Theorem stoweidlem12 46120

Description: Lemma for stoweid 46171. This Lemma is used by other three Lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem12.1	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem12.2	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem12.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem12.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
2		1red 11113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
3		stoweidlem12.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
5		stoweidlem12.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	reexpcld 14070	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
8	2, 7	resubcld 11545	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
9		stoweidlem12.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9, 5	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
12		nn0expcl 13982	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
14	8, 13	reexpcld 14070	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
15		stoweidlem12.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
16	15	fvmpt2 6940	. 2 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
17	1, 14, 16	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  stoweidlem24  46132  stoweidlem25  46133  stoweidlem45  46153