Theorem rpreccl 12498

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpreccl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12476	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12497	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7170  1c1 10616   / cdiv 11375  ℝ⁺crp 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-rp 12473

This theorem is referenced by:  rpreccld  12524  xlemul1  12766  rpexpcl  13540  rpnnen2lem11  15669  prmreclem6  16357  rpmsubg  20281  lebnumii  23718  nmhmcn  23872  lmnn  24015  advlog  25397  cxprec  25429  dvcxp1  25481  loglesqrt  25499  logrec  25501  rlimcnp  25703  rlimcnp2  25704  rlimcnp3  25705  cxplim  25709  logdifbnd  25731  harmonicbnd4  25748  logfacrlim  25960  dchrmusumlema  26229  mulogsumlem  26267  selberg2lem  26286  pntrsumo1  26301  pntibndlem1  26325  blocnilem  28739  subfacval3  32722  recnnltrp  42454  rpgtrecnn  42457  xrralrecnnle  42460  nnrecrp  42463  sumnnodd  42713  dirkertrigeq  43184  preimageiingt  43796  preimaleiinlt  43797