Theorem gsum2d2fi 14274

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. Note that C ( j ) is a function of j. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2fi.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsum2d2fi.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. Fin )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2fi	|- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, B   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2fi

Dummy variables m n x y p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsum2d2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsum2d2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsum2d2fi.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
5		gsum2d2fi.r	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. Fin )
6	4, 5	idjufi 14269	. . 3 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. Fin )
7		relxp 4886	. . . . . 6 |- Rel ( { j } X. C )
8	7	rgenw 2605	. . . . 5 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
9		reliun 4900	. . . . 5 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
10	8, 9	mpbir 146	. . . 4 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) )
12		vex 2824	. . . . . 6 |- x e. _V
13	12	eldm2 4981	. . . . 5 |- ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
14		eliunxp 4921	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) )
15		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
16	12, 15	opth1 4378	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. = <. j , k >. -> x = j )
17	16	ad2antrl 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x = j )
18		simprrl 545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> j e. A )
19	17, 18	eqeltrd 2315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) ) -> x e. A )
20	19	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
21	20	exlimdvv 1953	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> x e. A ) )
22	14, 21	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
23	22	exlimdv 1872	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
24	13, 23	biimtrid 152	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. dom U_ j e. A ( { j } X. C ) -> x e. A ) )
25	24	ssrdv 3254	. . 3 |- ( ph -> dom U_ j e. A ( { j } X. C ) C_ A )
26		dmiun 4992	. . . 4 |- dom U_ j e. A ( { j } X. C ) = U_ j e. A dom ( { j } X. C )
27		xpeq2 4791	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = (/) -> ( { j } X. C ) = ( { j } X. (/) ) )
28	27	dmeqd 4985	. . . . . . . . . 10 |- ( C = (/) -> dom ( { j } X. C ) = dom ( { j } X. (/) ) )
29		xp0 5210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { j } X. (/) ) = (/)
30	29	dmeqi 4984	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( { j } X. (/) ) = dom (/)
31		dm0 4997	. . . . . . . . . . 11 |- dom (/) = (/)
32	30, 31	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 |- dom ( { j } X. (/) ) = (/)
33	28, 32	eqtrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( C = (/) -> dom ( { j } X. C ) = (/) )
34		0fi 7192	. . . . . . . . 9 |- (/) e. Fin
35	33, 34	eqeltrdi 2329	. . . . . . . 8 |- ( C = (/) -> dom ( { j } X. C ) e. Fin )
36	35	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ C = (/) ) -> dom ( { j } X. C ) e. Fin )
37		dmxpm 5004	. . . . . . . . 9 |- ( E. p p e. C -> dom ( { j } X. C ) = { j } )
38		snfig 7107	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. _V -> { j } e. Fin )
39	38	elv 2825	. . . . . . . . 9 |- { j } e. Fin
40	37, 39	eqeltrdi 2329	. . . . . . . 8 |- ( E. p p e. C -> dom ( { j } X. C ) e. Fin )
41	40	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ E. p p e. C ) -> dom ( { j } X. C ) e. Fin )
42		fin0or 7194	. . . . . . . 8 |- ( C e. Fin -> ( C = (/) \/ E. p p e. C ) )
43	5, 42	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( C = (/) \/ E. p p e. C ) )
44	36, 41, 43	mpjaodan 810	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> dom ( { j } X. C ) e. Fin )
45	44	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A dom ( { j } X. C ) e. Fin )
46	33	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( C = (/) -> dom ( { j } X. C ) = (/) ) )
47	37	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( E. p p e. C -> dom ( { j } X. C ) = { j } ) )
48	46, 47	orim12d 798	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( C = (/) \/ E. p p e. C ) -> ( dom ( { j } X. C ) = (/) \/ dom ( { j } X. C ) = { j } ) ) )
49	43, 48	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( dom ( { j } X. C ) = (/) \/ dom ( { j } X. C ) = { j } ) )
50	49	sn0disj 4127	. . . . 5 |- ( ph -> Disj j e. A dom ( { j } X. C ) )
51		iunfidisj 7264	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ A. j e. A dom ( { j } X. C ) e. Fin /\ Disj j e. A dom ( { j } X. C ) ) -> U_ j e. A dom ( { j } X. C ) e. Fin )
52	4, 45, 50, 51	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. A dom ( { j } X. C ) e. Fin )
53	26, 52	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( ph -> dom U_ j e. A ( { j } X. C ) e. Fin )
54		gsum2d2.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
55	54	ralrimivva 2632	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
56		eqid 2238	. . . . 5 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
