Theorem findcard2s 9102

Description: Variation of findcard2 9101 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2s.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
findcard2s.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard2s.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
findcard2s.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard2s.5	⊢ 𝜓
findcard2s.6	⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
findcard2s	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2s.1	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		findcard2s.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		findcard2s.3	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		findcard2s.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		findcard2s.5	. 2 ⊢ 𝜓
6		findcard2s.6	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (¬ 𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃)))
8		snssi 4766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → {𝑧} ⊆ 𝑦)
9		ssequn1 4140	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝑦 ↔ ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
11		uncom 4112	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ∪ 𝑦) = (𝑦 ∪ {𝑧})
12	10, 11	eqtr3di 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}))
13		vex 3446	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	eqvinc 3605	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
15	12, 14	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
16	2	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜑))
17	16, 3	sylan9bb 509	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
18	17	exlimiv 1932	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜃))
20	19	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃))
21	7, 20	pm2.61d2 181	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝜒 → 𝜃))
22	1, 2, 3, 4, 5, 21	findcard2 9101	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  findcard2d  9103  unfi  9107  ac6sfi  9196  fodomfi  9224  domunfican  9234  fodomfiOLD  9242  hashxplem  14368  hashmap  14370  hashbc  14388  hashf1lem2  14391  hashf1  14392  fsum2d  15706  fsumabs  15736  fsumrlim  15746  fsumo1  15747  fsumiun  15756  incexclem  15771  fprod2d  15916  coprmprod  16600  coprmproddvds  16602  gsum2dlem2  19912  ablfac1eulem  20015  gsumle  20086  mplcoe1  22004  mplcoe5  22007  coe1fzgsumd  22260  evl1gsumd  22313  mdetunilem9  22576  ptcmpfi  23769  tmdgsum  24051  fsumcn  24829  ovolfiniun  25470  volfiniun  25516  itgfsum  25796  dvmptfsum  25947  jensen  26967  gsumvsca1  33319  gsumvsca2  33320  finixpnum  37845  matunitlindflem1  37856  pwslnm  43440  fnchoice  45378  dvmptfprod  46292