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Theorem modfsummods 15685
Description: Induction step for modfsummod 15686. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4773 . . 3 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
2 ssequn1 4145 . . . 4 ({𝑧} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴)
3 uncom 4118 . . . . . . . 8 ({𝑧} ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ {𝑧})
43eqeq1i 2742 . . . . . . 7 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴)
5 sumeq1 15580 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵)
65oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
7 sumeq1 15580 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
87oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
96, 8eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
109eqcoms 2745 . . . . . . 7 ((𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
114, 10sylbi 216 . . . . . 6 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1211biimpd 228 . . . . 5 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1312a1d 25 . . . 4 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
142, 13sylbi 216 . . 3 ({𝑧} ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
151, 14syl 17 . 2 (𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
16 df-nel 3051 . . 3 (𝑧𝐴 ↔ ¬ 𝑧𝐴)
17 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
1817ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
19 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧𝐴)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧𝐴)
21 vex 3452 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
2220, 21jctil 521 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴))
23 simplr3 1218 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
24 fsumsplitsnun 15647 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
2518, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
2625oveq1d 7377 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
27 ralunb 4156 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
28 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2927, 28sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
30 fsumzcl2 15631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3129, 30sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
32313adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3332adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3433zred 12614 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
35 modfsummodslem1 15684 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
36353ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3736adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3837zred 12614 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
39 nnrp 12933 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
40393ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4140adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
42 modaddabs 13821 . . . . . . . . 9 ((Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
4334, 38, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
4443eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
4544adantr 482 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
46 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
4735zred 12614 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
48473ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
4948adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
5049, 41jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5150adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
52 modabs2 13817 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
5352eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5451, 53syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5546, 54oveq12d 7380 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5655oveq1d 7377 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
5745, 56eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
58 zmodcl 13803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
5958nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6059expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6160ralimdv 3167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6261com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6362adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6427, 63sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6564impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
66653adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6717, 66jca 513 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
68 fsumzcl2 15631 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6968zred 12614 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7067, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7170ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7235anim1i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
7372ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
74 zmodcl 13803 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
7675nn0red 12481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
77763adant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7877ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7940ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80 modaddabs 13821 . . . . . . 7 ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
8171, 78, 79, 80syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
8260ralimdv 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
8382imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
84833adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
86 fsumsplitsnun 15647 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
8718, 22, 85, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
88 csbov1g 7407 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
8921, 88mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
9089oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)))
9187, 90eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)))
9291eqcomd 2743 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
9392oveq1d 7377 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9481, 93eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9526, 57, 943eqtrd 2781 . . . 4 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9695exp31 421 . . 3 (𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
9716, 96sylbir 234 . 2 𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
9815, 97pm2.61i 182 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3050  wral 3065  Vcvv 3448  csb 3860  cun 3913  wss 3915  {csn 4591  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  cr 11057   + caddc 11061  cn 12160  0cn0 12420  cz 12506  +crp 12922   mod cmo 13781  Σcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  modfsummod  15686
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