Theorem log2ublog2 16069

Description: log2 is less than 253 / 365. If written in decimal, this is because log2 = 0.693147... is less than 253/365 = 0.693151... , so this is a very tight bound, at five decimal places. The presence of the hypothesis here is a temporary measure until it can be proved as log2cnv . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
log2ublog2.log2cnv	⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2)

Assertion

Ref	Expression
log2ublog2	⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Proof of Theorem log2ublog2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 9408	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	oveq2i 6090	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(4 − 1)) = (0...3)
3	2	sumeq1i 12112	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4	3	oveq2i 6090	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5		4nn0 9565	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		log2ublog2.log2cnv	. . . . . . . 8 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2)
7	6	log2tlbndlog2 16065	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
9	4, 8	eqeltrri 2312	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
10		0re 8320	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		3re 9361	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
12		4nn 9451	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		2nn0 9563	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		1nn 9298	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 5, 14	numnncl 9769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 4) + 1) ∈ ℕ
16	12, 15	nnmulcli 9309	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℕ
17		9nn 9456	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ
18		nnexpcl 10972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (9↑4) ∈ ℕ)
19	17, 5, 18	mp2an 430	. . . . . . . 8 ⊢ (9↑4) ∈ ℕ
20	16, 19	nnmulcli 9309	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ
21		nndivre 9323	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ)
22	11, 20, 21	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ
23	10, 22	elicc2i 10324	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ↔ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
24	9, 23	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
25	24	simp3i 1039	. . 3 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))
26		2rp 10042	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
27		relogcl 15946	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
29		0zd 9639	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
30		3z 9656	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
31	30	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℤ)
32	29, 31	fzfigd 10851	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
33		2re 9357	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		3nn 9450	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
35		elfznn0 10504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (0...3) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37		nn0mulcl 9582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
38	13, 36, 37	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
39		nn0p1nn 9585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
41		nnmulcl 9308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
42	34, 40, 41	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
43		nnexpcl 10972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
44	17, 36, 43	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
45	42, 44	nnmulcld 9336	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
46		nndivre 9323	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
47	33, 45, 46	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
48	32, 47	fsumrecl 12151	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
49	48	mptru 1411	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
50	28, 49, 22	lesubadd2i 8830	. . 3 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ↔ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
51	25, 50	mpbi 145	. 2 ⊢ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
52		log2ublem3 16068	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ ;;;;53056
53		3nn0 9564	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
54		5nn0 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
55	54, 53	deccl 9774	. . . . . . . 8 ⊢ ;53 ∈ ℕ0
56		0nn0 9561	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
57	55, 56	deccl 9774	. . . . . . 7 ⊢ ;;530 ∈ ℕ0
58	57, 54	deccl 9774	. . . . . 6 ⊢ ;;;5305 ∈ ℕ0
59		6nn0 9567	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
60	58, 59	deccl 9774	. . . . 5 ⊢ ;;;;53056 ∈ ℕ0
61		1nn0 9562	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
62		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
63		6p1e7 9426	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
64		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53056 = ;;;;53056
65	58, 59, 63, 64	decsuc 9790	. . . . 5 ⊢ (;;;;53056 + 1) = ;;;;53057
66		5nn 9452	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ
67		7nn 9454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
68	66, 67	nnmulcli 9309	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ
69	68	nnrei 9296	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℝ
70	16	nnrei 9296	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℝ
71		6nn 9453	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
72		5lt6 9467	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 6
73	53, 54, 71, 72	declt 9787	. . . . . . . . 9 ⊢ ;35 < ;36
74		7cn 9371	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
