Theorem findcard2s 8948

Description: Variation of findcard2 8947 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2s.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
findcard2s.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard2s.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
findcard2s.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard2s.5	⊢ 𝜓
findcard2s.6	⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
findcard2s	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2s.1	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		findcard2s.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		findcard2s.3	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		findcard2s.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		findcard2s.5	. 2 ⊢ 𝜓
6		findcard2s.6	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
7	6	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (¬ 𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃)))
8		snssi 4741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → {𝑧} ⊆ 𝑦)
9		ssequn1 4114	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝑦 ↔ ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
10	8, 9	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
11		uncom 4087	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ∪ 𝑦) = (𝑦 ∪ {𝑧})
12	10, 11	eqtr3di 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}))
13		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	eqvinc 3579	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
15	12, 14	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
16	2	bicomd 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜑))
17	16, 3	sylan9bb 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
18	17	exlimiv 1933	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜃))
20	19	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃))
21	7, 20	pm2.61d2 181	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝜒 → 𝜃))
22	1, 2, 3, 4, 5, 21	findcard2 8947	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  Fincfn 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-en 8734  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  findcard2d  8949  unfi  8955  ac6sfi  9058  domunfican  9087  fodomfi  9092  hashxplem  14148  hashmap  14150  hashbc  14165  hashf1lem2  14170  hashf1  14171  fsum2d  15483  fsumabs  15513  fsumrlim  15523  fsumo1  15524  fsumiun  15533  incexclem  15548  fprod2d  15691  coprmprod  16366  coprmproddvds  16368  gsum2dlem2  19572  ablfac1eulem  19675  mplcoe1  21238  mplcoe5  21241  coe1fzgsumd  21473  evl1gsumd  21523  mdetunilem9  21769  ptcmpfi  22964  tmdgsum  23246  fsumcn  24033  ovolfiniun  24665  volfiniun  24711  itgfsum  24991  dvmptfsum  25139  jensen  26138  gsumle  31350  gsumvsca1  31479  gsumvsca2  31480  finixpnum  35762  matunitlindflem1  35773  pwslnm  40919  fnchoice  42572  dvmptfprod  43486