Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem25 42620
Description: This lemma proves that for n sufficiently large, qn( t ) < ε, for all 𝑡 in 𝑇𝑈: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91). 𝑄 is used to represent qn in the paper, 𝑁 to represent n in the paper, 𝐾 to represent k, 𝐷 to represent δ, 𝑃 to represent p, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem25.1 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
stoweidlem25.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem25.3 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem25.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.6 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem25.7 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
stoweidlem25.8 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
stoweidlem25.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.11 (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem25 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) < 𝐸)
Distinct variable group:   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem25
StepHypRef Expression
1 eldifi 4089 . . 3 (𝑡 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑡𝑇)
2 stoweidlem25.1 . . . . 5 𝑄 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
3 stoweidlem25.6 . . . . 5 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
4 stoweidlem25.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11954 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 stoweidlem25.3 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11954 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
82, 3, 5, 7stoweidlem12 42607 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
9 1red 10642 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
103ffvelrnda 6844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
115adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1210, 11reexpcld 13534 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑃𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
139, 12resubcld 11068 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
146, 5nnexpcld 13613 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℕ)
1514nnnn0d 11954 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
1615adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
1713, 16reexpcld 13534 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
188, 17eqeltrd 2916 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑄𝑡) ∈ ℝ)
191, 18sylan2 595 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) ∈ ℝ)
206nnred 11651 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
21 stoweidlem25.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
2221rpred 12430 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 10671 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
2423, 5reexpcld 13534 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
256nncnd 11652 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
266nnne0d 11686 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ≠ 0)
2721rpcnne0d 12439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28 mulne0 11282 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
2925, 26, 27, 28syl21anc 836 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
3021rpcnd 12432 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3125, 30mulcld 10661 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
32 expne0 13467 . . . . . 6 (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
3331, 4, 32syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
3429, 33mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
3524, 34rereccld 11467 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
3635adantr 484 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
37 stoweidlem25.9 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3837rpred 12430 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
3938adantr 484 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐸 ∈ ℝ)
401, 8sylan2 595 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) = ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)))
414adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
426adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐾 ∈ ℕ)
4321adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
443adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
451adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑡𝑇)
4644, 45ffvelrnd 6845 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
47 0red 10644 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 ∈ ℝ)
4822adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4921rpgt0d 12433 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐷)
5049adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < 𝐷)
51 stoweidlem25.8 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
5251r19.21bi 3203 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
5347, 48, 46, 50, 52ltletrd 10800 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 < (𝑃𝑡))
5446, 53elrpd 12427 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ+)
55 stoweidlem25.7 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
5655adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
57 rsp 3200 . . . . . 6 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1) → (𝑡𝑇 → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1)))
5856, 45, 57sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (0 ≤ (𝑃𝑡) ∧ (𝑃𝑡) ≤ 1))
5958simpld 498 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → 0 ≤ (𝑃𝑡))
6058simprd 499 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑃𝑡) ≤ 1)
6141, 42, 43, 54, 59, 60, 52stoweidlem1 42596 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → ((1 − ((𝑃𝑡)↑𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
6240, 61eqbrtrd 5075 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
63 stoweidlem25.11 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
6463adantr 484 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
6519, 36, 39, 62, 64lelttrd 10798 1 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇𝑈)) → (𝑄𝑡) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  cdif 3916   class class class wbr 5053  cmpt 5133  wf 6341  cfv 6345  (class class class)co 7151  cc 10535  cr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675  cle 10676  cmin 10870   / cdiv 11297  cn 11636  0cn0 11896  +crp 12388  cexp 13436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13376  df-exp 13437
This theorem is referenced by:  stoweidlem45  42640
  Copyright terms: Public domain W3C validator