Theorem mulgpropd 18996

Description: Two structures with the same group-nature have the same group multiple function. 𝐾 is expected to either be V (when strong equality is available) or 𝐵 (when closure is available). (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgpropd.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgpropd.n	⊢ × = (.g‘𝐻)
mulgpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
mulgpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐻))
mulgpropd.i	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐾)
mulgpropd.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐾)
mulgpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
mulgpropd	⊢ (𝜑 → · = × )

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgpropd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
2		mulgpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐻))
3		mulgpropd.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐾)
4		ssel 3976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐾 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐾))
5		ssel 3976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐾 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐾))
6	4, 5	anim12d 610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐾 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)))
8	7	imp 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
9		mulgpropd.e	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
10	8, 9	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
11	1, 2, 10	grpidpropd 18581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
13		1zzd 12593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
14		vex 3479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑏 ∈ V
15	14	fvconst2 7205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) = 𝑏)
16		nnuz 12865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	16	eqcomi 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
18	15, 17	eleq2s 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) = 𝑏)
19	18	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) = 𝑏)
20	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐾)
21		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
22	20, 21	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐾)
23	22	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑏 ∈ 𝐾)
24	19, 23	eqeltrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) ∈ 𝐾)
25		mulgpropd.k	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐾)
26	25	3ad2antl1 1186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐾)
27	9	3ad2antl1 1186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
28	13, 24, 26, 27	seqfeq3 14018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏})))
29	28	fveq1d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎))
30	1, 2, 10	grpinvpropd 18898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (invg‘𝐻))
31	30	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (invg‘𝐺) = (invg‘𝐻))
32	28	fveq1d 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))
33	31, 32	fveq12d 6899	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)) = ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))
34	29, 33	ifeq12d 4550	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))) = if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))
35	12, 34	ifeq12d 4550	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))) = if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
36	35	mpoeq3dva 7486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
37		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤ = ℤ)
38		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))) = if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
39	37, 1, 38	mpoeq123dv 7484	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
40		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))) = if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
41	37, 2, 40	mpoeq123dv 7484	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐻) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
42	36, 39, 41	3eqtr3d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐻) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
43		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
46		eqid 2733	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
47		mulgpropd.m	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
48	43, 44, 45, 46, 47	mulgfval 18952	. 2 ⊢ · = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
49		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
50		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
51		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
52		eqid 2733	. . 3 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
53		mulgpropd.n	. . 3 ⊢ × = (.g‘𝐻)
54	49, 50, 51, 52, 53	mulgfval 18952	. 2 ⊢ × = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐻) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
55	42, 48, 54	3eqtr4g 2798	1 ⊢ (𝜑 → · = × )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   × cxp 5675  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248  -cneg 11445  ℕcn 12212  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  seqcseq 13966  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  inv_gcminusg 18820  ._gcmg 18950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-0g 17387  df-minusg 18823  df-mulg 18951

This theorem is referenced by:  mulgass3  20167  coe1tm  21795  ply1coe  21820  evl1expd  21864