Theorem findcard2s 8930

Description: Variation of findcard2 8929 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2s.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
findcard2s.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard2s.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
findcard2s.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard2s.5	⊢ 𝜓
findcard2s.6	⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
findcard2s	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2s.1	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		findcard2s.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		findcard2s.3	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		findcard2s.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		findcard2s.5	. 2 ⊢ 𝜓
6		findcard2s.6	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝜒 → 𝜃))
7	6	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (¬ 𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃)))
8		snssi 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → {𝑧} ⊆ 𝑦)
9		ssequn1 4119	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝑦 ↔ ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
10	8, 9	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
11		uncom 4092	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ∪ 𝑦) = (𝑦 ∪ {𝑧})
12	10, 11	eqtr3di 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}))
13		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
14	13	eqvinc 3580	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
15	12, 14	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
16	2	bicomd 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜑))
17	16, 3	sylan9bb 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
18	17	exlimiv 1937	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒 ↔ 𝜃))
19	15, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 ↔ 𝜃))
20	19	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝜒 → 𝜃))
21	7, 20	pm2.61d2 181	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝜒 → 𝜃))
22	1, 2, 3, 4, 5, 21	findcard2 8929	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3890   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  {csn 4567  Fincfn 8716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7582

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-om 7707  df-en 8717  df-fin 8720

This theorem is referenced by:  findcard2d  8931  unfi  8937  ac6sfi  9036  domunfican  9065  fodomfi  9070  hashxplem  14146  hashmap  14148  hashbc  14163  hashf1lem2  14168  hashf1  14169  fsum2d  15481  fsumabs  15511  fsumrlim  15521  fsumo1  15522  fsumiun  15531  incexclem  15546  fprod2d  15689  coprmprod  16364  coprmproddvds  16366  gsum2dlem2  19570  ablfac1eulem  19673  mplcoe1  21236  mplcoe5  21239  coe1fzgsumd  21471  evl1gsumd  21521  mdetunilem9  21767  ptcmpfi  22962  tmdgsum  23244  fsumcn  24031  ovolfiniun  24663  volfiniun  24709  itgfsum  24989  dvmptfsum  25137  jensen  26136  gsumle  31346  gsumvsca1  31475  gsumvsca2  31476  finixpnum  35758  matunitlindflem1  35769  pwslnm  40916  fnchoice  42542  dvmptfprod  43457