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Theorem modfsummods 15494

Description: Induction step for modfsummod 15495. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
modfsummods	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝑘,𝑁 𝑧,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑧) 𝐵(𝑧,𝑘) 𝑁(𝑧)

**Proof of Theorem modfsummods**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4743	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
2		ssequn1 4115	. . . 4 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴)
3		uncom 4088	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧} ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ {𝑧})
4	3	eqeq1i 2743	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴)
5		sumeq1 15389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵)
6	5	oveq1d 7284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
7		sumeq1 15389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
8	7	oveq1d 7284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9	6, 8	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
10	9	eqcoms 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
11	4, 10	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
12	11	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
13	12	a1d 25	. . . 4 ⊢ (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
14	2, 13	sylbi 216	. . 3 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
16		df-nel 3050	. . 3 ⊢ (𝑧 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
17		simp1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
18	17	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
19		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∉ 𝐴)
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧 ∉ 𝐴)
21		vex 3435	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
22	20, 21	jctil 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴))
23		simplr3 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
24		fsumsplitsnun 15456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
25	18, 22, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
26	25	oveq1d 7284	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
27		ralunb 4126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
28		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
29	27, 28	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
30		fsumzcl2 15440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	3adant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
34	33	zred 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
35		modfsummodslem1 15493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
38	37	zred 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
39		nnrp 12730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
40	39	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
41	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
42		modaddabs 13618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
43	34, 38, 41, 42	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
44	43	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
45	44	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
46		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
47	35	zred 12415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
48	47	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
50	49, 41	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺))
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺))
52		modabs2 13614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
53	52	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) = ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) = ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
55	46, 54	oveq12d 7287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
56	55	oveq1d 7284	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
57	45, 56	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
58		zmodcl 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
59	58	nn0zd 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
60	59	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
61	60	ralimdv 3109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
62	61	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
64	27, 63	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
65	64	impcom 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
66	65	3adant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
67	17, 66	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
68		fsumzcl2 15440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
69	68	zred 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
70	67, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
71	70	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
72	35	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
73	72	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
74		zmodcl 13600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
76	75	nn0red 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
77	76	3adant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
78	77	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
79	40	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
80		modaddabs 13618	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
81	71, 78, 79, 80	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
82	60	ralimdv 3109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
83	82	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
84	83	3adant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
85	84	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
86		fsumsplitsnun 15456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
87	18, 22, 85, 86	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
88		csbov1g 7314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
89	21, 88	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
90	89	oveq2d 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)))
91	87, 90	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)))
92	91	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
93	92	oveq1d 7284	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
94	81, 93	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
95	26, 57, 94	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
96	95	exp31 420	. . 3 ⊢ (𝑧 ∉ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
97	16, 96	sylbir 234	. 2 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
98	15, 97	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ∉ wnel 3049 ∀wral 3064 Vcvv 3431 ⦋csb 3833 ∪ cun 3886 ⊆ wss 3888 {csn 4563 (class class class)co 7269 Fincfn 8722 ℝcr 10859 + caddc 10863 ℕcn 11962 ℕ₀cn0 12222 ℤcz 12308 ℝ⁺crp 12719 mod cmo 13578 Σcsu 15386

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5210 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7580 ax-inf2 9388 ax-cnex 10916 ax-resscn 10917 ax-1cn 10918 ax-icn 10919 ax-addcl 10920 ax-addrcl 10921 ax-mulcl 10922 ax-mulrcl 10923 ax-mulcom 10924 ax-addass 10925 ax-mulass 10926 ax-distr 10927 ax-i2m1 10928 ax-1ne0 10929 ax-1rid 10930 ax-rnegex 10931 ax-rrecex 10932 ax-cnre 10933 ax-pre-lttri 10934 ax-pre-lttrn 10935 ax-pre-ltadd 10936 ax-pre-mulgt0 10937 ax-pre-sup 10938

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3433 df-sbc 3718 df-csb 3834 df-dif 3891 df-un 3893 df-in 3895 df-ss 3905 df-pss 3907 df-nul 4259 df-if 4462 df-pw 4537 df-sn 4564 df-pr 4566 df-op 4570 df-uni 4842 df-int 4882 df-iun 4928 df-br 5076 df-opab 5138 df-mpt 5159 df-tr 5193 df-id 5486 df-eprel 5492 df-po 5500 df-so 5501 df-fr 5541 df-se 5542 df-we 5543 df-xp 5592 df-rel 5593 df-cnv 5594 df-co 5595 df-dm 5596 df-rn 5597 df-res 5598 df-ima 5599 df-pred 6197 df-ord 6264 df-on 6265 df-lim 6266 df-suc 6267 df-iota 6386 df-fun 6430 df-fn 6431 df-f 6432 df-f1 6433 df-fo 6434 df-f1o 6435 df-fv 6436 df-isom 6437 df-riota 7226 df-ov 7272 df-oprab 7273 df-mpo 7274 df-om 7705 df-1st 7822 df-2nd 7823 df-frecs 8086 df-wrecs 8117 df-recs 8191 df-rdg 8230 df-1o 8286 df-er 8487 df-en 8723 df-dom 8724 df-sdom 8725 df-fin 8726 df-sup 9190 df-inf 9191 df-oi 9258 df-card 9686 df-pnf 11000 df-mnf 11001 df-xr 11002 df-ltxr 11003 df-le 11004 df-sub 11196 df-neg 11197 df-div 11622 df-nn 11963 df-2 12025 df-3 12026 df-n0 12223 df-z 12309 df-uz 12572 df-rp 12720 df-fz 13229 df-fzo 13372 df-fl 13501 df-mod 13579 df-seq 13711 df-exp 13772 df-hash 14034 df-cj 14799 df-re 14800 df-im 14801 df-sqrt 14935 df-abs 14936 df-clim 15186 df-sum 15387

This theorem is referenced by: modfsummod 15495

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