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Theorem modfsummods 15739
Description: Induction step for modfsummod 15740. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4812 . . 3 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
2 ssequn1 4181 . . . 4 ({𝑧} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴)
3 uncom 4154 . . . . . . . 8 ({𝑧} ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ {𝑧})
43eqeq1i 2738 . . . . . . 7 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴)
5 sumeq1 15635 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵)
65oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
7 sumeq1 15635 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
87oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
96, 8eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
109eqcoms 2741 . . . . . . 7 ((𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
114, 10sylbi 216 . . . . . 6 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1211biimpd 228 . . . . 5 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
1312a1d 25 . . . 4 (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
142, 13sylbi 216 . . 3 ({𝑧} ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
151, 14syl 17 . 2 (𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
16 df-nel 3048 . . 3 (𝑧𝐴 ↔ ¬ 𝑧𝐴)
17 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
1817ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
19 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧𝐴)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧𝐴)
21 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
2220, 21jctil 521 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴))
23 simplr3 1218 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
24 fsumsplitsnun 15701 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
2518, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
2625oveq1d 7424 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
27 ralunb 4192 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
28 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
2927, 28sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
30 fsumzcl2 15685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3129, 30sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
32313adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3332adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3433zred 12666 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
35 modfsummodslem1 15738 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
36353ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3736adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3837zred 12666 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
39 nnrp 12985 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
40393ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4140adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
42 modaddabs 13874 . . . . . . . . 9 ((Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
4334, 38, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁))
4443eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
4544adantr 482 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
46 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
4735zred 12666 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
48473ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
4948adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
5049, 41jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5150adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
52 modabs2 13870 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
5352eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5451, 53syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) = ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
5546, 54oveq12d 7427 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
5655oveq1d 7424 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
5745, 56eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
58 zmodcl 13856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
5958nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6059expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6160ralimdv 3170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6261com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6362adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6427, 63sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
6564impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
66653adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6717, 66jca 513 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
68 fsumzcl2 15685 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
6968zred 12666 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7067, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7170ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7235anim1i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
7372ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
74 zmodcl 13856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
7675nn0red 12533 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
77763adant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7877ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
7940ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80 modaddabs 13874 . . . . . . 7 ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
8171, 78, 79, 80syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
8260ralimdv 3170 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
8382imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
84833adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
86 fsumsplitsnun 15701 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
8718, 22, 85, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)))
88 csbov1g 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
8921, 88mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
9089oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + 𝑧 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)))
9187, 90eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)))
9291eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
9392oveq1d 7424 . . . . . 6 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9481, 93eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((𝑧 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9526, 57, 943eqtrd 2777 . . . 4 (((𝑧𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9695exp31 421 . . 3 (𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
9716, 96sylbir 234 . 2 𝑧𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
9815, 97pm2.61i 182 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3047  wral 3062  Vcvv 3475  csb 3894  cun 3947  wss 3949  {csn 4629  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  cr 11109   + caddc 11113  cn 12212  0cn0 12472  cz 12558  +crp 12974   mod cmo 13834  Σcsu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  modfsummod  15740
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