2)
73		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘1))
74	73	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
75	74	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
76		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘2))
77	76	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
78	77	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
79	9, 13, 14, 15, 49, 71, 72, 75, 78	sumpair 45725	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)))
80	29, 62	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
81	79, 80	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
82	1, 81	mpteq2da 5202	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
83		prfi 9282	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
84	83	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {1, 2} ∈ Fin)
85		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = 𝑋
86	85	ax-gen 1823	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 𝑋 = 𝑋
87		refsum2cnlem1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
88		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
89	87, 88	nffv 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘)
90		refsum2cnlem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
91	89, 90	nfeq 2936	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘) = 𝐹
92		fveq1 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
93	92	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
94	91, 93	ralrimi 3261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
95		mpteq12f 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
96	86, 94, 95	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
97	96	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
98		retopon 24899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
99	38, 98	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
101		cnf2 23385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
102	34, 100, 18, 101	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
103	102	ffnd 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
104	90	dffn5f 6952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
105	103, 104	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
106	105	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
107	97, 106	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = 𝐹)
108	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
109	107, 108	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110	109	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
111		refsum2cnlem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
112	89, 111	nfeq 2936	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘) = 𝐺
113		fveq1 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
114	113	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
115	112, 114	ralrimi 3261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
116		mpteq12f 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
117	86, 115, 116	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
118	117	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
119		cnf2 23385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
120	34, 100, 19, 119	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
121	120	ffnd 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
122	111	dffn5f 6952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Fn 𝑋 ↔ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
123	121, 122	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
124	123	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
125	118, 124	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = 𝐺)
126	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
127	125, 126	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
128	127	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
129		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → 𝑘 ∈ {1, 2})
130	18, 19	ifcld 4533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
131	130	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
132	2	fvmpt2 7001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {1, 2} ∧ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
133	129, 131, 132	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
134		iftrue 4492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹)
135	133, 134	sylan9eq 2816	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → (𝐴‘𝑘) = 𝐹)
136	135	orcd 886	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
137	133	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
138		neeq2 3019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (1 ≠ 𝑘 ↔ 1 ≠ 2))
139	57, 138	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → 1 ≠ 𝑘)
140	139	necomd 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 1)
141	140	neneqd 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1)
142	141	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 1)
143	142	iffalsed 4497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺)
144	137, 143	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴‘𝑘) = 𝐺)
145	144	olcd 887	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
146		elpri 4612	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {1, 2} → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
147	146	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
148	136, 145, 147	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
149	110, 128, 148	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
150	1, 38, 34, 84, 149	refsumcn 45720	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
151	82, 150	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860  ∀wal 1566   = wceq 1568  Ⅎwnf 1811   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ifcif 4486  {cpr 4590  ∪ cuni 4871   ↦ cmpt 5191  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8942  ℂcc 11097  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102  2c2 12294  (,)cioo 13371  Σcsu 15737  topGenctg 17489  TopOnctopon 23046   Cn ccn 23360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458

This theorem is referenced by:  refsum2cn  45728