Theorem rpreccl 13083

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpreccl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13061	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13082	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan 689	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   / cdiv 11947  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  rpreccld  13109  xlemul1  13352  rpexpcl  14131  rpnnen2lem11  16272  prmreclem6  16968  rpmsubg  21472  lebnumii  25017  nmhmcn  25172  lmnn  25316  advlog  26714  cxprec  26746  dvcxp1  26800  loglesqrt  26822  logrec  26824  rlimcnp  27026  rlimcnp2  27027  rlimcnp3  27028  cxplim  27033  logdifbnd  27055  harmonicbnd4  27072  logfacrlim  27286  dchrmusumlema  27555  mulogsumlem  27593  selberg2lem  27612  pntrsumo1  27627  pntibndlem1  27651  blocnilem  30836  subfacval3  35157  recnnltrp  45292  rpgtrecnn  45295  xrralrecnnle  45298  nnrecrp  45301  sumnnodd  45551  dirkertrigeq  46022  preimageiingt  46641  preimaleiinlt  46642