MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgr0vsize0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgr0vsize0 28016
Description: The size of a hypergraph with no vertices (the null graph) is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 7-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgr0v0e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgr0v0e.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uhgr0vsize0 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (♯‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem uhgr0vsize0
StepHypRef Expression
1 uhgr0v0e.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 uhgr0v0e.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2uhgr0v0e 28015 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = ∅) → 𝐸 = ∅)
43ex 413 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑉 = ∅ → 𝐸 = ∅))
51fvexi 6853 . . . 4 𝑉 ∈ V
6 hasheq0 14217 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅)
82fvexi 6853 . . . 4 𝐸 ∈ V
9 hasheq0 14217 . . . 4 (𝐸 ∈ V → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅)
114, 7, 103imtr4g 295 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → ((♯‘𝑉) = 0 → (♯‘𝐸) = 0))
1211imp 407 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (♯‘𝐸) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  c0 4280  cfv 6493  0cc0 11009  chash 14184  Vtxcvtx 27776  Edgcedg 27827  UHGraphcuhgr 27836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-hash 14185  df-edg 27828  df-uhgr 27838
This theorem is referenced by:  uhgr0edgfi  28017  cusgrsizeindb0  28226
  Copyright terms: Public domain W3C validator