Theorem stoweidlem25 46290

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) < ε, for all 𝑡 in 𝑇 ∖ 𝑈: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent n in the paper, 𝐾 to represent k, 𝐷 to represent δ, 𝑃 to represent p, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem25.1	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem25.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem25.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem25.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.6	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem25.7	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
stoweidlem25.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
stoweidlem25.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.11	⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem25	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4083	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑡 ∈ 𝑇)
2		stoweidlem25.1	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
3		stoweidlem25.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
4		stoweidlem25.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		stoweidlem25.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	2, 3, 5, 7	stoweidlem12 46277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
9		1red 11135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
10	3	ffvelcdmda 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
11	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	10, 11	reexpcld 14088	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
13	9, 12	resubcld 11567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
14	6, 5	nnexpcld 14170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
17	13, 16	reexpcld 14088	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
18	8, 17	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
19	1, 18	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
20	6	nnred 12162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
21		stoweidlem25.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
24	23, 5	reexpcld 14088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
25	6	nncnd 12163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
26	6	nnne0d 12197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
27	21	rpcnne0d 12960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28		mulne0 11781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
29	25, 26, 27, 28	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
30	21	rpcnd 12953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	25, 30	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
32		expne0 14018	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
33	31, 4, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
34	29, 33	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
35	24, 34	rereccld 11970	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
37		stoweidlem25.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
38	37	rpred 12951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℝ)
40	1, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
41	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐾 ∈ ℕ)
43	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
44	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
45	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
46	44, 45	ffvelcdmd 7030	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
47		0red 11137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ∈ ℝ)
48	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	21	rpgt0d 12954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < 𝐷)
51		stoweidlem25.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
52	51	r19.21bi 3228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
53	47, 48, 46, 50, 52	ltletrd 11295	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < (𝑃‘𝑡))
54	46, 53	elrpd 12948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ+)
55		stoweidlem25.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
56	55	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
57		rsp 3224	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1)))
58	56, 45, 57	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
59	58	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
60	58	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
61	41, 42, 43, 54, 59, 60, 52	stoweidlem1 46266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
62	40, 61	eqbrtrd 5120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
63		stoweidlem25.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
64	63	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
65	19, 36, 39, 62, 64	lelttrd 11293	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℝ⁺crp 12907  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  46310