Theorem seqfn 14064

Description: The sequence builder function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqfn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem seqfn

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqeq1 14055	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
2		fveq2 6920	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	1, 2	fneq12d 6674	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ↔ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4		0z 12650	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
5	4	elimel 4617	. . 3 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
7		fvex 6933	. . 3 ⊢ (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
9	8	seqval 14063	. . 3 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
10	5, 6, 7, 8, 9	uzrdgfni 14009	. 2 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
11	3, 10	dedth 4606	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ifcif 4548  ⟨cop 4654   ↦ cmpt 5249   ↾ cres 5702   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ωcom 7903  reccrdg 8465  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  seqcseq 14052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053

This theorem is referenced by:  seqexw  14068  seqf2  14072  seqfeq2  14076  seqfeq  14078  seqfeq3  14103  ser0f  14106  facnn  14324  fac0  14325  seqshft  15134  prodf1f  15940  efcvgfsum  16134  seq1st  16618  prmrec  16969  gsumpropd2lem  18717  mulgfval  19109  ovolunlem1  25551  ovoliunlem1  25556  volsup  25610  mtest  26465  mtestbdd  26466  pserulm  26483  pserdvlem2  26490  emcllem5  27061  lgamgulm2  27097  lgamcvglem  27101  gamcvg2lem  27120  esumfsup  34034  esumpcvgval  34042  esumcvg  34050  esumcvgsum  34052  esumsup  34053  sseqfv1  34354  sseqfn  34355  sseqfv2  34359  faclimlem1  35705  knoppcnlem8  36466  knoppcnlem11  36469  mblfinlem2  37618  ovoliunnfl  37622  voliunnfl  37624