Theorem stoweidlem25 43456

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) < ε, for all 𝑡 in 𝑇 ∖ 𝑈: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent n in the paper, 𝐾 to represent k, 𝐷 to represent δ, 𝑃 to represent p, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem25.1	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem25.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem25.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem25.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.6	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem25.7	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
stoweidlem25.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
stoweidlem25.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.11	⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem25	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4057	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑡 ∈ 𝑇)
2		stoweidlem25.1	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
3		stoweidlem25.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
4		stoweidlem25.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		stoweidlem25.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	2, 3, 5, 7	stoweidlem12 43443	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
9		1red 10907	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
10	3	ffvelrnda 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
11	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	10, 11	reexpcld 13809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
13	9, 12	resubcld 11333	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
14	6, 5	nnexpcld 13888	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
17	13, 16	reexpcld 13809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
18	8, 17	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
19	1, 18	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
20	6	nnred 11918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
21		stoweidlem25.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
24	23, 5	reexpcld 13809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
25	6	nncnd 11919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
26	6	nnne0d 11953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
27	21	rpcnne0d 12710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28		mulne0 11547	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
29	25, 26, 27, 28	syl21anc 834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
30	21	rpcnd 12703	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	25, 30	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
32		expne0 13742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
33	31, 4, 32	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
34	29, 33	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
35	24, 34	rereccld 11732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
37		stoweidlem25.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
38	37	rpred 12701	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℝ)
40	1, 8	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
41	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐾 ∈ ℕ)
43	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
44	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
45	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
46	44, 45	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
47		0red 10909	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ∈ ℝ)
48	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	21	rpgt0d 12704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < 𝐷)
51		stoweidlem25.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
52	51	r19.21bi 3132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
53	47, 48, 46, 50, 52	ltletrd 11065	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < (𝑃‘𝑡))
54	46, 53	elrpd 12698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ+)
55		stoweidlem25.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
56	55	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
57		rsp 3129	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1)))
58	56, 45, 57	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
59	58	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
60	58	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
61	41, 42, 43, 54, 59, 60, 52	stoweidlem1 43432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
62	40, 61	eqbrtrd 5092	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
63		stoweidlem25.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
64	63	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
65	19, 36, 39, 62, 64	lelttrd 11063	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  43476