Theorem findcard2s 9163

Description: Variation of findcard2 9162 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2s.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
findcard2s.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard2s.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
findcard2s.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard2s.5	⊢ 𝜓
findcard2s.6	⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
findcard2s	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦, 𝑧)   𝜒(𝑦, 𝑧)   𝜃(𝑦, 𝑧)   𝜏(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem findcard2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2s.1	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		findcard2s.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		findcard2s.3	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		findcard2s.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		findcard2s.5	. 2 ⊢ 𝜓
6		findcard2s.6	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
7	6	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (¬ 𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃)))
8		snssi 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → {𝑧} ⊆ 𝑦)
9		ssequn1 4135	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝑦 ↔ ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
10	8, 9	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
11		uncom 4108	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ∪ 𝑦) = (𝑦 ∪ {𝑧})
12	10, 11	eqtr3di 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}))
13		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	eqvinc 3606	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
15	12, 14	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
16	2	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜑))
17	16, 3	sylan9bb 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
18	17	exlimiv 1963	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
19	15, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜃))
20	19	biimpd 232	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃))
21	7, 20	pm2.61d2 183	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝜒 → 𝜃))
22	1, 2, 3, 4, 5, 21	findcard2 9162	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7866  df-en 8956  df-fin 8959

This theorem is used by:  findcard2d  9164  unfi  9168  ac6sfi  9257  fodomfi  9285  domunfican  9294  hashxplem  14500  hashmap  14502  hashbc  14520  hashf1lem2  14523  hashf1  14524  fsum2d  15859  fsumabs  15890  fsumrlim  15900  fsumo1  15901  fsumiun  15910  incexclem  15927  fprod2d  16072  coprmprod  16755  coprmproddvds  16757  gsum2dlem2  20102  ablfac1eulem  20205  gsumle  20276  mplcoe1  22257  mplcoe5  22260  coe1fzgsumd  22533  evl1gsumd  22586  mdetunilem9  22846  matunitlindflem1  22905  ptcmpfi  24043  tmdgsum  24325  fsumcn  25102  ovolfiniun  25733  volfiniun  25779  itgfsum  26059  dvmptfsum  26207  jensen  27226  gsumvsca1  33668  gsumvsca2  33669  finixpnum  38361  pwslnm  43937  fnchoice  45865  dvmptfprod  46775