Theorem stoweidlem25 46600

Description: This lemma proves that for n sufficiently large, q_n( t ) < ε, for all 𝑡 in 𝑇 ∖ 𝑈: see Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91). 𝑄 is used to represent q_n in the paper, 𝑁 to represent n in the paper, 𝐾 to represent k, 𝐷 to represent δ, 𝑃 to represent p, and 𝐸 to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem25.1	⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
stoweidlem25.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem25.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem25.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.6	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem25.7	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
stoweidlem25.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
stoweidlem25.9	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem25.11	⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem25	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Distinct variable group:   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐸(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑁(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4085	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑡 ∈ 𝑇)
2		stoweidlem25.1	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
3		stoweidlem25.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
4		stoweidlem25.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 12543	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		stoweidlem25.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12543	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	2, 3, 5, 7	stoweidlem12 46587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
9		1red 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
10	3	ffvelcdmda 7066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
11	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	10, 11	reexpcld 14177	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑃‘𝑡)↑𝑁) ∈ ℝ)
13	9, 12	resubcld 11616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁)) ∈ ℝ)
14	6, 5	nnexpcld 14259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12543	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
17	13, 16	reexpcld 14177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
18	8, 17	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
19	1, 18	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ∈ ℝ)
20	6	nnred 12226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
21		stoweidlem25.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
24	23, 5	reexpcld 14177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
25	6	nncnd 12227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
26	6	nnne0d 12264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
27	21	rpcnne0d 13047	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28		mulne0 11830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
29	25, 26, 27, 28	syl21anc 848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
30	21	rpcnd 13040	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
31	25, 30	mulcld 11203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
32		expne0 14107	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
33	31, 4, 32	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
34	29, 33	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
35	24, 34	rereccld 12019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
36	35	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
37		stoweidlem25.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
38	37	rpred 13038	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
39	38	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐸 ∈ ℝ)
40	1, 8	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) = ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
41	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐾 ∈ ℕ)
43	21	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
44	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
45	1	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
46	44, 45	ffvelcdmd 7067	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ)
47		0red 11185	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ∈ ℝ)
48	22	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	21	rpgt0d 13041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
50	49	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < 𝐷)
51		stoweidlem25.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
52	51	r19.21bi 3255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
53	47, 48, 46, 50, 52	ltletrd 11344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 < (𝑃‘𝑡))
54	46, 53	elrpd 13035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ∈ ℝ+)
55		stoweidlem25.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
56	55	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
57		rsp 3251	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1)))
58	56, 45, 57	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
59	58	simpld 498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 0 ≤ (𝑃‘𝑡))
60	58	simprd 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑃‘𝑡) ≤ 1)
61	41, 42, 43, 54, 59, 60, 52	stoweidlem1 46576	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
62	40, 61	eqbrtrd 5123	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
63		stoweidlem25.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
64	63	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) < 𝐸)
65	19, 36, 39, 62, 64	lelttrd 11342	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → (𝑄‘𝑡) < 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077   ∖ cdif 3902   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   · cmul 11079   < clt 11217   ≤ cle 11218   − cmin 11415   / cdiv 11845  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12482  ℝ⁺crp 12994  ↑cexp 14075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-seq 14016  df-exp 14076

This theorem is referenced by:  stoweidlem45  46620