Theorem 2lgslem1a 15820

Description: Lemma 1 for 2lgslem1 15823. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

Distinct variable group:   𝑃,𝑖,𝑥

Proof of Theorem 2lgslem1a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn 9307	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
5	3, 4	jctir 313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
6		fldivnn0 10556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
7		nn0p1nn 9441	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
9		elnnuz 9793	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
11		fzss1 10298	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
12		rexss 3294	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
14		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))))
15	2, 4	jctir 313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
16	15, 6	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
19		elfzelz 10260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
20		zltp1le 9534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
22	21	bicomd 141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
23	22	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
24	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ∈ ℤ)
25	17	peano2zd 9605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
28		prmz 12685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		oddm1d2 12455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31	30	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33		elfz 10249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
34	24, 27, 32, 33	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
35		elfzle2 10263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
37	36	biantrud 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
38	23, 34, 37	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
39	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
40		2lgslem1a2 15819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
41	39, 19, 40	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
42	38, 41	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
43		2lgslem1a1 15818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
44	1, 43	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
46		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 2) = (𝑖 · 2))
47	46	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
48	46, 47	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
49	48	rspccva 2909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
50	45, 49	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
51	50	breq2d 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 / 2) < (𝑖 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
52	42, 51	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
53		oveq1 6025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
54	53	eqcomd 2237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑥 mod 𝑃))
55	54	breq2d 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
56	52, 55	sylan9bb 462	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
57	56	pm5.32da 452	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
58	14, 57	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
59	58	rexbidva 2529	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
60	13, 59	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
61	60	bicomd 141	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)) ↔ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)))
62	61	rabbidva 2790	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  4c4 9196  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243  ⌊cfl 10529   mod cmo 10585   ∥ cdvds 12350  ℙcprime 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fl 10531  df-mod 10586  df-dvds 12351  df-prm 12682

This theorem is referenced by:  2lgslem1  15823