Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsum2cnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refsum2cnlem1 39848
Description: This is the core Lemma for refsum2cn 39849: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsum2cnlem1.1 𝑥𝐴
refsum2cnlem1.2 𝑥𝐹
refsum2cnlem1.3 𝑥𝐺
refsum2cnlem1.4 𝑥𝜑
refsum2cnlem1.5 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
refsum2cnlem1.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsum2cnlem1.7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsum2cnlem1.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
refsum2cnlem1.9 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsum2cnlem1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem refsum2cnlem1
StepHypRef Expression
1 refsum2cnlem1.4 . . 3 𝑥𝜑
2 refsum2cnlem1.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
3 nfmpt1 4906 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
42, 3nfcxfr 2905 . . . . . . . 8 𝑘𝐴
5 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑘1
64, 5nffv 6385 . . . . . . 7 𝑘(𝐴‘1)
7 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑘𝑥
86, 7nffv 6385 . . . . . 6 𝑘((𝐴‘1)‘𝑥)
98a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑘((𝐴‘1)‘𝑥))
10 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑘2
114, 10nffv 6385 . . . . . . 7 𝑘(𝐴‘2)
1211, 7nffv 6385 . . . . . 6 𝑘((𝐴‘2)‘𝑥)
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑘((𝐴‘2)‘𝑥))
14 1cnd 10288 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15 2cnd 11350 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℂ)
16 1ex 10289 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1716prid1 4452 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
18 refsum2cnlem1.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 refsum2cnlem1.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2018, 19ifcld 4288 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
2221ifbid 4265 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
2322, 2fvmptg 6469 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ {1, 2} ∧ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
2417, 20, 23sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
25 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 1 = 1
2625iftruei 4250 . . . . . . . . 9 if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹
2724, 26syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘1) = 𝐹)
2827adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴‘1) = 𝐹)
2928fveq1d 6377 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
30 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
31 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = 𝐾
3230, 31cnf 21330 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
3318, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
34 refsum2cnlem1.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35 toponuni 20998 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐽)
3736eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐽 = 𝑋)
38 refsum2cnlem1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3938unieqi 4603 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
40 uniretop 22845 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
4139, 40eqtr4i 2790 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐾 = ℝ)
4337, 42feq23d 6218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹:𝑋⟶ℝ))
4433, 43mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
4544anim1i 608 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋))
46 ffvelrn 6547 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
47 recn 10279 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4929, 48eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) ∈ ℂ)
50 2ex 11349 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
5150prid2 4453 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
5218, 19ifcld 4288 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 = 1 ↔ 2 = 1))
5453ifbid 4265 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
5554, 2fvmptg 6469 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ {1, 2} ∧ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
5651, 52, 55sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
57 1ne2 11486 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
5857nesymi 2994 . . . . . . . . . 10 ¬ 2 = 1
5958iffalsei 4253 . . . . . . . . 9 if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺
6056, 59syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘2) = 𝐺)
6160adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴‘2) = 𝐺)
6261fveq1d 6377 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
6330, 31cnf 21330 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
6419, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
6537, 42feq23d 6218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺: 𝐽 𝐾𝐺:𝑋⟶ℝ))
6664, 65mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
6766anim1i 608 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋))
68 ffvelrn 6547 . . . . . . 7 ((𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
69 recn 10279 . . . . . . 7 ((𝐺𝑥) ∈ ℝ → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
7067, 68, 693syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
7162, 70eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) ∈ ℂ)
7257a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ≠ 2)
73 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘1))
7473fveq1d 6377 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
7574adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
76 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘2))
7776fveq1d 6377 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
7877adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
799, 13, 14, 15, 49, 71, 72, 75, 78sumpair 39846 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)))
8029, 62oveq12d 6860 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
8179, 80eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
821, 81mpteq2da 4902 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
83 prfi 8442 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
8483a1i 11 . . 3 (𝜑 → {1, 2} ∈ Fin)
85 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 𝑋 = 𝑋
8685ax-gen 1890 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑋 = 𝑋
87 refsum2cnlem1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴
88 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑘
8987, 88nffv 6385 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐴𝑘)
90 refsum2cnlem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
9189, 90nfeq 2919 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐴𝑘) = 𝐹
92 fveq1 6374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9392a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → (𝑥𝑋 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥)))
9491, 93ralrimi 3104 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
95 mpteq12f 4890 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥)) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
9686, 94, 95sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
9796adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
98 retopon 22846 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
9938, 98eqeltri 2840 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
101 cnf2 21333 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
10234, 100, 18, 101syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
103102ffnd 6224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
10490dffn5f 6441 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑋𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
105103, 104sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
106105adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
10797, 106eqtr4d 2802 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = 𝐹)
10818adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
109107, 108eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110109adantlr 706 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
111 refsum2cnlem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐺
11289, 111nfeq 2919 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐴𝑘) = 𝐺
113 fveq1 6374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
114113a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → (𝑥𝑋 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥)))
115112, 114ralrimi 3104 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
116 mpteq12f 4890 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
11786, 115, 116sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
118117adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
119 cnf2 21333 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
12034, 100, 19, 119syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
121120ffnd 6224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
122111dffn5f 6441 . . . . . . . . 9 (𝐺 Fn 𝑋𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
123121, 122sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
124123adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → 𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
125118, 124eqtr4d 2802 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = 𝐺)
12619adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
127125, 126eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
128127adantlr 706 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
129 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → 𝑘 ∈ {1, 2})
13018, 19ifcld 4288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
131130adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1322fvmpt2 6480 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {1, 2} ∧ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
133129, 131, 132syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
134 iftrue 4249 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹)
135133, 134sylan9eq 2819 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → (𝐴𝑘) = 𝐹)
136135orcd 899 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
137133adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
138 neeq2 3000 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (1 ≠ 𝑘 ↔ 1 ≠ 2))
13957, 138mpbiri 249 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → 1 ≠ 𝑘)
140139necomd 2992 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 1)
141140neneqd 2942 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1)
142141adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 1)
143142iffalsed 4254 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺)
144137, 143eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴𝑘) = 𝐺)
145144olcd 900 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
146 elpri 4356 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {1, 2} → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
147146adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
148136, 145, 147mpjaodan 981 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
149110, 128, 148mpjaodan 981 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1501, 38, 34, 84, 149refsumcn 39841 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
15182, 150eqeltrrd 2845 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wo 873  wal 1650   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wnfc 2894  wne 2937  wral 3055  ifcif 4243  {cpr 4336   cuni 4594  cmpt 4888  ran crn 5278   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192  2c2 11327  (,)cioo 12377  Σcsu 14701  topGenctg 16364  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406
This theorem is referenced by:  refsum2cn  39849
  Copyright terms: Public domain W3C validator