Theorem structfn 17173

Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
structfn.1	⊢ 𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩

Assertion

Ref	Expression
structfn	⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁))

Proof of Theorem structfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structfn.1	. . 3 ⊢ 𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩
2	1	structfun 17172	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝐹
3		isstruct 17169	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)))
4	1, 3	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁))
5	4	simp3i 1141	. . 3 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (𝑀...𝑁)
6	4	simp1i 1139	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)
7	6	simp1i 1139	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
8		elnnuz 12894	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
9	7, 8	mpbi 230	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1)
10		fzss1 13578	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑀...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
12	5, 11	sstri 3968	. 2 ⊢ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁)
13	2, 12	pm3.2i 470	1 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝑁))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  Fun wfun 6524  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1c1 11128   ≤ cle 11268  ℕcn 12238  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13522   Struct cstr 17163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164

This theorem is referenced by: (None)