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Theorem modfsummods 15754

Description: Induction step for modfsummod 15755. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
modfsummods	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝑘,𝑁 𝑧,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑧) 𝐵(𝑧,𝑘) 𝑁(𝑧)

**Proof of Theorem modfsummods**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4724	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
2		ssequn1 4122	. . . 4 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴)
3		uncom 4095	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧} ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ {𝑧})
4	3	eqeq1i 2745	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴)
5		sumeq1 15649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵)
6	5	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁))
7		sumeq1 15649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
8	7	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
9	6, 8	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∪ {𝑧}) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
10	9	eqcoms 2748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝑧}) = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
11	4, 10	sylbi 218	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
12	11	biimpd 230	. . . . 5 ⊢ (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
13	12	a1d 25	. . . 4 ⊢ (({𝑧} ∪ 𝐴) = 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
14	2, 13	sylbi 218	. . 3 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
16		df-nel 3040	. . 3 ⊢ (𝑧 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)
17		simp1 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
18	17	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
19		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∉ 𝐴)
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑧 ∉ 𝐴)
21		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
22	20, 21	jctil 524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴))
23		simplr3 1224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
24		fsumsplitsnun 15715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
25	18, 22, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
26	25	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
27		ralunb 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ))
28		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
29	27, 28	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
30		fsumzcl2 15699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan2 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	3adant2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
34	33	zred 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
35		modfsummodslem1 15753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
38	37	zred 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
39		nnrp 12952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
40	39	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
41	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
42		modaddabs 13868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
43	34, 38, 41, 42	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁))
44	43	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
45	44	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
46		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
47	35	zred 12631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
48	47	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
50	49, 41	jca 516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺))
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺))
52		modabs2 13862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
53	52	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) = ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
54	51, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) = ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
55	46, 54	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))
56	55	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
57	45, 56	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑁) = (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁))
58		zmodcl 13848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
59	58	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
60	59	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
61	60	ralimdv 3154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
62	61	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
64	27, 63	sylbi 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
65	64	impcom 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
66	65	3adant1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
67	17, 66	jca 516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
68		fsumzcl2 15699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
69	68	zred 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
70	67, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
71	70	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
72	35	anim1i 621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
73	72	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
74		zmodcl 13848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
76	75	nn0red 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
77	76	3adant1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
78	77	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ)
79	40	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
80		modaddabs 13868	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
81	71, 78, 79, 80	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁))
82	60	ralimdv 3154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
83	82	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
84	83	3adant1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
85	84	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
86		fsumsplitsnun 15715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
87	18, 22, 85, 86	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)))
88		csbov1g 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
89	21, 88	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
90	89	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + ⦋𝑧 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)))
91	87, 90	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)))
92	91	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁))
93	92	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) + (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
94	81, 93	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (((Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) + ((⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
95	26, 57, 94	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∉ 𝐴 ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))
96	95	exp31 420	. . 3 ⊢ (𝑧 ∉ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
97	16, 96	sylbir 236	. 2 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁))))
98	15, 97	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 mod 𝑁) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) mod 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ∉ wnel 3039 ∀wral 3054 Vcvv 3432 ⦋csb 3838 ∪ cun 3888 ⊆ wss 3890 {csn 4562 (class class class)co 7363 Fincfn 8890 ℝcr 11035 + caddc 11039 ℕcn 12172 ℕ₀cn0 12435 ℤcz 12522 ℝ⁺crp 12940 mod cmo 13826 Σcsu 15646

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-rep 5206 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-inf2 9560 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113 ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-op 4569 df-uni 4846 df-int 4885 df-iun 4930 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-om 7814 df-1st 7938 df-2nd 7939 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-1o 8402 df-er 8640 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-sup 9352 df-inf 9353 df-oi 9422 df-card 9861 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-n0 12436 df-z 12523 df-uz 12787 df-rp 12941 df-fz 13460 df-fzo 13607 df-fl 13749 df-mod 13827 df-seq 13962 df-exp 14022 df-hash 14291 df-cj 15059 df-re 15060 df-im 15061 df-sqrt 15195 df-abs 15196 df-clim 15448 df-sum 15647

This theorem is referenced by: modfsummod 15755

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