MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrun 27132
Description: The union 𝑈 of two simple graphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph (not necessarily a simple graph!) with the vertex 𝑉 and the union (𝐸𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 29-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrun.g (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
usgrun.h (𝜑𝐻 ∈ USGraph)
usgrun.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgrun.f 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
usgrun.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgrun.vh (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
usgrun.i (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
usgrun.u (𝜑𝑈𝑊)
usgrun.v (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
usgrun.un (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
Assertion
Ref Expression
usgrun (𝜑𝑈 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem usgrun
StepHypRef Expression
1 usgrun.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
2 usgrumgr 27124 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
4 usgrun.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ USGraph)
5 usgrumgr 27124 . . 3 (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ UMGraph)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐻 ∈ UMGraph)
7 usgrun.e . 2 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
8 usgrun.f . 2 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9 usgrun.vg . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10 usgrun.vh . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
11 usgrun.i . 2 (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
12 usgrun.u . 2 (𝜑𝑈𝑊)
13 usgrun.v . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
14 usgrun.un . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
153, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14umgrun 27065 1 (𝜑𝑈 ∈ UMGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  cun 3841  cin 3842  c0 4211  dom cdm 5525  cfv 6339  Vtxcvtx 26941  iEdgciedg 26942  UMGraphcumgr 27026  USGraphcusgr 27094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-hash 13783  df-umgr 27028  df-usgr 27096
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator