MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  findcard2s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem findcard2s 9112
Description: Variation of findcard2 9111 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2s.1 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
findcard2s.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
findcard2s.3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑𝜃))
findcard2s.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
findcard2s.5 𝜓
findcard2s.6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
findcard2s (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2s
StepHypRef Expression
1 findcard2s.1 . 2 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
2 findcard2s.2 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
3 findcard2s.3 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑𝜃))
4 findcard2s.4 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
5 findcard2s.5 . 2 𝜓
6 findcard2s.6 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝜒𝜃))
76ex 414 . . 3 (𝑦 ∈ Fin → (¬ 𝑧𝑦 → (𝜒𝜃)))
8 snssi 4769 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 → {𝑧} ⊆ 𝑦)
9 ssequn1 4141 . . . . . . . 8 ({𝑧} ⊆ 𝑦 ↔ ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
108, 9sylib 217 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 → ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
11 uncom 4114 . . . . . . 7 ({𝑧} ∪ 𝑦) = (𝑦 ∪ {𝑧})
1210, 11eqtr3di 2788 . . . . . 6 (𝑧𝑦𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}))
13 vex 3448 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1413eqvinc 3600 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝑦𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
1512, 14sylib 217 . . . . 5 (𝑧𝑦 → ∃𝑥(𝑥 = 𝑦𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
162bicomd 222 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝜒𝜑))
1716, 3sylan9bb 511 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑦𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒𝜃))
1817exlimiv 1934 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥 = 𝑦𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒𝜃))
1915, 18syl 17 . . . 4 (𝑧𝑦 → (𝜒𝜃))
2019biimpd 228 . . 3 (𝑧𝑦 → (𝜒𝜃))
217, 20pm2.61d2 181 . 2 (𝑦 ∈ Fin → (𝜒𝜃))
221, 2, 3, 4, 5, 21findcard2 9111 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  cun 3909  wss 3911  c0 4283  {csn 4587  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-en 8887  df-fin 8890
This theorem is referenced by:  findcard2d  9113  unfi  9119  ac6sfi  9234  domunfican  9267  fodomfi  9272  hashxplem  14339  hashmap  14341  hashbc  14356  hashf1lem2  14361  hashf1  14362  fsum2d  15661  fsumabs  15691  fsumrlim  15701  fsumo1  15702  fsumiun  15711  incexclem  15726  fprod2d  15869  coprmprod  16542  coprmproddvds  16544  gsum2dlem2  19753  ablfac1eulem  19856  mplcoe1  21454  mplcoe5  21457  coe1fzgsumd  21689  evl1gsumd  21739  mdetunilem9  21985  ptcmpfi  23180  tmdgsum  23462  fsumcn  24249  ovolfiniun  24881  volfiniun  24927  itgfsum  25207  dvmptfsum  25355  jensen  26354  gsumle  31981  gsumvsca1  32110  gsumvsca2  32111  finixpnum  36109  matunitlindflem1  36120  pwslnm  41464  fnchoice  43322  dvmptfprod  44272
  Copyright terms: Public domain W3C validator