MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgpropd 18998
Description: Two structures with the same group-nature have the same group multiple function. ๐พ is expected to either be V (when strong equality is available) or ๐ต (when closure is available). (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgpropd.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgpropd.n ร— = (.gโ€˜๐ป)
mulgpropd.b1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐บ))
mulgpropd.b2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ป))
mulgpropd.i (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐พ)
mulgpropd.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
mulgpropd.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
Assertion
Ref Expression
mulgpropd (๐œ‘ โ†’ ยท = ร— )
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ร— (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem mulgpropd
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgpropd.b1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐บ))
2 mulgpropd.b2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ป))
3 mulgpropd.i . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐พ)
4 ssel 3975 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โŠ† ๐พ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ))
5 ssel 3975 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โŠ† ๐พ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ))
64, 5anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (๐ต โŠ† ๐พ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)))
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)))
87imp 407 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ))
9 mulgpropd.e . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
108, 9syldan 591 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
111, 2, 10grpidpropd 18583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
12113ad2ant1 1133 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
13 1zzd 12595 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
14 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ โˆˆ V
1514fvconst2 7207 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— {๐‘})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)
16 nnuz 12867 . . . . . . . . . . . 12 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1716eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 (โ„คโ‰ฅโ€˜1) = โ„•
1815, 17eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)
1918adantl 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)
2033ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต โŠ† ๐พ)
21 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
2220, 21sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
2419, 23eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)
25 mulgpropd.k . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
26253ad2antl1 1185 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
2793ad2antl1 1185 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
2813, 24, 26, 27seqfeq3 14020 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘})))
2928fveq1d 6893 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž))
301, 2, 10grpinvpropd 18900 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐ป))
31303ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐ป))
3228fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))
3331, 32fveq12d 6898 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))
3429, 33ifeq12d 4549 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))) = if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))
3512, 34ifeq12d 4549 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))) = if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
3635mpoeq3dva 7488 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
37 eqidd 2733 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„ค = โ„ค)
38 eqidd 2733 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))) = if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
3937, 1, 38mpoeq123dv 7486 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
40 eqidd 2733 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))) = if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
4137, 2, 40mpoeq123dv 7486 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
4236, 39, 413eqtr3d 2780 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
43 eqid 2732 . . 3 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
44 eqid 2732 . . 3 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
45 eqid 2732 . . 3 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
46 eqid 2732 . . 3 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
47 mulgpropd.m . . 3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
4843, 44, 45, 46, 47mulgfval 18954 . 2 ยท = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
49 eqid 2732 . . 3 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
50 eqid 2732 . . 3 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
51 eqid 2732 . . 3 (0gโ€˜๐ป) = (0gโ€˜๐ป)
52 eqid 2732 . . 3 (invgโ€˜๐ป) = (invgโ€˜๐ป)
53 mulgpropd.n . . 3 ร— = (.gโ€˜๐ป)
5449, 50, 51, 52, 53mulgfval 18954 . 2 ร— = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
5542, 48, 543eqtr4g 2797 1 (๐œ‘ โ†’ ยท = ร— )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11250  -cneg 11447  โ„•cn 12214  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  seqcseq 13968  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  invgcminusg 18822  .gcmg 18952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-0g 17389  df-minusg 18825  df-mulg 18953
This theorem is referenced by:  mulgass3  20171  coe1tm  21802  ply1coe  21827  evl1expd  21871
  Copyright terms: Public domain W3C validator