75		5cn 9367	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
76		7t5e35 9871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 5) = ;35
77	74, 75, 76	mulcomli 8327	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) = ;35
78		4cn 9365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
79		2cn 9358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
80		4t2e8 9446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
81	78, 79, 80	mulcomli 8327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
82	81	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
83		8p1e9 9428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
84	82, 83	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) + 1) = 9
85	84	oveq2i 6090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = (4 · 9)
86		9cn 9375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
87		9t4e36 9883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 4) = ;36
88	86, 78, 87	mulcomli 8327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 9) = ;36
89	85, 88	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = ;36
90	73, 77, 89	3brtr4i 4158	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) < (4 · ((2 · 4) + 1))
91	69, 70, 90	ltleii 8422	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1))
92	19	nngt0i 9317	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (9↑4)
93	19	nnrei 9296	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℝ
94	69, 70, 93	lemul2i 9249	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (9↑4) → ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))))
95	92, 94	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))))
96	91, 95	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
97		7nn0 9568	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ0
98		nnexpcl 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
99	34, 97, 98	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ
100	99	nncni 9297	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
101	68	nncni 9297	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
102		3cn 9362	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
103	100, 101, 102	mul32i 8467	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = (((3↑7) · 3) · (5 · 7))
104	78, 79	mulcomi 8326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
105		df-8 9352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 = (7 + 1)
106	80, 104, 105	3eqtr3i 2267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 4) = (7 + 1)
107	106	oveq2i 6090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = (3↑(7 + 1))
108		expmul 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4))
109	102, 13, 5, 108	mp3an 1378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4)
110	107, 109	eqtr3i 2261	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑2)↑4)
111		expp1 10966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3))
112	102, 97, 111	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3)
113		sq3 11056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
114	113	oveq1i 6089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3↑2)↑4) = (9↑4)
115	110, 112, 114	3eqtr3i 2267	. . . . . . . 8 ⊢ ((3↑7) · 3) = (9↑4)
116	115	oveq1i 6089	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · 3) · (5 · 7)) = ((9↑4) · (5 · 7))
117	103, 116	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = ((9↑4) · (5 · 7))
118	16	nncni 9297	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℂ
119	19	nncni 9297	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℂ
120	118, 119	mulcomi 8326	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
121	120	oveq1i 6089	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1)
122	119, 118	mulcli 8325	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) ∈ ℂ
123	122	mulridi 8322	. . . . . . 7 ⊢ (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
124	121, 123	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
125	96, 117, 124	3brtr4i 4158	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) ≤ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1)
126	52, 49, 53, 20, 60, 61, 62, 65, 125	log2ublem1 16066	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057
127	49, 22	readdcli 8333	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ
128	58, 97	deccl 9774	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℕ0
129	128	nn0rei 9557	. . . . 5 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℝ
130	99, 68	nnmulcli 9309	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
131	130	nnrei 9296	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
132	130	nngt0i 9317	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))
133	131, 132	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))
134		lemuldiv2 9206	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ ∧ ;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))) → ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))))
135	127, 129, 133, 134	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))))
136	126, 135	mpbi 145	. . 3 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))
137		8nn0 9569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ0
138	53, 137	deccl 9774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;38 ∈ ℕ0
139	138, 97	deccl 9774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;387 ∈ ℕ0
140	139, 53	deccl 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;3873 ∈ ℕ0
141	140, 61	deccl 9774	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;38731 ∈ ℕ0
142	141, 59	deccl 9774	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 ∈ ℕ0
143	141, 97	deccl 9774	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387317 ∈ ℕ0
144		1lt10 9898	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
