Theorem eupth2lem3fi 16488

Description: Lemma for eupth2fi 16491. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2fi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
eupth2.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupth2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
eupth2.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
eupth2.x	⊢ 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
eupth2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
eupth2.l	⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹))
eupth2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
eupth2.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3fi	⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3fi

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupth2.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupth2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupth2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		eupth2.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
6		eupthiswlk 16467	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		wlkcl 16344	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9		eupth2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹))
10		nn0p1elfzo 10525	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
12		eupth2.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
13		eupthistrl 16466	. . 3 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
14	5, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15		eupth2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
16	15	fveq2i 5675	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
17		eupth2fi.fi	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
18	17	elexd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
19		eupth2fi.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
20		iedgex 16031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
22	2, 21	eqeltrid 2321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		resexg 5080	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V)
24	22, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V)
25		opvtxfv 16034	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = 𝑉)
26	18, 24, 25	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = 𝑉)
27	16, 26	eqtrid 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
28		eupthv 16458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
29	5, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
30	29	simp2d 1037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
31		fvexg 5691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
32	30, 4, 31	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
33		fvexg 5691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ V) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
34	22, 32, 33	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
35		opexg 4346	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ ∈ V)
36	32, 34, 35	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ ∈ V)
37		snexg 4299	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ ∈ V → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} ∈ V)
38	36, 37	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} ∈ V)
39		opvtxfv 16034	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}⟩) = 𝑉)
40	18, 38, 39	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}⟩) = 𝑉)
41		eupth2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
42	41	fveq2i 5675	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑋) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
43		resexg 5080	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V)
44	22, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V)
45		opvtxfv 16034	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = 𝑉)
46	18, 44, 45	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = 𝑉)
47	42, 46	eqtrid 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
48	15	fveq2i 5675	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
49		opiedgfv 16037	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
50	18, 24, 49	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
51	48, 50	eqtrid 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
52		opiedgfv 16037	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
53	18, 38, 52	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
54	41	fveq2i 5675	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑋) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
55		opiedgfv 16037	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))))
56	18, 44, 55	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))))
57	54, 56	eqtrid 2279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))))
58	4	nn0zd 9701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
59		fzval3 10553	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
60	59	eqcomd 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
61	58, 60	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
62	61	imaeq2d 5103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐹 “ (0...𝑁)))
63	62	reseq2d 5040	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
64	57, 63	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
65		eupth2.o	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
66		2fveq3 5677	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
67		fveq2 5672	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))
68		fvoveq1 6075	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
69	67, 68	preq12d 3778	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
70	66, 69	eqeq12d 2249	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
71		umgrupgr 16124	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
72	19, 71	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
73	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
74	2	upgrwlkedg 16373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
75	72, 73, 74	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
76	70, 75, 11	rspcdva 2928	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
77	1, 2, 3, 11, 12, 14, 27, 40, 47, 51, 53, 64, 19, 17, 65, 76	eupth2lem3lem7fi 16486	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526  Vcvv 2815  ∅c0 3510  ifcif 3622  {csn 3691  {cpr 3692  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111   ↾ cres 4753   “ cima 4754  Fun wfun 5348  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Fincfn 6977  0cc0 8129  1c1 8130   + caddc 8132   ≤ cle 8311  2c2 9290  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ...cfz 10345  ..^cfzo 10480  ♯chash 11142   ∥ cdvds 12477  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UPGraphcupgr 16103  UMGraphcumgr 16104  VtxDegcvtxdg 16298  Walkscwlks 16329  Trailsctrls 16392  EulerPathsceupth 16454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-xadd 10109  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-fl 10634  df-mod 10689  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-ihash 11143  df-word 11229  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-dvds 12478  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-edg 16070  df-uhgrm 16081  df-ushgrm 16082  df-upgren 16105  df-umgren 16106  df-uspgren 16167  df-subgr 16266  df-vtxdg 16299  df-wlks 16330  df-trls 16393  df-eupth 16455

This theorem is referenced by:  eupth2lemsfi  16490