Theorem gsumfsum 15007

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfsum.1	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumfsum.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfsum	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. A |-> B ) ) = sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfsum

Dummy variables w y z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4215	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( k e. w |-> B ) = ( k e. (/) |-> B ) )
2	1	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = (/) -> (ℂfld gsumg ( k e. w |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. (/) |-> B ) ) )
3		sumeq1 12140	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
4	2, 3	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = (/) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. w |-> B ) ) = sum_ k e. w B <-> (ℂfld gsumg ( k e. (/) |-> B ) ) = sum_ k e. (/) B ) )
5		mpteq1 4215	. . . 4 |- ( w = y -> ( k e. w |-> B ) = ( k e. y |-> B ) )
6	5	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = y -> (ℂfld gsumg ( k e. w |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) )
7		sumeq1 12140	. . 3 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
8	6, 7	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = y -> ( (ℂfld gsumg ( k e. w |-> B ) ) = sum_ k e. w B <-> (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) )
9		mpteq1 4215	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( k e. w |-> B ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) )
10	9	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (ℂfld gsumg ( k e. w |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ) )
11		sumeq1 12140	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
12	10, 11	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. w |-> B ) ) = sum_ k e. w B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
13		mpteq1 4215	. . . 4 |- ( w = A -> ( k e. w |-> B ) = ( k e. A |-> B ) )
14	13	oveq2d 6101	. . 3 |- ( w = A -> (ℂfld gsumg ( k e. w |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. A |-> B ) ) )
15		sumeq1 12140	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
16	14, 15	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = A -> ( (ℂfld gsumg ( k e. w |-> B ) ) = sum_ k e. w B <-> (ℂfld gsumg ( k e. A |-> B ) ) = sum_ k e. A B ) )
17		cnfld0 14992	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
18		sum0 12174	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
19		mpt0 5511	. . . . . 6 |- ( k e. (/) |-> B ) = (/)
20	19	oveq2i 6096	. . . . 5 |- (ℂfld gsumg ( k e. (/) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg (/) )
21		cnring 14991	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Ring
22		ringcmn 14422	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ℂfld e. CMnd
24		gsum0cmn 14238	. . . . . 6 |- (ℂfld e. CMnd -> (ℂfld gsumg (/) ) = ( 0g ` ℂfld ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 |- (ℂfld gsumg (/) ) = ( 0g ` ℂfld )
26	20, 25	eqtri 2259	. . . 4 |- (ℂfld gsumg ( k e. (/) |-> B ) ) = ( 0g ` ℂfld )
27	17, 18, 26	3eqtr4ri 2270	. . 3 |- (ℂfld gsumg ( k e. (/) |-> B ) ) = sum_ k e. (/) B
28	27	a1i 9	. 2 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. (/) |-> B ) ) = sum_ k e. (/) B )
29		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
30		simplll 539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
31		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y C_ A )
32	31	sseld 3247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
33	32	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
34		gsumfsum.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
35	30, 33, 34	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
36	29, 35	fsumcl 12186	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. y B e. CC )
37	36	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> sum_ k e. y B e. CC )
38		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
39	38	eldifad 3231	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
40	34	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
41	40	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
42		rspcsbela 3207	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A B e. CC ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
43	39, 41, 42	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
44	43	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
45	37, 44	addcld 8346	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) e. CC )
46		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( u = sum_ k e. y B -> ( u + v ) = ( sum_ k e. y B + v ) )
47		oveq2 6093	. . . . . 6 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( sum_ k e. y B + v ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
48		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) )
49	46, 47, 48	ovmpog 6223	. . . . 5 |- ( ( sum_ k e. y B e. CC /\ [_ z / k ]_ B e. CC /\ ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) e. CC ) -> ( sum_ k e. y B ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
50	37, 44, 45, 49	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> ( sum_ k e. y B ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
51		cnfldbas 14981	. . . . . . 7 |- CC = ( Base ` ℂfld )
52		mpocnfldadd 14982	. . . . . . 7 |- ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) = ( +g ` ℂfld )
53	23	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ℂfld e. CMnd )
54		simplll 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
55		elun 3370	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( y u. { z } ) <-> ( k e. y \/ k e. { z } ) )
56		elsni 3727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { z } -> k = z )
57	56	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. { z } -> ( k e. A <-> z e. A ) )
58	39, 57	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. { z } -> k e. A ) )
59	32, 58	jaod 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( k e. y \/ k e. { z } ) -> k e. A ) )
60	55, 59	biimtrid 152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) -> k e. A ) )
61	60	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
62	54, 61, 34	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
63	62	fmpttd 5863	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) : ( y u. { z } ) --> CC )
64	38	eldifbd 3232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
65	51, 52, 53, 63, 29, 39, 64	gsump1 14241	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) |` y ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ` z ) ) )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) |` y ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ` z ) ) )
67		ssun1 3392	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
68	67	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> y C_ ( y u. { z } ) )
69	68	resmptd 5114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) |` y ) = ( k e. y |-> B ) )
70	69	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> (ℂfld gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) |` y ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) )
71		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B )
72	70, 71	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> (ℂfld gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) |` y ) ) = sum_ k e. y B )
73		ssun2 3393	. . . . . . . 8 |- { z } C_ ( y u. { z } )
74		vsnid 3741	. . . . . . . 8 |- z e. { z }
75	73, 74	sselii 3245	. . . . . . 7 |- z e. ( y u. { z } )
76		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) = ( k e. ( y u. { z } ) |-> B )
77	76	fvmpts 5783	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( y u. { z } ) /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ` z ) = [_ z / k ]_ B )
78	75, 44, 77	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ` z ) = [_ z / k ]_ B )
79	72, 78	oveq12d 6103	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) |` y ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) ( ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ` z ) ) = ( sum_ k e. y B ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) [_ z / k ]_ B ) )
80	66, 79	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ) = ( sum_ k e. y B ( u e. CC , v e. CC |-> ( u + v ) ) [_ z / k ]_ B ) )
81		nfv 1581	. . . . . 6 |- F/ k ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) )
82		nfcsb1v 3180	. . . . . 6 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
83		csbeq1a 3156	. . . . . 6 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
84	81, 82, 29, 39, 64, 35, 83, 43	fsumsplitsn 12196	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
85	84	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
86	50, 80, 85	3eqtr4d 2281	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
87	86	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( y u. { z } ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
88		gsumfsum.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
89	4, 8, 12, 16, 28, 87, 88	findcard2sd 7196	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. A |-> B ) ) = sum_ k e. A B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   [_csb 3147   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   |-> cmpt 4192   |` cres 4776   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   Fincfn 7022   CCcc 8178   0cc0 8180   + caddc 8183   sum_csu 12138   0gc0g 13663  CMndccmn 14171   gsum_g cgsu 14234   Ringcrg 14384  ℂ_fldccnfld 14977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13665  df-gzsum 13666  df-topgen 13667  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-mulg 13976  df-cmn 14173  df-abl 14174  df-gsumfi 14235  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-cring 14387  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-fg 14970  df-metu 14971  df-cnfld 14978

This theorem is used by:  lgseisenlem4  16358