MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgpropd 18877
Description: Two structures with the same group-nature have the same group multiple function. ๐พ is expected to either be V (when strong equality is available) or ๐ต (when closure is available). (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgpropd.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgpropd.n ร— = (.gโ€˜๐ป)
mulgpropd.b1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐บ))
mulgpropd.b2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ป))
mulgpropd.i (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐พ)
mulgpropd.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
mulgpropd.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
Assertion
Ref Expression
mulgpropd (๐œ‘ โ†’ ยท = ร— )
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ร— (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem mulgpropd
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgpropd.b1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐บ))
2 mulgpropd.b2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ป))
3 mulgpropd.i . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐พ)
4 ssel 3935 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โŠ† ๐พ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ))
5 ssel 3935 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โŠ† ๐พ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ))
64, 5anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (๐ต โŠ† ๐พ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)))
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)))
87imp 407 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ))
9 mulgpropd.e . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
108, 9syldan 591 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
111, 2, 10grpidpropd 18477 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
12113ad2ant1 1133 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
13 1zzd 12492 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
14 vex 3447 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ โˆˆ V
1514fvconst2 7149 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— {๐‘})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)
16 nnuz 12760 . . . . . . . . . . . 12 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1716eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 (โ„คโ‰ฅโ€˜1) = โ„•
1815, 17eleq2s 2856 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)
1918adantl 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)
2033ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต โŠ† ๐พ)
21 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
2220, 21sseldd 3943 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
2419, 23eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)
25 mulgpropd.k . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
26253ad2antl1 1185 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
2793ad2antl1 1185 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
2813, 24, 26, 27seqfeq3 13912 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘})))
2928fveq1d 6841 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž))
301, 2, 10grpinvpropd 18781 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐ป))
31303ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐ป))
3228fveq1d 6841 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))
3331, 32fveq12d 6846 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))
3429, 33ifeq12d 4505 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))) = if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))
3512, 34ifeq12d 4505 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))) = if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
3635mpoeq3dva 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
37 eqidd 2738 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„ค = โ„ค)
38 eqidd 2738 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))) = if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
3937, 1, 38mpoeq123dv 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
40 eqidd 2738 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))) = if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
4137, 2, 40mpoeq123dv 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
4236, 39, 413eqtr3d 2785 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
43 eqid 2737 . . 3 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
44 eqid 2737 . . 3 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
45 eqid 2737 . . 3 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
46 eqid 2737 . . 3 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
47 mulgpropd.m . . 3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
4843, 44, 45, 46, 47mulgfval 18833 . 2 ยท = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
49 eqid 2737 . . 3 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
50 eqid 2737 . . 3 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
51 eqid 2737 . . 3 (0gโ€˜๐ป) = (0gโ€˜๐ป)
52 eqid 2737 . . 3 (invgโ€˜๐ป) = (invgโ€˜๐ป)
53 mulgpropd.n . . 3 ร— = (.gโ€˜๐ป)
5449, 50, 51, 52, 53mulgfval 18833 . 2 ร— = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
5542, 48, 543eqtr4g 2802 1 (๐œ‘ โ†’ ยท = ร— )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3908  ifcif 4484  {csn 4584   class class class wbr 5103   ร— cxp 5629  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  0cc0 11009  1c1 11010   < clt 11147  -cneg 11344  โ„•cn 12111  โ„คcz 12457  โ„คโ‰ฅcuz 12721  seqcseq 13860  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  0gc0g 17281  invgcminusg 18709  .gcmg 18831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-seq 13861  df-0g 17283  df-minusg 18712  df-mulg 18832
This theorem is referenced by:  mulgass3  20019  coe1tm  21596  ply1coe  21619  evl1expd  21663
  Copyright terms: Public domain W3C validator