Theorem veronesematrowexpd 51260

Description: Currying the Veronese matrix gives the indexed family of Veronese images, with each image expressed explicitly by coordinates. (Contributed by Jiamin Zhao, 19-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
veronesemat.a	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
veronesemat.f	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
veronesematrowexpd	⊢ (𝜑 → curry 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6) ↦ (𝑘 ∈ (1...6) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)), (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝐴,𝑘,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑗, 𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem veronesematrowexpd

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		veronesemat.a	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
2		veronesemat.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
3	1, 2	veronesematrowd 51259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → curry 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6) ↦ (veronese‘(𝐴‘𝑖))))
4		2fveq3 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → (veronese‘(𝐴‘𝑖)) = (veronese‘(𝐴‘𝑢)))
5	4	cbvmptv 5212	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (1...6) ↦ (veronese‘(𝐴‘𝑖))) = (𝑢 ∈ (1...6) ↦ (veronese‘(𝐴‘𝑢)))
6	3, 5	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → curry 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6) ↦ (veronese‘(𝐴‘𝑢))))
7	2	ffvelcdmda 7105	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...6)) → (𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
8	7	veronesevrowd 51257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (1...6)) → (veronese‘(𝐴‘𝑢)) = (𝑘 ∈ (1...6) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑢)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑢)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑢)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1)))))))))
9	8	mpteq2dva 5201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (1...6) ↦ (veronese‘(𝐴‘𝑢))) = (𝑢 ∈ (1...6) ↦ (𝑘 ∈ (1...6) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑢)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑢)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑢)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1))))))))))
10	6, 9	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → curry 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6) ↦ (𝑘 ∈ (1...6) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑢)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑢)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑢)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1))))))))))
11		fveq2 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (𝐴‘𝑢) = (𝐴‘𝑖))
12	11	fveq1d 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑢)‘1) = ((𝐴‘𝑖)‘1))
13	12	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (((𝐴‘𝑢)‘1)↑2) = (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2))
14	11	fveq1d 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑢)‘2) = ((𝐴‘𝑖)‘2))
15	14	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (((𝐴‘𝑢)‘2)↑2) = (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))
16	11	fveq1d 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑢)‘3) = ((𝐴‘𝑖)‘3))
17	16	oveq1d 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (((𝐴‘𝑢)‘3)↑2) = (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))
18	12, 14	oveq12d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)) = (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2)))
19	14, 16	oveq12d 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)) = (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))
20	16, 12	oveq12d 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1)) = (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1)))
21	19, 20	ifeq12d 4507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1))) = if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)), (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))
22	18, 21	ifeq12d 4507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1)))) = if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)), (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1)))))
23	17, 22	ifeq12d 4507	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑢)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1))))) = if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)), (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))))
24	15, 23	ifeq12d 4507	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑢)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑢)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1)))))) = if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)), (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1)))))))
25	13, 24	ifeq12d 4507	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑢)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑢)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑢)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1))))))) = if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)), (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))))))
26	25	mpteq2dv 5202	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑖 → (𝑘 ∈ (1...6) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑢)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑢)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑢)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1)))))))) = (𝑘 ∈ (1...6) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)), (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1)))))))))
27	26	cbvmptv 5212	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (1...6) ↦ (𝑘 ∈ (1...6) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑢)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑢)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑢)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑢)‘1) · ((𝐴‘𝑢)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑢)‘2) · ((𝐴‘𝑢)‘3)), (((𝐴‘𝑢)‘3) · ((𝐴‘𝑢)‘1))))))))) = (𝑖 ∈ (1...6) ↦ (𝑘 ∈ (1...6) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)), (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1)))))))))
28	10, 27	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝜑 → curry 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6) ↦ (𝑘 ∈ (1...6) ↦ if(𝑘 = 1, (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2), if(𝑘 = 2, (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2), if(𝑘 = 3, (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2), if(𝑘 = 4, (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2)), if(𝑘 = 5, (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)), (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442  curry ccur 8307   ↑_m cmap 8872  ℝcr 11223  1c1 11225   · cmul 11229  2c2 12421  3c3 12422  4c4 12423  5c5 12424  6c6 12425  ...cfz 13663  ↑cexp 14228  veronesecveronese 51246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-cur 8309  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-veronese 51247

This theorem is used by: (None)