145		6lt7 9472	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
146	141, 59, 67, 145	declt 9787	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 < ;;;;;387317
147	142, 143, 61, 97, 144, 146	decltc 9788	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;3873161 < ;;;;;;3873177
148		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ;73 = ;73
149	61, 54	deccl 9774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
150		9nn0 9570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
151	149, 150	deccl 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;159 ∈ ℕ0
152	151, 61	deccl 9774	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1591 ∈ ℕ0
153	152, 97	deccl 9774	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;15917 ∈ ℕ0
154		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;53057 = ;;;;53057
155		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;15917 = ;;;;15917
156		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5305 = ;;;5305
157		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;1591 = ;;;1591
158		ax-1cn 8266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
159		5p1e6 9425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 + 1) = 6
160	75, 158, 159	addcomli 8465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 5) = 6
161	151, 61, 54, 157, 160	decaddi 9819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;1591 + 5) = ;;;1596
162	61, 59	deccl 9774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
163		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;530 = ;;530
164		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;159 = ;;159
165		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;15 = ;15
166	61, 54, 159, 165	decsuc 9790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;15 + 1) = ;16
167		9p4e13 9848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 + 4) = ;13
168	149, 150, 5, 164, 166, 53, 167	decaddci 9820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;159 + 4) = ;;163
169		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;53 = ;53
170	162	nn0cni 9558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;16 ∈ ℂ
171	170	addridi 8462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;16 + 0) = ;16
172		1p2e3 9422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 2) = 3
173	172	oveq2i 6090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ((5 · 7) + 3)
174		5p3e8 9435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 3) = 8
175	53, 54, 53, 77, 174	decaddi 9819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + 3) = ;38
176	173, 175	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ;38
177		7t3e21 9869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 3) = ;21
178	74, 102, 177	mulcomli 8327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 7) = ;21
179		6cn 9369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
180	179, 158, 63	addcomli 8465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 6) = 7
181	13, 61, 59, 178, 180	decaddi 9819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 7) + 6) = ;27
182	54, 53, 61, 59, 169, 171, 97, 97, 13, 176, 181	decmac 9811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 7) + (;16 + 0)) = ;;387
183	74	mul02i 8711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 7) = 0
184	183	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 7) + 3) = (0 + 3)
185	102	addlidi 8463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 3) = 3
186	53	dec0h 9781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = ;03
187	185, 186	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 3) = ;03
188	184, 187	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 7) + 3) = ;03
189	55, 56, 162, 53, 163, 168, 97, 53, 56, 182, 188	decmac 9811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 7) + (;;159 + 4)) = ;;;3873
190		3p1e4 9423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = 4
191		6p5e11 9832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 5) = ;11
192	179, 75, 191	addcomli 8465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 6) = ;11
193	53, 54, 59, 77, 190, 61, 192	decaddci 9820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 7) + 6) = ;41
194	57, 54, 151, 59, 156, 161, 97, 61, 5, 189, 193	decmac 9811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 7) + (;;;1591 + 5)) = ;;;;38731
195		7t7e49 9873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 7) = ;49
196		4p1e5 9424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
197		9p7e16 9851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 7) = ;16
198	5, 150, 97, 195, 196, 59, 197	decaddci 9820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 · 7) + 7) = ;56
199	58, 97, 152, 97, 154, 155, 97, 59, 54, 194, 198	decmac 9811	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;;;53057 · 7) + ;;;;15917) = ;;;;;387316
200	13	dec0h 9781	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
201	158	addlidi 8463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
202	61	dec0h 9781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = ;01
203	201, 202	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = ;01
204		00id 8461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
205	56	dec0h 9781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = ;00
206	204, 205	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = ;00
207		5t3e15 9860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 3) = ;15
208	207	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 3) + 0) = (;15 + 0)
209	149	nn0cni 9558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;15 ∈ ℂ
210	209	addridi 8462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15 + 0) = ;15
