Theorem rpreccl 12928

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpreccl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12904	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12927	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  1c1 11017   / cdiv 11784  ℝ⁺crp 12900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-rp 12901

This theorem is referenced by:  rpreccld  12954  xlemul1  13199  rpexpcl  13997  rpnnen2lem11  16143  prmreclem6  16843  rpmsubg  21378  lebnumii  24902  nmhmcn  25057  lmnn  25200  advlog  26600  cxprec  26632  dvcxp1  26686  loglesqrt  26708  logrec  26710  rlimcnp  26912  rlimcnp2  26913  rlimcnp3  26914  cxplim  26919  logdifbnd  26941  harmonicbnd4  26958  logfacrlim  27172  dchrmusumlema  27441  mulogsumlem  27479  selberg2lem  27498  pntrsumo1  27513  pntibndlem1  27537  blocnilem  30795  subfacval3  35244  recnnltrp  45489  rpgtrecnn  45492  xrralrecnnle  45495  nnrecrp  45498  sumnnodd  45744  dirkertrigeq  46213