Theorem mulgpropd 19213

Description: Two structures with the same group-nature have the same group multiple function. 𝐾 is expected to either be V (when strong equality is available) or 𝐵 (when closure is available). (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgpropd.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgpropd.n	⊢ × = (.g‘𝐻)
mulgpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
mulgpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐻))
mulgpropd.i	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐾)
mulgpropd.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐾)
mulgpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
mulgpropd	⊢ (𝜑 → · = × )

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥, 𝑦)   × (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem mulgpropd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
2		mulgpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐻))
3		mulgpropd.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐾)
4		ssel 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐾 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐾))
5		ssel 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐾 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐾))
6	4, 5	anim12d 621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐾 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)))
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)))
8	7	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
9		mulgpropd.e	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
10	8, 9	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
11	1, 2, 10	grpidpropd 18745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
13		1zzd 12643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
14		vex 3462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑏 ∈ V
15	14	fvconst2 7209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) = 𝑏)
16		nnuz 12919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	16	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
18	15, 17	eleq2s 2884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) = 𝑏)
19	18	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) = 𝑏)
20	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐾)
21		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
22	20, 21	sseldd 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐾)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑏 ∈ 𝐾)
24	19, 23	eqeltrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {𝑏})‘𝑥) ∈ 𝐾)
25		mulgpropd.k	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐾)
26	25	3ad2antl1 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐾)
27	9	3ad2antl1 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
28	13, 24, 26, 27	seqfeq3 14108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏})) = seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏})))
29	28	fveq1d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎))
30	1, 2, 10	grpinvpropd 19112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (invg‘𝐻))
31	30	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (invg‘𝐺) = (invg‘𝐻))
32	28	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎) = (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))
33	31, 32	fveq12d 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)) = ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))
34	29, 33	ifeq12d 4514	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))) = if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))
35	12, 34	ifeq12d 4514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))) = if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
36	35	mpoeq3dva 7500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
37		eqidd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤ = ℤ)
38		eqidd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))) = if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
39	37, 1, 38	mpoeq123dv 7498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
40		eqidd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))) = if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
41	37, 2, 40	mpoeq123dv 7498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐻) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
42	36, 39, 41	3eqtr3d 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))) = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐻) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎))))))
43		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44		eqid 2766	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45		eqid 2766	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
46		eqid 2766	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
47		mulgpropd.m	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
48	43, 44, 45, 46, 47	mulgfval 19166	. 2 ⊢ · = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
49		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
50		eqid 2766	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
51		eqid 2766	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
52		eqid 2766	. . 3 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
53		mulgpropd.n	. . 3 ⊢ × = (.g‘𝐻)
54	49, 50, 51, 52, 53	mulgfval 19166	. 2 ⊢ × = (𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ (Base‘𝐻) ↦ if(𝑎 = 0, (0g‘𝐻), if(0 < 𝑎, (seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘𝑎), ((invg‘𝐻)‘(seq1((+g‘𝐻), (ℕ × {𝑏}))‘-𝑎)))))
55	42, 48, 54	3eqtr4g 2826	1 ⊢ (𝜑 → · = × )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5114   × cxp 5664  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  0cc0 11118  1c1 11119   < clt 11261  -cneg 11460  ℕcn 12251  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  seqcseq 14057  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  0_gc0g 17517  inv_gcminusg 19032  ._gcmg 19164

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-0g 17519  df-minusg 19035  df-mulg 19165

This theorem is used by:  mulgass3  20468  coe1tm  22471  ply1coe  22495  evl1expd  22542  srapwov  34010