211	208, 210	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 3) + 0) = ;15
212		3t3e9 9445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 3) = 9
213	212	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 3) + 0) = (9 + 0)
214	86	addridi 8462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 0) = 9
215	213, 214	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 3) + 0) = 9
216	54, 53, 56, 56, 169, 206, 53, 211, 215	decma 9810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 3) + (0 + 0)) = ;;159
217	102	mul02i 8711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 3) = 0
218	217	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
219	218, 203	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 3) + 1) = ;01
220	55, 56, 56, 61, 163, 203, 53, 61, 56, 216, 219	decmac 9811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 3) + (0 + 1)) = ;;;1591
221		5p2e7 9434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 2) = 7
222	61, 54, 13, 207, 221	decaddi 9819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 3) + 2) = ;17
223	57, 54, 56, 13, 156, 200, 53, 97, 61, 220, 222	decmac 9811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 3) + 2) = ;;;;15917
224	53, 58, 97, 154, 61, 13, 223, 177	decmul1c 9824	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · 3) = ;;;;;159171
225	128, 97, 53, 148, 61, 153, 199, 224	decmul2c 9825	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) = ;;;;;;3873161
226	54, 54	deccl 9774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;55 ∈ ℕ0
227	226, 53	deccl 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;553 ∈ ℕ0
228	227, 53	deccl 9774	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;5533 ∈ ℕ0
229	228, 61	deccl 9774	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;55331 ∈ ℕ0
230	13, 54	deccl 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
231	230, 53	deccl 9774	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
232	13, 61	deccl 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
233	232, 137	deccl 9774	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
234	97, 13	deccl 9774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
235		3t2e6 9444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
236	102, 79, 235	mulcomli 8327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
237		3exp3 13200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑3) = ;27
238	13, 97	deccl 9774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
239		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 = ;27
240	61, 137	deccl 9774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
241		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;18 = ;18
242		2t2e4 9442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 2) = 4
243	242, 172	oveq12i 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
244		4p3e7 9432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 3) = 7
245	243, 244	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
246		7t2e14 9868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 2) = ;14
247		1p1e2 9404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
248		8cn 9373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℂ
249		8p4e12 9841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 + 4) = ;12
250	248, 78, 249	addcomli 8465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 8) = ;12
251	61, 5, 137, 246, 247, 13, 250	decaddci 9820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((7 · 2) + 8) = ;22
252	13, 97, 61, 137, 239, 241, 13, 13, 13, 245, 251	decmac 9811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;27 · 2) + ;18) = ;72
253	74, 79, 246	mulcomli 8327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 7) = ;14
254		4p4e8 9433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 4) = 8
255	61, 5, 5, 253, 254	decaddi 9819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 7) + 4) = ;18
256	97, 13, 97, 239, 150, 5, 255, 195	decmul1c 9824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;27 · 7) = ;;189
257	238, 13, 97, 239, 150, 240, 252, 256	decmul2c 9825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
258	53, 53, 236, 237, 257	numexp2x 13187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3↑6) = ;;729
259		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;72 = ;72
260	236	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
261		6p2e8 9437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 2) = 8
262	260, 261	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
263	97, 13, 13, 259, 53, 177, 262	decrmanc 9816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
264		9t3e27 9882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
265	53, 234, 150, 258, 97, 13, 263, 264	decmul1c 9824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
266	53, 59, 63, 265	numexpp1 13186	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
267	61, 97	deccl 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
268	267, 97	deccl 9774	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;177 ∈ ℕ0
269		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 = ;;218
270		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;177 = ;;177
271	13, 56	deccl 9774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
272	271, 53	deccl 9774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;203 ∈ ℕ0
273	13, 13	deccl 9774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
274		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 = ;21
275		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 = ;17
276		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;203 = ;;203
