MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgpropd 18990
Description: Two structures with the same group-nature have the same group multiple function. 𝐾 is expected to either be V (when strong equality is available) or 𝐵 (when closure is available). (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgpropd.m · = (.g𝐺)
mulgpropd.n × = (.g𝐻)
mulgpropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
mulgpropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐻))
mulgpropd.i (𝜑𝐵𝐾)
mulgpropd.k ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐾)
mulgpropd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
Assertion
Ref Expression
mulgpropd (𝜑· = × )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgpropd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgpropd.b1 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
2 mulgpropd.b2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐻))
3 mulgpropd.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝐾)
4 ssel 3974 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐾 → (𝑥𝐵𝑥𝐾))
5 ssel 3974 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐾 → (𝑦𝐵𝑦𝐾))
64, 5anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐾 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝐾𝑦𝐾)))
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝐾𝑦𝐾)))
87imp 407 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝐾𝑦𝐾))
9 mulgpropd.e . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
108, 9syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
111, 2, 10grpidpropd 18577 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐻))
12113ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
13 1zzd 12589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → 1 ∈ ℤ)
14 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 ∈ V
1514fvconst2 7201 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) = 𝑏)
16 nnuz 12861 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
1716eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘1) = ℕ
1815, 17eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) = 𝑏)
1918adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) = 𝑏)
2033ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → 𝐵𝐾)
21 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
2220, 21sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐾)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑏𝐾)
2419, 23eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) ∈ 𝐾)
25 mulgpropd.k . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐾)
26253ad2antl1 1185 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐾)
2793ad2antl1 1185 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
2813, 24, 26, 27seqfeq3 14014 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏})))
2928fveq1d 6890 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎))
301, 2, 10grpinvpropd 18894 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg𝐺) = (invg𝐻))
31303ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → (invg𝐺) = (invg𝐻))
3228fveq1d 6890 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))
3331, 32fveq12d 6895 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)) = ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))
3429, 33ifeq12d 4548 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))) = if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))
3512, 34ifeq12d 4548 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏𝐵) → if(𝑎 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))) = if(𝑎 = 0, (0g𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
3635mpoeq3dva 7482 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
37 eqidd 2733 . . . 4 (𝜑 → ℤ = ℤ)
38 eqidd 2733 . . . 4 (𝜑 → if(𝑎 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))) = if(𝑎 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
3937, 1, 38mpoeq123dv 7480 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
40 eqidd 2733 . . . 4 (𝜑 → if(𝑎 = 0, (0g𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))) = if(𝑎 = 0, (0g𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
4137, 2, 40mpoeq123dv 7480 . . 3 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐻) ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
4236, 39, 413eqtr3d 2780 . 2 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐻) ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
43 eqid 2732 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44 eqid 2732 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
45 eqid 2732 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
46 eqid 2732 . . 3 (invg𝐺) = (invg𝐺)
47 mulgpropd.m . . 3 · = (.g𝐺)
4843, 44, 45, 46, 47mulgfval 18946 . 2 · = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
49 eqid 2732 . . 3 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
50 eqid 2732 . . 3 (+g𝐻) = (+g𝐻)
51 eqid 2732 . . 3 (0g𝐻) = (0g𝐻)
52 eqid 2732 . . 3 (invg𝐻) = (invg𝐻)
53 mulgpropd.n . . 3 × = (.g𝐻)
5449, 50, 51, 52, 53mulgfval 18946 . 2 × = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐻) ↦ if(𝑎 = 0, (0g𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg𝐻)‘(seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
5542, 48, 543eqtr4g 2797 1 (𝜑· = × )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   × cxp 5673  cfv 6540  (class class class)co 7405  cmpo 7407  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244  -cneg 11441  cn 12208  cz 12554  cuz 12818  seqcseq 13962  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  invgcminusg 18816  .gcmg 18944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-0g 17383  df-minusg 18819  df-mulg 18945
This theorem is referenced by:  mulgass3  20159  coe1tm  21786  ply1coe  21811  evl1expd  21855
  Copyright terms: Public domain W3C validator