Theorem rpreccl 13175

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpreccl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13151	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13174	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  1c1 11228   / cdiv 12000  ℝ⁺crp 13147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-rp 13148

This theorem is used by:  rpreccld  13201  xlemul1  13447  rpexpcl  14250  rpnnen2lem11  16421  prmreclem6  17128  rpmsubg  21767  lebnumii  25317  nmhmcn  25471  lmnn  25614  advlog  27012  cxprec  27044  dvcxp1  27098  loglesqrt  27119  logrec  27121  rlimcnp  27323  rlimcnp2  27324  rlimcnp3  27325  cxplim  27329  logdifbnd  27351  harmonicbnd4  27368  logfacrlim  27581  dchrmusumlema  27850  mulogsumlem  27888  selberg2lem  27907  pntrsumo1  27922  pntibndlem1  27946  blocnilem  31436  subfacval3  36121  recnnltrp  46593  rpgtrecnn  46596  xrralrecnnle  46599  nnrecrp  46602  sumnnodd  46847  dirkertrigeq  47316