Theorem stoweidlem25 46040

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) < ε, for all 𝑡 in 𝑇 ∖ 𝑈: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent n in the paper, 𝐾 to represent k, 𝐷 to represent δ, 𝑃 to represent p, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem25.1	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem25.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem25.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem25.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.6	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem25.7	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
stoweidlem25.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
stoweidlem25.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.11	⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem25	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4131	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑡 ∈ 𝑇)
2		stoweidlem25.1	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
3		stoweidlem25.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
4		stoweidlem25.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		stoweidlem25.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	2, 3, 5, 7	stoweidlem12 46027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
9		1red 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
10	3	ffvelcdmda 7104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
11	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	10, 11	reexpcld 14203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
13	9, 12	resubcld 11691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
14	6, 5	nnexpcld 14284	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
17	13, 16	reexpcld 14203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
18	8, 17	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
19	1, 18	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
20	6	nnred 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
21		stoweidlem25.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
24	23, 5	reexpcld 14203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
25	6	nncnd 12282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
26	6	nnne0d 12316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
27	21	rpcnne0d 13086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28		mulne0 11905	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
29	25, 26, 27, 28	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
30	21	rpcnd 13079	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	25, 30	mulcld 11281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
32		expne0 14134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
33	31, 4, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
34	29, 33	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
35	24, 34	rereccld 12094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
37		stoweidlem25.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
38	37	rpred 13077	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℝ)
40	1, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
41	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐾 ∈ ℕ)
43	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
44	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
45	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
46	44, 45	ffvelcdmd 7105	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
47		0red 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ∈ ℝ)
48	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	21	rpgt0d 13080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < 𝐷)
51		stoweidlem25.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
52	51	r19.21bi 3251	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
53	47, 48, 46, 50, 52	ltletrd 11421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < (𝑃‘𝑡))
54	46, 53	elrpd 13074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ+)
55		stoweidlem25.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
56	55	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
57		rsp 3247	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1)))
58	56, 45, 57	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
59	58	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
60	58	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
61	41, 42, 43, 54, 59, 60, 52	stoweidlem1 46016	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
62	40, 61	eqbrtrd 5165	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
63		stoweidlem25.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
64	63	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
65	19, 36, 39, 62, 64	lelttrd 11419	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  46060