Theorem findcard2s 9138

Description: Variation of findcard2 9137 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2s.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
findcard2s.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard2s.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
findcard2s.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard2s.5	⊢ 𝜓
findcard2s.6	⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
findcard2s	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2s.1	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		findcard2s.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		findcard2s.3	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		findcard2s.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		findcard2s.5	. 2 ⊢ 𝜓
6		findcard2s.6	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
7	6	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (¬ 𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃)))
8		snssi 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → {𝑧} ⊆ 𝑦)
9		ssequn1 4141	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝑦 ↔ ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
10	8, 9	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
11		uncom 4114	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ∪ 𝑦) = (𝑦 ∪ {𝑧})
12	10, 11	eqtr3di 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}))
13		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	eqvinc 3611	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
15	12, 14	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
16	2	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜑))
17	16, 3	sylan9bb 518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
18	17	exlimiv 1953	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
19	15, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜃))
20	19	biimpd 232	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃))
21	7, 20	pm2.61d2 183	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝜒 → 𝜃))
22	1, 2, 3, 4, 5, 21	findcard2 9137	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585  Fincfn 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-en 8932  df-fin 8935

This theorem is referenced by:  findcard2d  9139  unfi  9143  ac6sfi  9232  fodomfi  9260  domunfican  9269  hashxplem  14460  hashmap  14462  hashbc  14480  hashf1lem2  14483  hashf1  14484  fsum2d  15812  fsumabs  15843  fsumrlim  15853  fsumo1  15854  fsumiun  15863  incexclem  15880  fprod2d  16025  coprmprod  16709  coprmproddvds  16711  gsum2dlem2  20032  ablfac1eulem  20135  gsumle  20206  mplcoe1  22148  mplcoe5  22151  coe1fzgsumd  22425  evl1gsumd  22478  mdetunilem9  22738  ptcmpfi  23931  tmdgsum  24213  fsumcn  24990  ovolfiniun  25621  volfiniun  25667  itgfsum  25947  dvmptfsum  26095  jensen  27111  gsumvsca1  33459  gsumvsca2  33460  finixpnum  38116  matunitlindflem1  38127  pwslnm  43683  fnchoice  45607  dvmptfprod  46517