Theorem 2lgslem1a 15788

Description: Lemma 1 for 2lgslem1 15791. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

Distinct variable group:   𝑃,𝑖,𝑥

Proof of Theorem 2lgslem1a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn 9290	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
5	3, 4	jctir 313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
6		fldivnn0 10532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
7		nn0p1nn 9424	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
9		elnnuz 9776	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
11		fzss1 10276	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
12		rexss 3291	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
14		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))))
15	2, 4	jctir 313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
16	15, 6	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 9583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
19		elfzelz 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
20		zltp1le 9517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
22	21	bicomd 141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
23	22	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
24	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ∈ ℤ)
25	17	peano2zd 9588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
28		prmz 12654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		oddm1d2 12424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31	30	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33		elfz 10227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
34	24, 27, 32, 33	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
35		elfzle2 10241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
37	36	biantrud 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
38	23, 34, 37	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
39	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
40		2lgslem1a2 15787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
41	39, 19, 40	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
42	38, 41	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
43		2lgslem1a1 15786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
44	1, 43	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
46		oveq1 6017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 2) = (𝑖 · 2))
47	46	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
48	46, 47	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
49	48	rspccva 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
50	45, 49	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
51	50	breq2d 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 / 2) < (𝑖 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
52	42, 51	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
53		oveq1 6017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
54	53	eqcomd 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑥 mod 𝑃))
55	54	breq2d 4095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
56	52, 55	sylan9bb 462	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
57	56	pm5.32da 452	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
58	14, 57	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
59	58	rexbidva 2527	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
60	13, 59	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
61	60	bicomd 141	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)) ↔ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)))
62	61	rabbidva 2787	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020   < clt 8197   ≤ cle 8198   − cmin 8333   / cdiv 8835  ℕcn 9126  2c2 9177  4c4 9179  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  ...cfz 10221  ⌊cfl 10505   mod cmo 10561   ∥ cdvds 12319  ℙcprime 12650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fl 10507  df-mod 10562  df-dvds 12320  df-prm 12651

This theorem is referenced by:  2lgslem1  15791