MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrun 29021
Description: The union 𝑈 of two simple graphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph (not necessarily a simple graph!) with the vertex 𝑉 and the union (𝐸𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 29-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrun.g (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
usgrun.h (𝜑𝐻 ∈ USGraph)
usgrun.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgrun.f 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
usgrun.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgrun.vh (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
usgrun.i (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
usgrun.u (𝜑𝑈𝑊)
usgrun.v (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
usgrun.un (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
Assertion
Ref Expression
usgrun (𝜑𝑈 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem usgrun
StepHypRef Expression
1 usgrun.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
2 usgrumgr 29012 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
4 usgrun.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ USGraph)
5 usgrumgr 29012 . . 3 (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ UMGraph)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐻 ∈ UMGraph)
7 usgrun.e . 2 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
8 usgrun.f . 2 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9 usgrun.vg . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10 usgrun.vh . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
11 usgrun.i . 2 (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
12 usgrun.u . 2 (𝜑𝑈𝑊)
13 usgrun.v . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
14 usgrun.un . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
153, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14umgrun 28951 1 (𝜑𝑈 ∈ UMGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3945  cin 3946  c0 4324  dom cdm 5680  cfv 6551  Vtxcvtx 28827  iEdgciedg 28828  UMGraphcumgr 28912  USGraphcusgr 28980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-hash 14328  df-umgr 28914  df-usgr 28982
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator