MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfn 13927
Description: The sequence builder function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqfn (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))

Proof of Theorem seqfn
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqeq1 13918 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
2 fveq2 6846 . . 3 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ𝑀) = (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
31, 2fneq12d 6601 . 2 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ↔ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4 0z 12518 . . . 4 0 ∈ ℤ
54elimel 4559 . . 3 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
6 eqid 2733 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
7 fvex 6859 . . 3 (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
8 eqid 2733 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
98seqval 13926 . . 3 seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
105, 6, 7, 8, 9uzrdgfni 13872 . 2 seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) Fn (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
113, 10dedth 4548 1 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  ifcif 4490  cop 4596  cmpt 5192  cres 5639   Fn wfn 6495  cfv 6500  (class class class)co 7361  cmpo 7363  ωcom 7806  reccrdg 8359  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  cz 12507  cuz 12771  seqcseq 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916
This theorem is referenced by:  seqexw  13931  seqf2  13936  seqfeq2  13940  seqfeq  13942  seqfeq3  13967  ser0f  13970  facnn  14184  fac0  14185  seqshft  14979  prodf1f  15785  efcvgfsum  15976  seq1st  16455  prmrec  16802  gsumpropd2lem  18542  mulgfval  18882  ovolunlem1  24884  ovoliunlem1  24889  volsup  24943  mtest  25786  mtestbdd  25787  pserulm  25804  pserdvlem2  25810  emcllem5  26372  lgamgulm2  26408  lgamcvglem  26412  gamcvg2lem  26431  esumfsup  32733  esumpcvgval  32741  esumcvg  32749  esumcvgsum  32751  esumsup  32752  sseqfv1  33053  sseqfn  33054  sseqfv2  33058  faclimlem1  34379  knoppcnlem8  35016  knoppcnlem11  35019  mblfinlem2  36166  ovoliunnfl  36170  voliunnfl  36172
  Copyright terms: Public domain W3C validator