Theorem eupth2lem3fi 16700

Description: Lemma for eupth2fi 16703. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2fi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
eupth2.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupth2fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
eupth2.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
eupth2.x	⊢ 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
eupth2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
eupth2.l	⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹))
eupth2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
eupth2.o	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3fi	⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3fi

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupth2.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupth2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupth2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		eupth2.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
6		eupthiswlk 16679	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		wlkcl 16556	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9		eupth2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹))
10		nn0p1elfzo 10577	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
11	4, 8, 9, 10	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
12		eupth2.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
13		eupthistrl 16678	. . 3 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
14	5, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15		eupth2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
16	15	fveq2i 5696	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
17		eupth2fi.fi	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
18	17	elexd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
19		eupth2fi.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
20		iedgex 16243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
22	2, 21	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		resexg 5101	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V)
24	22, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V)
25		opvtxfv 16246	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = 𝑉)
26	18, 24, 25	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = 𝑉)
27	16, 26	eqtrid 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
28		eupthv 16670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
29	5, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
30	29	simp2d 1041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
31		fvexg 5712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
32	30, 4, 31	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ V)
33		fvexg 5712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ V) → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
34	22, 32, 33	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V)
35		opexg 4366	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ V ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) ∈ V) → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ ∈ V)
36	32, 34, 35	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ ∈ V)
37		snexg 4319	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩ ∈ V → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} ∈ V)
38	36, 37	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} ∈ V)
39		opvtxfv 16246	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}⟩) = 𝑉)
40	18, 38, 39	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}⟩) = 𝑉)
41		eupth2.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
42	41	fveq2i 5696	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑋) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
43		resexg 5101	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V)
44	22, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V)
45		opvtxfv 16246	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = 𝑉)
46	18, 44, 45	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = 𝑉)
47	42, 46	eqtrid 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
48	15	fveq2i 5696	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
49		opiedgfv 16249	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
50	18, 24, 49	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
51	48, 50	eqtrid 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
52		opiedgfv 16249	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
53	18, 38, 52	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
54	41	fveq2i 5696	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑋) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
55		opiedgfv 16249	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))))
56	18, 44, 55	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))))
57	54, 56	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))))
58	4	nn0zd 9749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
59		fzval3 10605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
60	59	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
61	58, 60	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
62	61	imaeq2d 5124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐹 “ (0...𝑁)))
63	62	reseq2d 5061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
64	57, 63	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
65		eupth2.o	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘𝑁)}))
66		2fveq3 5698	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
67		fveq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))
68		fvoveq1 6102	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
69	67, 68	preq12d 3795	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
70	66, 69	eqeq12d 2253	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
71		umgrupgr 16336	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
72	19, 71	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
73	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
74	2	upgrwlkedg 16585	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
75	72, 73, 74	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
76	70, 75, 11	rspcdva 2934	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘𝑁)) = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
77	1, 2, 3, 11, 12, 14, 27, 40, 47, 51, 53, 64, 19, 17, 65, 76	eupth2lem3lem7fi 16698	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3708  {cpr 3709  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128   ↾ cres 4774   “ cima 4775  Fun wfun 5369  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   ≤ cle 8355  2c2 9338  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ...cfz 10394  ..^cfzo 10532  ♯chash 11197   ∥ cdvds 12537  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  UPGraphcupgr 16315  UMGraphcumgr 16316  VtxDegcvtxdg 16510  Walkscwlks 16541  Trailsctrls 16604  EulerPathsceupth 16666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xadd 10158  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-word 11288  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-edg 16282  df-uhgrm 16293  df-ushgrm 16294  df-upgren 16317  df-umgren 16318  df-uspgren 16379  df-subgr 16478  df-vtxdg 16511  df-wlks 16542  df-trls 16605  df-eupth 16667

This theorem is referenced by:  eupth2lemsfi  16702