Theorem refsum2cnlem1 41292

Description: This is the core Lemma for refsum2cn 41293: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
refsum2cnlem1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
refsum2cnlem1.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
refsum2cnlem1.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐺
refsum2cnlem1.4	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
refsum2cnlem1.5	⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
refsum2cnlem1.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsum2cnlem1.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsum2cnlem1.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
refsum2cnlem1.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
refsum2cnlem1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem refsum2cnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refsum2cnlem1.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		refsum2cnlem1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
3		nfmpt1 5163	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
4	2, 3	nfcxfr 2975	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
5		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘1
6	4, 5	nffv 6679	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴‘1)
7		nfcv 2977	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
8	6, 7	nffv 6679	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐴‘1)‘𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘((𝐴‘1)‘𝑥))
10		nfcv 2977	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘2
11	4, 10	nffv 6679	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴‘2)
12	11, 7	nffv 6679	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐴‘2)‘𝑥)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘((𝐴‘2)‘𝑥))
14		1cnd 10635	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15		2cnd 11714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
16		1ex 10636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
17	16	prid1 4697	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ {1, 2}
18		refsum2cnlem1.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19		refsum2cnlem1.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20	18, 19	ifcld 4511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
22	21	ifbid 4488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
23	22, 2	fvmptg 6765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ {1, 2} ∧ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
24	17, 20, 23	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
25		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = 1
26	25	iftruei 4473	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹
27	24, 26	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘1) = 𝐹)
28	27	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴‘1) = 𝐹)
29	28	fveq1d 6671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
30		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
31		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
32	30, 31	cnf 21853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
33	18, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
34		refsum2cnlem1.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35		toponuni 21521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝐽)
37	36	eqcomd 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = 𝑋)
38		refsum2cnlem1.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
39	38	unieqi 4850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
40		uniretop 23370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
41	39, 40	eqtr4i 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐾 = ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 = ℝ)
43	37, 42	feq23d 6508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
44	33, 43	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
45	44	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
46		ffvelrn 6848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
47		recn 10626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
49	29, 48	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) ∈ ℂ)
50		2ex 11713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
51	50	prid2 4698	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ {1, 2}
52	18, 19	ifcld 4511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 = 1 ↔ 2 = 1))
54	53	ifbid 4488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
55	54, 2	fvmptg 6765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ {1, 2} ∧ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
56	51, 52, 55	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
57		1ne2 11844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
58	57	nesymi 3073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 2 = 1
59	58	iffalsei 4476	. . . . . . . . 9 ⊢ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺
60	56, 59	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘2) = 𝐺)
61	60	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴‘2) = 𝐺)
62	61	fveq1d 6671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
63	30, 31	cnf 21853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
64	19, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
65	37, 42	feq23d 6508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
66	64, 65	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
67	66	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
68		ffvelrn 6848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
69		recn 10626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
71	62, 70	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) ∈ ℂ)
72	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ≠ 2)
73		fveq2 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘1))
74	73	fveq1d 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
75	74	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
76		fveq2 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘2))
77	76	fveq1d 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
78	77	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
79	9, 13, 14, 15, 49, 71, 72, 75, 78	sumpair 41290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)))
80	29, 62	oveq12d 7173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
81	79, 80	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
82	1, 81	mpteq2da 5159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
83		prfi 8792	. . . 4 ⊢ {1, 2} ∈ Fin
84	83	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {1, 2} ∈ Fin)
85		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = 𝑋
86	85	ax-gen 1792	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 𝑋 = 𝑋
87		refsum2cnlem1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
88		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
89	87, 88	nffv 6679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘)
90		refsum2cnlem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
91	89, 90	nfeq 2991	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘) = 𝐹
92		fveq1 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
93	92	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)))
94	91, 93	ralrimi 3216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
95		mpteq12f 5148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
96	86, 94, 95	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
97	96	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
98		retopon 23371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
99	38, 98	eqeltri 2909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
101		cnf2 21856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
102	34, 100, 18, 101	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
103	102	ffnd 6514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
104	90	dffn5f 6735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
105	103, 104	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
106	105	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
107	97, 106	eqtr4d 2859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = 𝐹)
108	18	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
109	107, 108	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110	109	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
111		refsum2cnlem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
112	89, 111	nfeq 2991	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴‘𝑘) = 𝐺
113		fveq1 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
114	113	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
115	112, 114	ralrimi 3216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
116		mpteq12f 5148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑘)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
117	86, 115, 116	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘𝑘) = 𝐺 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
118	117	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
119		cnf2 21856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
120	34, 100, 19, 119	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
121	120	ffnd 6514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
122	111	dffn5f 6735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Fn 𝑋 ↔ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
123	121, 122	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
124	123	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
125	118, 124	eqtr4d 2859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) = 𝐺)
126	19	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
127	125, 126	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
128	127	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴‘𝑘) = 𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
129		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → 𝑘 ∈ {1, 2})
130	18, 19	ifcld 4511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
131	130	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
132	2	fvmpt2 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {1, 2} ∧ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
133	129, 131, 132	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
134		iftrue 4472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹)
135	133, 134	sylan9eq 2876	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → (𝐴‘𝑘) = 𝐹)
136	135	orcd 869	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
137	133	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴‘𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
138		neeq2 3079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → (1 ≠ 𝑘 ↔ 1 ≠ 2))
139	57, 138	mpbiri 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → 1 ≠ 𝑘)
140	139	necomd 3071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 1)
141	140	neneqd 3021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1)
142	141	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 1)
143	142	iffalsed 4477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺)
144	137, 143	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴‘𝑘) = 𝐺)
145	144	olcd 870	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
146		elpri 4588	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {1, 2} → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
147	146	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
148	136, 145, 147	mpjaodan 955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → ((𝐴‘𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴‘𝑘) = 𝐺))
149	110, 128, 148	mpjaodan 955	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
150	1, 38, 34, 84, 149	refsumcn 41285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴‘𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
151	82, 150	eqeltrrd 2914	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843  ∀wal 1531   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2961   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ifcif 4466  {cpr 4568  ∪ cuni 4837   ↦ cmpt 5145  ran crn 5555   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  ℂcc 10534  ℝcr 10535  1c1 10537   + caddc 10539  2c2 11691  (,)cioo 12737  Σcsu 15041  topGenctg 16710  TopOnctopon 21517   Cn ccn 21831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931

This theorem is referenced by:  refsum2cn  41293