Theorem uhgr0vsize0 29498

Description: The size of a hypergraph with no vertices (the null graph) is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 7-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgr0v0e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgr0v0e.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0vsize0	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (♯‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem uhgr0vsize0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgr0v0e.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uhgr0v0e.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	uhgr0v0e 29497	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 = ∅) → 𝐸 = ∅)
4	3	ex 417	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑉 = ∅ → 𝐸 = ∅))
5	1	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		hasheq0 14390	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅)
8	2	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
9		hasheq0 14390	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅)
11	4, 7, 10	3imtr4g 299	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((♯‘𝑉) = 0 → (♯‘𝐸) = 0))
12	11	imp 411	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 0) → (♯‘𝐸) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ‘cfv 6525  0cc0 11088  ♯chash 14357  Vtxcvtx 29255  Edgcedg 29306  UHGraphcuhgr 29315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-hash 14358  df-edg 29307  df-uhgr 29317

This theorem is referenced by:  uhgr0edgfi  29499  cusgrsizeindb0  29708