Theorem bpos1 16310

Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bpos1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem bpos1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 9975	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3		6nn0 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℕ0
4		4nn0 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 9802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
6	5	nn0rei 9585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 ∈ ℝ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 ∈ ℝ)
8		8nn0 9597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ ℕ0
9		3nn0 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 9802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;83 ∈ ℕ0
11	10	nn0rei 9585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;83 ∈ ℝ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ∈ ℝ)
13		eluzelre 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		4lt10 9928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < ;10
15		6lt8 9507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 < 8
16	3, 8, 4, 9, 14, 15	decltc 9821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 < ;83
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < ;83)
18		eluzle 9950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;83 ≤ 𝑁)
19	7, 12, 13, 17, 18	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ;64 < 𝑁)
20	5	nn0zi 9677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;64 ∈ ℤ
21		eluzelz 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;64 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
23	20, 21, 22	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → ¬ 𝑁 ≤ ;64)
25	24	pm2.21d 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;83) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
26		83prm 13266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;83 ∈ ℙ
27	4, 9	deccl 9802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 ∈ ℕ0
28		2nn0 9591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
29		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;43 = ;43
30		4t2e8 9473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
31		3t2e6 9470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
32	28, 4, 9, 29, 3, 30, 31	decmul1 9856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;43 · 2) = ;86
33		3lt10 9929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < ;10
34		4lt8 9509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 < 8
35	4, 8, 9, 9, 33, 34	decltc 9821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;83
36		6nn 9481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
37		3lt6 9497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < 6
38	8, 9, 36, 37	declt 9820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;83 < ;86
39	38	orci 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;83 < ;86 ∨ ;83 = ;86)
40	2, 25, 26, 27, 32, 35, 39	bpos1lem 16309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;43) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
41		43prm 13265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 ∈ ℙ
42	28, 9	deccl 9802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
43		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;23 = ;23
44		2t2e4 9468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
45	28, 28, 9, 43, 3, 44, 31	decmul1 9856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;23 · 2) = ;46
46		2lt4 9489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
47	28, 4, 9, 9, 33, 46	decltc 9821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;43
48	4, 9, 36, 37	declt 9820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;46
49	48	orci 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;43 < ;46 ∨ ;43 = ;46)
50	2, 40, 41, 42, 45, 47, 49	bpos1lem 16309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;23) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
51		23prm 13262	. . . . . . . . 9 ⊢ ;23 ∈ ℙ
52		1nn0 9590	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
53	52, 9	deccl 9802	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
54		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
55		2cn 9384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
56	55	mullidi 8335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 2) = 2
57	28, 52, 9, 54, 3, 56, 31	decmul1 9856	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 · 2) = ;26
58		1lt2 9485	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
59	52, 28, 9, 9, 33, 58	decltc 9821	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;23
60	28, 9, 36, 37	declt 9820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;26
61	60	orci 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (;23 < ;26 ∨ ;23 = ;26)
62	2, 50, 51, 53, 57, 59, 61	bpos1lem 16309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;13) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
63		13prm 13259	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℙ
64		7nn0 9596	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
65		7t2e14 9901	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 2) = ;14
66		1nn 9324	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
67		7lt10 9925	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
68	66, 9, 64, 67	declti 9830	. . . . . . . 8 ⊢ 7 < ;13
69		4nn 9479	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
70		3lt4 9488	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
71	52, 9, 69, 70	declt 9820	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;14
72	71	orci 743	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 < ;14 ∨ ;13 = ;14)
73	2, 62, 63, 64, 65, 68, 72	bpos1lem 16309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘7) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
74		7prm 13254	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℙ
75		5nn0 9594	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
76		5t2e10 9892	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		5lt7 9501	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 7
78	67	orci 743	. . . . . . 7 ⊢ (7 < ;10 ∨ 7 = ;10)
79	2, 73, 74, 75, 76, 77, 78	bpos1lem 16309	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
80		5prm 13252	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℙ
81		3lt5 9492	. . . . . 6 ⊢ 3 < 5
82		5lt6 9495	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
83	82	orci 743	. . . . . 6 ⊢ (5 < 6 ∨ 5 = 6)
84	2, 79, 80, 9, 31, 81, 83	bpos1lem 16309	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
85		3prm 12931	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℙ
86		2lt3 9486	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
87	70	orci 743	. . . . 5 ⊢ (3 < 4 ∨ 3 = 4)
88	2, 84, 85, 28, 44, 86, 87	bpos1lem 16309	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
89		2prm 12930	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
90		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ 2 = 2
91	90	olci 744	. . . 4 ⊢ (2 < 2 ∨ 2 = 2)
92	2, 88, 89, 52, 56, 58, 91	bpos1lem 16309	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
93	1, 92	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
94	93	imp 124	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   · cmul 8190   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℕcn 9313  2c2 9364  3c3 9365  4c4 9366  5c5 9367  6c6 9368  7c7 9369  8c8 9370  ℤcz 9655  ;cdc 9788  ℤ_≥cuz 9937  ℙcprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  bpos  16320