277		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;20 = ;20
278	79	addlidi 8463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
279	158	addridi 8462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 0) = 1
280	56, 61, 13, 56, 202, 277, 278, 279	decadd 9813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + ;20) = ;21
281	13, 61, 247, 280	decsuc 9790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + ;20) + 1) = ;22
282		7p3e10 9834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 3) = ;10
283	61, 97, 271, 53, 275, 276, 281, 282	decaddc2 9815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;17 + ;;203) = ;;220
284		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;253 = ;;253
285		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 = ;22
286		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;25 = ;25
287		2p2e4 9414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
288	75, 79, 221	addcomli 8465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 5) = 7
289	13, 13, 13, 54, 285, 286, 287, 288	decadd 9813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;22 + ;25) = ;47
290	54	dec0h 9781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = ;05
291	196, 290	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 1) = ;05
292	242, 201	oveq12i 6091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
293	292, 196	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
294		5t2e10 9859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
295	75	addlidi 8463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 5) = 5
296	61, 56, 54, 294, 295	decaddi 9819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 2) + 5) = ;15
297	13, 54, 56, 54, 286, 291, 13, 54, 61, 293, 296	decmac 9811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;25 · 2) + (4 + 1)) = ;55
298	235	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
299		7p6e13 9837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 6) = ;13
300	74, 179, 299	addcomli 8465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 7) = ;13
301	298, 300	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
302	230, 53, 5, 97, 284, 289, 13, 53, 61, 297, 301	decmac 9811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 2) + (;22 + ;25)) = ;;553
303	231	nn0cni 9558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;253 ∈ ℂ
304	303	mulridi 8322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;253 · 1) = ;;253
305	304	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = (;;253 + 0)
306	303	addridi 8462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;253 + 0) = ;;253
307	305, 306	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = ;;253
308	13, 61, 273, 56, 274, 283, 231, 53, 230, 302, 307	decma2c 9812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · ;21) + (;17 + ;;203)) = ;;;5533
309	97	dec0h 9781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 = ;07
310	78	addlidi 8463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 4) = 4
311	310	oveq2i 6090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ((2 · 8) + 4)
312		8t2e16 9874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 · 2) = ;16
313	248, 79, 312	mulcomli 8327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 8) = ;16
314		6p4e10 9831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 4) = ;10
315	61, 59, 5, 313, 247, 314	decaddci2 9821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
316	311, 315	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ;20
317		8t5e40 9877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 5) = ;40
318	248, 75, 317	mulcomli 8327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 8) = ;40
319	5, 56, 53, 318, 185	decaddi 9819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 8) + 3) = ;43
320	13, 54, 56, 53, 286, 187, 137, 53, 5, 316, 319	decmac 9811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;25 · 8) + (0 + 3)) = ;;203
321		8t3e24 9875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 3) = ;24
322	248, 102, 321	mulcomli 8327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 8) = ;24
323		2p1e3 9421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 1) = 3
324		7p4e11 9835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
325	74, 78, 324	addcomli 8465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 7) = ;11
326	13, 5, 97, 322, 323, 61, 325	decaddci 9820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 8) + 7) = ;31
327	230, 53, 56, 97, 284, 309, 137, 61, 53, 320, 326	decmac 9811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · 8) + 7) = ;;;2031
328	232, 137, 267, 97, 269, 270, 231, 61, 272, 308, 327	decma2c 9812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;253 · ;;218) + ;;177) = ;;;;55331
329	61, 5, 53, 253, 244	decaddi 9819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 7) + 3) = ;17
330	53, 54, 13, 77, 221	decaddi 9819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 7) + 2) = ;37
331	13, 54, 13, 286, 97, 97, 53, 329, 330	decrmac 9817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;25 · 7) + 2) = ;;177
332	97, 230, 53, 284, 61, 13, 331, 178	decmul1c 9824	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · 7) = ;;;1771
333	231, 233, 97, 266, 61, 268, 328, 332	decmul2c 9825	. . . . . . . 8 ⊢ (;;253 · (3↑7)) = ;;;;;553311
334		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;55331 = ;;;;55331
335		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5533 = ;;;5533
336		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;553 = ;;553
337		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;55 = ;55
338	278, 200	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 2) = ;02
339	185	oveq2i 6090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ((5 · 7) + 3)
