Theorem gsumgfsum 16634

Description: On an integer range, Σ_g and Σ_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumgfsum.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumgfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumgfsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumgfsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Proof of Theorem gsumgfsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumgfsum.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumgfsum.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumgfsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9		eluz2 9754	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		gsumgfsum.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
13		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀)))
14	1, 3, 10, 12, 13	gsumgfsumlem 16633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
15	4, 6	fzfigd 10686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
17		1zzd 9499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18	17, 4	zsubcld 9600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
19	18, 4, 6	mptfzshft 11996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
21	4	zcnd 9596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		1cnd 8188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 8486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
24	23	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
25	24	mpteq1d 4172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
27	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
28		hashfz 11078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
29	10, 28	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
30	7	zcnd 9596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	21	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
32		1cnd 8188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	subadd23d 8505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) + 1) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
34	29, 33	eqtr2d 2263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = (♯‘(𝑀...𝑁)))
35	27, 34	oveq12d 6031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(♯‘(𝑀...𝑁))))
36		eqidd 2230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...𝑁))
37	26, 35, 36	f1oeq123d 5574	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁)))
38	20, 37	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
39	1, 3, 12, 16, 38	gfsumval 16630	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
40	14, 39	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))
41	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
42		gfsum0 16632	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
44	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
45		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
48		zltnle 9518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
49	46, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
50	45, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 < 𝑀)
51		fzn 10270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
52	47, 46, 51	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
53	50, 52	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = ∅)
54	53	feq2d 5467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ↔ 𝐹:∅⟶𝐵))
55	44, 54	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:∅⟶𝐵)
56		f0bi 5526	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶𝐵 ↔ 𝐹 = ∅)
57	55, 56	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹 = ∅)
58	57	oveq2d 6029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σgf ∅))
59	57	oveq2d 6029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
60		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
61	60	gsum0g 13472	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
62	41, 61	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
63	59, 62	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
64	43, 58, 63	3eqtr4rd 2273	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))
65		zdcle 9549	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
66	4, 6, 65	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
67		exmiddc 841	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
68	66, 67	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
69	40, 64, 68	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3492   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148   ∘ ccom 4727  ⟶wf 5320  –1-1-onto→wf1o 5323  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Fincfn 6904  ℂcc 8023  1c1 8026   + caddc 8028   < clt 8207   ≤ cle 8208   − cmin 8343  ℤcz 9472  ℤ_≥cuz 9748  ...cfz 10236  ♯chash 11030  Basecbs 13075  0_gc0g 13332   Σ_g cgsu 13333  CMndccmn 13864   Σ_gf cgfsu 16628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-inn 9137  df-2 9195  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-ihash 11031  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-0g 13334  df-igsum 13335  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-cmn 13866  df-gfsum 16629

This theorem is referenced by: (None)