Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem12 44154
Description: Lemma for stoweid 44205. This Lemma is used by other three Lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem12.1 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
stoweidlem12.2 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem12.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
stoweidlem12.4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
Distinct variable group:   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem12
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . 2 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
2 1red 11114 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
3 stoweidlem12.2 . . . . . 6 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
43ffvelcdmda 7031 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
5 stoweidlem12.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
74, 6reexpcld 14022 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
82, 7resubcld 11541 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
9 stoweidlem12.4 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
109, 5jca 512 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
12 nn0expcl 13935 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
148, 13reexpcld 14022 . 2 ((𝜑𝑡𝑇) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
15 stoweidlem12.1 . . 3 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
1615fvmpt2 6956 . 2 ((𝑡𝑇 ∧ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
171, 14, 16syl2anc 584 1 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cmpt 5186  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cr 11008  1c1 11010  cmin 11343  0cn0 12371  cexp 13921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-seq 13861  df-exp 13922
This theorem is referenced by:  stoweidlem24  44166  stoweidlem25  44167  stoweidlem45  44187
  Copyright terms: Public domain W3C validator