Theorem usgrun 29764

Description: The union 𝑈 of two simple graphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph (not necessarily a simple graph!) with the vertex 𝑉 and the union (𝐸 ∪ 𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 29-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
usgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USGraph)
usgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
usgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
usgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
usgrun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
usgrun.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
usgrun.un	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
usgrun	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem usgrun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrun.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
2		usgrumgr 29755	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		usgrun.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USGraph)
5		usgrumgr 29755	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ UMGraph)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
7		usgrun.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
8		usgrun.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9		usgrun.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10		usgrun.vh	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
11		usgrun.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
12		usgrun.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
13		usgrun.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
14		usgrun.un	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))
15	3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	umgrun 29691	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  dom cdm 5651  ‘cfv 6537  Vtxcvtx 29567  iEdgciedg 29568  UMGraphcumgr 29652  USGraphcusgr 29723

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-hash 14468  df-umgr 29654  df-usgr 29725

This theorem is used by: (None)