Theorem gsumfsum 14906

Description: Relate a group sum on ℂ_fld to a finite sum on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumfsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
gsumfsum	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfsum

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4213	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
2	1	oveq2d 6095	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵)))
3		sumeq1 12104	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
4	2, 3	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ↔ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
5		mpteq1 4213	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
6	5	oveq2d 6095	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
7		sumeq1 12104	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
8	6, 7	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ↔ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵))
9		mpteq1 4213	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵))
10	9	oveq2d 6095	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)))
11		sumeq1 12104	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
12	10, 11	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ↔ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
13		mpteq1 4213	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
14	13	oveq2d 6095	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
15		sumeq1 12104	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
16	14, 15	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑤 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑤 𝐵 ↔ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
17		cnfld0 14891	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
18		sum0 12138	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
19		mpt0 5509	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
20	19	oveq2i 6090	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅)
21		cnring 14890	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
22		ringcmn 14321	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
24		gsum0cmn 14137	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CMnd → (ℂfld Σg ∅) = (0g‘ℂfld))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = (0g‘ℂfld)
26	20, 25	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵)) = (0g‘ℂfld)
27	17, 18, 26	3eqtr4ri 2270	. . 3 ⊢ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
28	27	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
29		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
30		simplll 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
31		simprl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
32	31	sseld 3247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
33	32	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
34		gsumfsum.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	29, 35	fsumcl 12150	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
38		simprr 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
39	38	eldifad 3231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
40	34	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
42		rspcsbela 3207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
43	39, 41, 42	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
44	43	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
45	37, 44	addcld 8339	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℂ)
46		oveq1 6086	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → (𝑢 + 𝑣) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑣))
47		oveq2 6087	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + 𝑣) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
48		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))
49	46, 47, 48	ovmpog 6217	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
50	37, 44, 45, 49	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
51		cnfldbas 14880	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
52		mpocnfldadd 14881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣)) = (+g‘ℂfld)
53	23	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ℂfld ∈ CMnd)
54		simplll 539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
55		elun 3370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}))
56		elsni 3726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
57	56	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧} → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
58	39, 57	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 ∈ 𝐴))
59	32, 58	jaod 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝑘 ∈ 𝑦 ∨ 𝑘 ∈ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
60	55, 59	biimtrid 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘 ∈ 𝐴))
61	60	imp 124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
62	54, 61, 34	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	62	fmpttd 5857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵):(𝑦 ∪ {𝑧})⟶ℂ)
64	38	eldifbd 3232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
65	51, 52, 53, 63, 29, 39, 64	gsump1 14140	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)) = ((ℂfld Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵) ↾ 𝑦))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)‘𝑧)))
66	65	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)) = ((ℂfld Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵) ↾ 𝑦))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)‘𝑧)))
67		ssun1 3392	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
68	67	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}))
69	68	resmptd 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
70	69	oveq2d 6095	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (ℂfld Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
71		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
72	70, 71	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (ℂfld Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
73		ssun2 3393	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
74		vsnid 3740	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
75	73, 74	sselii 3245	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})
76		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)
77	76	fvmpts 5780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
78	75, 44, 77	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)‘𝑧) = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
79	72, 78	oveq12d 6097	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → ((ℂfld Σg ((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵) ↾ 𝑦))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))((𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)‘𝑧)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
80	66, 79	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
81		nfv 1581	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)))
82		nfcsb1v 3180	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
83		csbeq1a 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
84	81, 82, 29, 39, 64, 35, 83, 43	fsumsplitsn 12160	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
85	84	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 + ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
86	50, 80, 85	3eqtr4d 2281	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
87	86	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
88		gsumfsum.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
89	4, 8, 12, 16, 28, 87, 88	findcard2sd 7190	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ⦋csb 3147   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3708   ↦ cmpt 4190   ↾ cres 4774  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ∈ cmpo 6081  Fincfn 7016  ℂcc 8171  0cc0 8173   + caddc 8176  Σcsu 12102  0_gc0g 13593  CMndccmn 14070   Σ_g cgsu 14133  Ringcrg 14283  ℂ_fldccnfld 14876

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-0g 13595  df-gzsum 13596  df-topgen 13597  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-mulg 13906  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-gsumfi 14134  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-cring 14286  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877

This theorem is used by:  lgseisenlem4  16175