Theorem birthdaylem3 16072

Description: For general 𝑁 and 𝐾, upper-bound the fraction of injective functions from 1...𝐾 to 1...𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem3	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem3

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4		nn0uz 9940	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5	3, 4	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
6		nnz 9646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	ad2antlr 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		elfz5 10403	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
9	5, 7, 8	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
10	2, 9	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
11		birthday.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
12		birthday.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
13	11, 12	birthdaylem2 16071	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
14	1, 10, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))))
15		0zd 9639	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
16		nn0z 9647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
17		peano2zm 9665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
18	3, 16, 17	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
19	15, 18	fzfigd 10851	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0...(𝐾 − 1)) ∈ Fin)
20		elfznn0 10504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 9604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
23	3	nn0red 9604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
24		peano2rem 8587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
28	27	nnred 9300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
29		elfzle2 10415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 − 1))
31	1	nnred 9300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
32	23	ltm1d 9256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝐾)
33	25, 23, 31, 32, 2	ltletrd 8745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) < 𝑁)
35	22, 26, 28, 30, 34	lelttrd 8445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
36	27	nncnd 9301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
37	36	mulridd 8337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
38	35, 37	breqtrrd 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 < (𝑁 · 1))
39		1red 8335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
40	27	nngt0d 9331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < 𝑁)
41		ltdivmul 9200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
42	22, 39, 28, 40, 41	syl112anc 1282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ 𝑘 < (𝑁 · 1)))
43	38, 42	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) < 1)
44	22, 27	nndivred 9337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
45		1re 8319	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
46		difrp 10076	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
47	44, 45, 46	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑘 / 𝑁) < 1 ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+))
48	43, 47	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
49	48	relogcld 15966	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
50	44	renegcld 8701	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ)
51		elfzle1 10414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 0 ≤ 𝑘)
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ 𝑘)
53		divge0 9197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
54	22, 52, 28, 40, 53	syl22anc 1279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ≤ (𝑘 / 𝑁))
55	44, 54, 43	eflegeo 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))))
56	44	reefcld 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ)
57		efgt0 12434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
58	44, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁)))
59	48	rpregt0d 10087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁))))
60		lerec2 9213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (exp‘(𝑘 / 𝑁))) ∧ ((1 − (𝑘 / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑘 / 𝑁)))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
61	56, 58, 59, 60	syl21anc 1277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((exp‘(𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (1 − (𝑘 / 𝑁))) ↔ (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁)))))
62	55, 61	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 − (𝑘 / 𝑁)) ≤ (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
63	48	reeflogd 15967	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) = (1 − (𝑘 / 𝑁)))
64	44	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ)
65		efneg 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 / 𝑁) ∈ ℂ → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘-(𝑘 / 𝑁)) = (1 / (exp‘(𝑘 / 𝑁))))
67	62, 63, 66	3brtr4d 4160	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁)))
68		efle 15860	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -(𝑘 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
69	49, 50, 68	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁) ↔ (exp‘(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-(𝑘 / 𝑁))))
70	67, 69	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -(𝑘 / 𝑁))
71	19, 49, 50, 70	fsumle 12213	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁))
72	19, 64	fsumneg 12201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
73	1	nncnd 9301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
74	22	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
75	1	nnap0d 9333	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 # 0)
76	19, 73, 74, 75	fsumdivapc 12200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁))
77		arisum2 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
78	3, 77	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 = (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2))
79	78	oveq1d 6094	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
80	76, 79	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
81	80	negeqd 8515	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
82	72, 81	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))-(𝑘 / 𝑁) = -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
83	71, 82	breqtrd 4154	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))
84	19, 49	fsumrecl 12151	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ)
85		nn0re 9555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
86	85	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
87	86	resqcld 11120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
88	87, 86	resubcld 8702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾↑2) − 𝐾) ∈ ℝ)
89	88	rehalfcld 9535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
90		nndivre 9323	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
91	89, 90	sylancom 424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
92	91	renegcld 8701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
93	92	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
94		efle 15860	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
95	84, 93, 94	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁))) ≤ -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁))))
96	83, 95	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (exp‘Σ𝑘 ∈ (0...(𝐾 − 1))(log‘(1 − (𝑘 / 𝑁)))) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
97	14, 96	eqbrtrd 4150	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
98		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑁 < 𝐾)
99	98	notnotd 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ¬ ¬ 𝑁 < 𝐾)
100		abn0m 3547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁))
101		1zzd 9654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
102	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
103	101, 102	fzfigd 10851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
104		brdomg 7026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)))
105	103, 104	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)))
106	100, 105	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
107		hashfz1 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
108		nnnn0 9553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
109		hashfz1 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
111	107, 110	breqan12d 4144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
112	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
113	101, 112	fzfigd 10851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1...𝐾) ∈ Fin)
114		fihashdom 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
115	113, 103, 114	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝐾)) ≤ (♯‘(1...𝑁)) ↔ (1...𝐾) ≼ (1...𝑁)))
116		nnre 9294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
117		lenlt 8395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
118	85, 116, 117	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
119	111, 115, 118	3bitr3d 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((1...𝐾) ≼ (1...𝑁) ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
120	106, 119	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
122	99, 121	mtbird 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)})
123		notm0 3542	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
124	122, 123	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → {𝑓 ∣ 𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} = ∅)
125	12, 124	eqtrid 2283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑇 = ∅)
126	125	fveq2d 5697	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = (♯‘∅))
127		hash0 11218	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
128	126, 127	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑇) = 0)
129	128	oveq1d 6094	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = (0 / (♯‘𝑆)))
130	11, 12	birthdaylem1g 16070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅))
131	130	simp3d 1042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ≠ ∅)
132	131	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 𝑆 ≠ ∅)
133	130	simp2d 1041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ Fin)
134		hashnncl 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
135	133, 134	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
136	135	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
137	132, 136	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
138	137	nncnd 9301	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
139	137	nnap0d 9333	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (♯‘𝑆) # 0)
140	138, 139	div0apd 9111	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (0 / (♯‘𝑆)) = 0)
141	129, 140	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) = 0)
142	92	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → -((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁) ∈ ℝ)
143	142	rpefcld 12436	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
144	143	rpge0d 10084	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → 0 ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
145	141, 144	eqbrtrd 4150	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 < 𝐾) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))
146		zlelttric 9672	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
147	112, 102, 146	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
148	97, 145, 147	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((♯‘𝑇) / (♯‘𝑆)) ≤ (exp‘-((((𝐾↑2) − 𝐾) / 2) / 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {cab 2224   ≠ wne 2420   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4128  ⟶wf 5371  –1-1→wf1 5372  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ≼ cdom 7015  Fincfn 7016  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491  -cneg 8492   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ℝ⁺crp 10037  ...cfz 10394  ↑cexp 10958  ♯chash 11197  Σcsu 12102  expce 12392  logclog 15940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-pm 6919  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-ico 10279  df-icc 10280  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-e 12399  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741  df-relog 15942

This theorem is referenced by:  birthdaylog2  16073