Theorem uhgr0edgfi 29329

Description: A graph of order 0 (i.e. with 0 vertices) has a finite set of edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 10-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0edgfi	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 0) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)

Proof of Theorem uhgr0edgfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	uhgr0vsize0 29328	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 0) → (♯‘(Edg‘𝐺)) = 0)
4		fvex 6843	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) ∈ V
5		hasheq0 14320	. . . 4 ⊢ ((Edg‘𝐺) ∈ V → ((♯‘(Edg‘𝐺)) = 0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘(Edg‘𝐺)) = 0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
7		0fi 8983	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
8		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
9	7, 8	mpbiri 260	. . 3 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
10	6, 9	sylbi 219	. 2 ⊢ ((♯‘(Edg‘𝐺)) = 0 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
11	3, 10	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 0) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∅c0 4263  ‘cfv 6488  Fincfn 8887  0cc0 11034  ♯chash 14287  Vtxcvtx 29085  Edgcedg 29136  UHGraphcuhgr 29145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-edg 29137  df-uhgr 29147

This theorem is referenced by: (None)