340	339, 175	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ;38
341	54, 54, 56, 13, 337, 338, 97, 97, 53, 340, 330	decmac 9811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;55 · 7) + (0 + 2)) = ;;387
342	13, 61, 13, 178, 172	decaddi 9819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
343	226, 53, 56, 13, 336, 200, 97, 53, 13, 341, 342	decmac 9811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;553 · 7) + 2) = ;;;3873
344	97, 227, 53, 335, 61, 13, 343, 178	decmul1c 9824	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;5533 · 7) = ;;;;38731
345	74	mullidi 8323	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 7) = 7
346	97, 228, 61, 334, 97, 344, 345	decmul1 9823	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;55331 · 7) = ;;;;;387317
347	97, 229, 61, 333, 97, 346, 345	decmul1 9823	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) = ;;;;;;3873177
348	147, 225, 347	3brtr4i 4158	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7)
349	97, 53	deccl 9774	. . . . . . . . 9 ⊢ ;73 ∈ ℕ0
350	128, 349	nn0mulcli 9584	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℕ0
351	350	nn0rei 9557	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℝ
352	53, 97	nn0expcli 10985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ0
353	231, 352	nn0mulcli 9584	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℕ0
354	353, 97	nn0mulcli 9584	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℕ0
355	354	nn0rei 9557	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℝ
356	66	nnrei 9296	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
357	66	nngt0i 9317	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 5
358	351, 355, 356, 357	ltmul1ii 9252	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7) ↔ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5))
359	348, 358	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5)
360	128	nn0cni 9558	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℂ
361	349	nn0cni 9558	. . . . . . 7 ⊢ ;73 ∈ ℂ
362	360, 361, 75	mulassi 8329	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · (;73 · 5))
363	53, 54, 159, 76	decsuc 9790	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 · 5) + 1) = ;36
364	75, 102, 207	mulcomli 8327	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 5) = ;15
365	54, 97, 53, 148, 54, 61, 363, 364	decmul1c 9824	. . . . . . 7 ⊢ (;73 · 5) = ;;365
366	365	oveq2i 6090	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · (;73 · 5)) = (;;;;53057 · ;;365)
367	362, 366	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · ;;365)
368	303, 100	mulcli 8325	. . . . . . 7 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℂ
369	368, 74, 75	mulassi 8329	. . . . . 6 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5))
370	74, 75	mulcomi 8326	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 5) = (5 · 7)
371	370	oveq2i 6090	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7))
372	303, 100, 101	mulassi 8329	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
373	371, 372	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
374	369, 373	eqtri 2259	. . . . 5 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
375	359, 367, 374	3brtr3i 4157	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
376	53, 59	deccl 9774	. . . . . . . 8 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
377	376, 66	decnncl 9779	. . . . . . 7 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
378	377	nnrei 9296	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
379	377	nngt0i 9317	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;;365
380	378, 379	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)
381	231	nn0rei 9557	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
382		lt2mul2div 9203	. . . . 5 ⊢ (((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)) ∧ (;;253 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))))) → ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)))
383	129, 380, 381, 133, 382	mp4an 431	. . . 4 ⊢ ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365))
384	375, 383	mpbi 145	. . 3 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)
385		nndivre 9323	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ) → (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ)
386	129, 130, 385	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ
387		nndivre 9323	. . . . 5 ⊢ ((;;253 ∈ ℝ ∧ ;;365 ∈ ℕ) → (;;253 / ;;365) ∈ ℝ)
388	381, 377, 387	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
389	127, 386, 388	lelttri 8425	. . 3 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∧ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)) → (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365))
390	136, 384, 389	mp2an 430	. 2 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)
391	28, 127, 388	lelttri 8425	. 2 ⊢ (((log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∧ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)) → (log‘2) < (;;253 / ;;365))
392	51, 390, 391	mp2an 430	1 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  3c3 9339  4c4 9340  5c5 9341  6c6 9342  7c7 9343  8c8 9344  9c9 9345  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ;cdc 9760  ℝ⁺crp 10037  [,]cicc 10276  ...cfz 10394  seqcseq 10867  ↑cexp 10958   ⇝ cli 12027  Σcsu 12102  logclog 15940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-pm 6919  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-ico 10279  df-icc 10280  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-e 12399  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741  df-relog 15942

This theorem is referenced by:  birthdaylog2  16073