Theorem stoweidlem25 43821

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) < ε, for all 𝑡 in 𝑇 ∖ 𝑈: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent n in the paper, 𝐾 to represent k, 𝐷 to represent δ, 𝑃 to represent p, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem25.1	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem25.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem25.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem25.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.6	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem25.7	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
stoweidlem25.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
stoweidlem25.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.11	⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem25	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4071	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑡 ∈ 𝑇)
2		stoweidlem25.1	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
3		stoweidlem25.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
4		stoweidlem25.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		stoweidlem25.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	2, 3, 5, 7	stoweidlem12 43808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
9		1red 11055	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
10	3	ffvelcdmda 7000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
11	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	10, 11	reexpcld 13960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
13	9, 12	resubcld 11482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
14	6, 5	nnexpcld 14039	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
17	13, 16	reexpcld 13960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
18	8, 17	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
19	1, 18	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
20	6	nnred 12067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
21		stoweidlem25.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
24	23, 5	reexpcld 13960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
25	6	nncnd 12068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
26	6	nnne0d 12102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
27	21	rpcnne0d 12860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28		mulne0 11696	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
29	25, 26, 27, 28	syl21anc 835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
30	21	rpcnd 12853	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	25, 30	mulcld 11074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
32		expne0 13893	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
33	31, 4, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
34	29, 33	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
35	24, 34	rereccld 11881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
37		stoweidlem25.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
38	37	rpred 12851	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
39	38	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℝ)
40	1, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
41	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐾 ∈ ℕ)
43	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
44	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
45	1	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
46	44, 45	ffvelcdmd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
47		0red 11057	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ∈ ℝ)
48	22	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	21	rpgt0d 12854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
50	49	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < 𝐷)
51		stoweidlem25.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
52	51	r19.21bi 3230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
53	47, 48, 46, 50, 52	ltletrd 11214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < (𝑃‘𝑡))
54	46, 53	elrpd 12848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ+)
55		stoweidlem25.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
56	55	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
57		rsp 3226	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1)))
58	56, 45, 57	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
59	58	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
60	58	simprd 496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
61	41, 42, 43, 54, 59, 60, 52	stoweidlem1 43797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
62	40, 61	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
63		stoweidlem25.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
64	63	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
65	19, 36, 39, 62, 64	lelttrd 11212	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∖ cdif 3893   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5169  ⟶wf 6461  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  ℂcc 10948  ℝcr 10949  0cc0 10950  1c1 10951   · cmul 10955   < clt 11088   ≤ cle 11089   − cmin 11284   / cdiv 11711  ℕcn 12052  ℕ₀cn0 12312  ℝ⁺crp 12809  ↑cexp 13861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-seq 13801  df-exp 13862

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  43841