MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvgcmpce Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvgcmpce 15760
Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmpce.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
cvgcmpce.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
cvgcmpce.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
cvgcmpce.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
cvgcmpce.5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
cvgcmpce.6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
cvgcmpce.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
cvgcmpce (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem cvgcmpce
Dummy variables π‘š 𝑗 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgcmpce.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 cvgcmpce.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
32, 1eleqtrdi 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 eluzel2 12823 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 cvgcmpce.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
71, 5, 6serf 13992 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺):π‘βŸΆβ„‚)
87ffvelcdmda 7076 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
9 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
109oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)) = (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
11 eqid 2724 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
12 ovex 7434 . . . . . . . 8 (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6988 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
1413adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
15 cvgcmpce.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
17 cvgcmpce.3 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1816, 17remulcld 11240 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1914, 18eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
20 2fveq3 6886 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
21 eqid 2724 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))
22 fvex 6894 . . . . . . . 8 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6988 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
2423adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
256abscld 15379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2715recnd 11238 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
28 cvgcmpce.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29 climdm 15494 . . . . . . . 8 (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)))
3028, 29sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)))
3117recnd 11238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
321, 5, 27, 30, 31, 14isermulc2 15600 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))) ⇝ (𝐢 Β· ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹))))
33 climrel 15432 . . . . . . 7 Rel ⇝
3433releldmi 5937 . . . . . 6 (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))) ⇝ (𝐢 Β· ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹))) β†’ seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
3532, 34syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
361uztrn2 12837 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
372, 36sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
386absge0d 15387 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
3938, 24breqtrrd 5166 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜))
4037, 39syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 0 ≀ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜))
41 cvgcmpce.7 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
4237, 23syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
4337, 13syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘˜)))
4441, 42, 433brtr4d 5170 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) ≀ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (𝐢 Β· (πΉβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜))
451, 2, 19, 26, 35, 40, 44cvgcmp 15758 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
461climcau 15613 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))) < π‘₯)
475, 45, 46syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))) < π‘₯)
481, 5, 26serfre 13993 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))):π‘βŸΆβ„)
4948ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))):π‘βŸΆβ„)
501uztrn2 12837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
5249, 51ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
53 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
5449, 53ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—) ∈ ℝ)
5552, 54resubcld 11638 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)) ∈ ℝ)
56 0red 11213 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 0 ∈ ℝ)
577ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ seq𝑀( + , 𝐺):π‘βŸΆβ„‚)
5857, 51ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
5957, 53ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
6058, 59subcld 11567 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
6160abscld 15379 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
6260absge0d 15387 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))))
63 fzfid 13934 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
64 difss 4123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗)) βŠ† (𝑀...𝑛)
65 ssfi 9168 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀...𝑛) ∈ Fin ∧ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗)) βŠ† (𝑀...𝑛)) β†’ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗)) ∈ Fin)
6663, 64, 65sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗)) ∈ Fin)
67 eldifi 4118 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛))
68 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ πœ‘)
69 elfzuz 13493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7069, 1eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
7168, 70, 6syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7267, 71sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7366, 72fsumabs 15743 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
74 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
7551, 1eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7674, 75, 71fsumser 15672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(πΊβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›))
77 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
7853, 1eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
79 elfzuz 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8079, 1eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
8168, 80, 6syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8277, 78, 81fsumser 15672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΊβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))
8376, 82oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΊβ€˜π‘˜)) = ((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—)))
84 fzfid 13934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
8584, 81fsumcl 15675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8666, 72fsumcl 15675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
87 disjdif 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀...𝑗) ∩ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))) = βˆ…
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝑀...𝑗) ∩ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))) = βˆ…)
89 undif2 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀...𝑗) βˆͺ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))) = ((𝑀...𝑗) βˆͺ (𝑀...𝑛))
90 fzss2 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝑀...𝑗) βŠ† (𝑀...𝑛))
9190ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑀...𝑗) βŠ† (𝑀...𝑛))
92 ssequn1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀...𝑗) βŠ† (𝑀...𝑛) ↔ ((𝑀...𝑗) βˆͺ (𝑀...𝑛)) = (𝑀...𝑛))
9391, 92sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝑀...𝑗) βˆͺ (𝑀...𝑛)) = (𝑀...𝑛))
9489, 93eqtr2id 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑀...𝑛) = ((𝑀...𝑗) βˆͺ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))))
9588, 94, 63, 71fsumsplit 15683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(πΊβ€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΊβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(πΊβ€˜π‘˜)))
9685, 86, 95mvrladdd 11623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(πΊβ€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΊβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(πΊβ€˜π‘˜))
9783, 96eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(πΊβ€˜π‘˜))
9897fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(πΊβ€˜π‘˜)))
9970adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
10099, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
101 abscl 15221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
102101recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
10371, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
104100, 75, 103fsumser 15672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) = (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›))
10580adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
106105, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š)))β€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
10781, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
108106, 78, 107fsumser 15672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) = (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))
109104, 108oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) = ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)))
11084, 107fsumcl 15675 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
11172, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
11266, 111fsumcl 15675 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
11388, 94, 63, 103fsumsplit 15683 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))))
114110, 112, 113mvrladdd 11623 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
115109, 114eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑀...𝑛) βˆ– (𝑀...𝑗))(absβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
11673, 98, 1153brtr4d 5170 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) ≀ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)))
11756, 61, 55, 62, 116letrd 11367 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 0 ≀ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)))
11855, 117absidd 15365 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))) = ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)))
119118breq1d 5148 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((absβ€˜((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))) < π‘₯ ↔ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)) < π‘₯))
120 rpre 12978 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
121120ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
122 lelttr 11300 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) ∈ ℝ ∧ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) ≀ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)) ∧ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) < π‘₯))
12361, 55, 121, 122syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) ≀ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)) ∧ ((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) < π‘₯))
124116, 123mpand 692 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—)) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) < π‘₯))
125119, 124sylbid 239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((absβ€˜((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) < π‘₯))
126125anassrs 467 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) < π‘₯))
127126ralimdva 3159 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) < π‘₯))
128127reximdva 3160 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) < π‘₯))
129128ralimdva 3159 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘š))))β€˜π‘—))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) < π‘₯))
13047, 129mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) βˆ’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘—))) < π‘₯)
131 seqex 13964 . . 3 seq𝑀( + , 𝐺) ∈ V
132131a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ∈ V)
1331, 8, 130, 132caucvg 15621 1 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8934  β„‚cc 11103  β„cr 11104  0cc0 11105   + caddc 11108   Β· cmul 11110   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  ...cfz 13480  seqcseq 13962  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  Ξ£csu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  abscvgcvg  15761  geomulcvg  15818  cvgrat  15825  radcnvlem1  26254  radcnvlem2  26255  dvradcnv  26262  abelthlem5  26277  abelthlem7  26280  logtayllem  26497  binomcxplemnn0  43563
  Copyright terms: Public domain W3C validator