Theorem usgrunop 29180

Description: The union of two simple graphs (with the same vertex set): If ⟨𝑉, 𝐸⟩ and ⟨𝑉, 𝐹⟩ are simple graphs, then ⟨𝑉, 𝐸 ∪ 𝐹⟩ is a multigraph (not necessarily a simple graph!) - the vertex set stays the same, but the edges from both graphs are kept, possibly resulting in two edges between two vertices. (Contributed by AV, 29-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
usgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USGraph)
usgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
usgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
usgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
usgrunop	⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ UMGraph)

Proof of Theorem usgrunop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrun.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
2		usgrumgr 29170	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		usgrun.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USGraph)
5		usgrumgr 29170	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ USGraph → 𝐻 ∈ UMGraph)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
7		usgrun.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
8		usgrun.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9		usgrun.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10		usgrun.vh	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
11		usgrun.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
12	3, 6, 7, 8, 9, 10, 11	umgrunop 29110	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐸 ∪ 𝐹)⟩ ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4284  ⟨cop 4583  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  Vtxcvtx 28985  iEdgciedg 28986  UMGraphcumgr 29070  USGraphcusgr 29138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-hash 14248  df-vtx 28987  df-iedg 28988  df-umgr 29072  df-usgr 29140

This theorem is referenced by: (None)