MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modfsummods Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modfsummods 15741
Description: Induction step for modfsummod 15742. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4811 . . 3 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
2 ssequn1 4180 . . . 4 ({𝑧} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴)
3 uncom 4153 . . . . . . . 8 ({𝑧} ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ {𝑧})
43eqeq1i 2737 . . . . . . 7 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴)
5 sumeq1 15637 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵)
65oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
7 sumeq1 15637 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
87oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
96, 8eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
109eqcoms 2740 . . . . . . 7 ((𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
114, 10sylbi 216 . . . . . 6 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1211biimpd 228 . . . . 5 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1312a1d 25 . . . 4 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
142, 13sylbi 216 . . 3 ({𝑧} ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
151, 14syl 17 . 2 (𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
16 df-nel 3047 . . 3 (𝑧𝐴 ↔ ¬ 𝑧𝐴)
17 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
1817ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
19 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧𝐴)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧𝐴)
21 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
2220, 21jctil 520 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴))
23 simplr3 1217 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
24 fsumsplitsnun 15703 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
2518, 22, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
2625oveq1d 7426 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
27 ralunb 4191 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
28 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2927, 28sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
30 fsumzcl2 15687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3129, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
32313adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3332adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3433zred 12668 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
35 modfsummodslem1 15740 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
36353ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3837zred 12668 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
39 nnrp 12987 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
40393ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4140adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
42 modaddabs 13876 . . . . . . . . 9 ((Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
4334, 38, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
4443eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
4544adantr 481 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
46 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
4735zred 12668 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
48473ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
5049, 41jca 512 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
52 modabs2 13872 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
5352eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5451, 53syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5546, 54oveq12d 7429 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5655oveq1d 7426 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
5745, 56eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
58 zmodcl 13858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
5958nn0zd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6059expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6160ralimdv 3169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6261com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6427, 63sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6564impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
66653adant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6717, 66jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
68 fsumzcl2 15687 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6968zred 12668 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7067, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7170ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7235anim1i 615 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
7372ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
74 zmodcl 13858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
7675nn0red 12535 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
77763adant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7877ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7940ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80 modaddabs 13876 . . . . . . 7 ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
8171, 78, 79, 80syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
8260ralimdv 3169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
8382imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
84833adant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
8584ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
86 fsumsplitsnun 15703 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
8718, 22, 85, 86syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
88 csbov1g 7456 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
8921, 88mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
9089oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)))
9187, 90eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)))
9291eqcomd 2738 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
9392oveq1d 7426 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9481, 93eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9526, 57, 943eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9695exp31 420 . . 3 (𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
9716, 96sylbir 234 . 2 𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
9815, 97pm2.61i 182 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3046  wral 3061  Vcvv 3474  csb 3893  cun 3946  wss 3948  {csn 4628  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  cr 11111   + caddc 11115  cn 12214  0cn0 12474  cz 12560  +crp 12976   mod cmo 13836  Σcsu 15634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635
This theorem is referenced by:  modfsummod  15742
  Copyright terms: Public domain W3C validator