Theorem zeoALTV 47684

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Revised by AV, 16-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zeoALTV	⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ Even ∨ 𝑍 ∈ Odd ))

Proof of Theorem zeoALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 12679	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2	1	ancli 548	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
3		andi 1009	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)) ↔ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) ∨ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
4	2, 3	sylib 218	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) ∨ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
5		iseven 47642	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
6		isodd 47643	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7	5, 6	orbi12i 914	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Even ∨ 𝑍 ∈ Odd ) ↔ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) ∨ (𝑍 ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)))
8	4, 7	sylibr 234	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ Even ∨ 𝑍 ∈ Odd ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  1c1 11130   + caddc 11132   / cdiv 11894  2c2 12295  ℤcz 12588   Even ceven 47638   Odd codd 47639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-even 47640  df-odd 47641

This theorem is referenced by:  zeo2ALTV  47685  sbgoldbm  47798  wtgoldbnnsum4prm  47816  bgoldbnnsum3prm  47818