Theorem zeoALTV 48600

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Revised by AV, 16-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zeoALTV	⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ Even ∨ 𝑍 ∈ Odd ))

Proof of Theorem zeoALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 12729	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2	1	ancli 558	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
3		andi 1025	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)) ↔ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) ∨ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
4	2, 3	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) ∨ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
5		iseven 48558	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
6		isodd 48559	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7	5, 6	orbi12i 928	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Even ∨ 𝑍 ∈ Odd ) ↔ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) ∨ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
8	4, 7	sylibr 237	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ Even ∨ 𝑍 ∈ Odd ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7415  1c1 11147   + caddc 11149   / cdiv 11917  2c2 12341  ℤcz 12637   Even ceven 48554   Odd codd 48555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-n0 12551  df-z 12638  df-even 48556  df-odd 48557

This theorem is used by:  zeo2ALTV  48601  sbgoldbm  48714  wtgoldbnnsum4prm  48732  bgoldbnnsum3prm  48734