MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgr0vsize0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgr0vsize0 26740
Description: The size of a hypergraph with no vertices (the null graph) is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 7-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgr0v0e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgr0v0e.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uhgr0vsize0 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (♯‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem uhgr0vsize0
StepHypRef Expression
1 uhgr0v0e.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 uhgr0v0e.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2uhgr0v0e 26739 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = ∅) → 𝐸 = ∅)
43ex 405 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑉 = ∅ → 𝐸 = ∅))
51fvexi 6511 . . . 4 𝑉 ∈ V
6 hasheq0 13538 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅)
82fvexi 6511 . . . 4 𝐸 ∈ V
9 hasheq0 13538 . . . 4 (𝐸 ∈ V → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅)
114, 7, 103imtr4g 288 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → ((♯‘𝑉) = 0 → (♯‘𝐸) = 0))
1211imp 398 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (♯‘𝐸) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3410  c0 4173  cfv 6186  0cc0 10334  chash 13504  Vtxcvtx 26500  Edgcedg 26551  UHGraphcuhgr 26560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-hash 13505  df-edg 26552  df-uhgr 26562
This theorem is referenced by:  uhgr0edgfi  26741  cusgrsizeindb0  26950
  Copyright terms: Public domain W3C validator