57	56	fmpox 6440	. . . 4 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
58	55, 57	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
59		eqid 2238	. . . 4 |- U_ j e. A ( { j } X. C ) = U_ j e. A ( { j } X. C )
60	4, 5, 59	idjusnfi 14270	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. A ) -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) e. Fin )
61	1, 2, 3, 6, 11, 4, 25, 53, 58, 60	gsum2dfi 14273	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) )
62		nfcv 2392	. . . . . 6 |- F/_ j G
63		nfcv 2392	. . . . . 6 |- F/_ j gsumg
64		nfiu1 4042	. . . . . . . 8 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
65		nfcv 2392	. . . . . . . 8 |- F/_ j { m }
66	64, 65	nfima 5137	. . . . . . 7 |- F/_ j ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } )
67		nfcv 2392	. . . . . . . 8 |- F/_ j m
68		nfmpo1 6158	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
69		nfcv 2392	. . . . . . . 8 |- F/_ j n
70	67, 68, 69	nfov 6118	. . . . . . 7 |- F/_ j ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
71	66, 70	nfmpt 4225	. . . . . 6 |- F/_ j ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
72	62, 63, 71	nfov 6118	. . . . 5 |- F/_ j ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
73		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ m ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
74		sneq 3720	. . . . . . . 8 |- ( m = j -> { m } = { j } )
75	74	imaeq2d 5129	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) = ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) )
76		oveq1 6095	. . . . . . 7 |- ( m = j -> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) )
77	75, 76	mpteq12dv 4214	. . . . . 6 |- ( m = j -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
78	77	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( m = j -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
79	72, 73, 78	cbvmpt 4228	. . . 4 |- ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) )
80		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- j e. _V
81		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
82	80, 81	elimasn 5157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
83		opeliunxp 4832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
84	82, 83	bitri 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
85	84	baib 931	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. A -> ( k e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) <-> k e. C ) )
86	85	eqrdv 2236	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. A -> ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) = C )
87	86	mpteq1d 4217	. . . . . . . . 9 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) )
88		nfcv 2392	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k j
89		nfmpo2 6159	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
90		nfcv 2392	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k n
91	88, 89, 90	nfov 6118	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n )
92		nfcv 2392	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k )
93		oveq2 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
94	91, 92, 93	cbvmpt 4228	. . . . . . . . 9 |- ( n e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
95	87, 94	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( j e. A -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
97		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> j e. A )
98		simprr 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> k e. C )
99	56	ovmpt4g 6214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
100	97, 98, 54, 99	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
101	100	anassrs 404	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. C ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
102	101	mpteq2dva 4223	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( k e. C |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) = ( k e. C |-> X ) )
103	96, 102	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) = ( k e. C |-> X ) )
104	103	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) = ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) )
105	104	mpteq2dva 4223	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { j } ) |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
106	79, 105	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ph -> ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) = ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) )
107	106	oveq2d 6104	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. A |-> ( G gsumg ( n e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) " { m } ) |-> ( m ( j e. A , k e. C |-> X ) n ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )
108	61, 107	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( j e. A |-> ( G gsumg ( k e. C |-> X ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3709   <.cop 3712   U_ciun 4012  Disj wdisj 4106   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   dom cdm 4776   "cima 4779   Rel wrel 4781   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   Fincfn 7026   Basecbs 13410   0gc0g 13669  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  psrass1filem  15177