Theorem gsumgfsum 16915

Description: On an integer range, Σ_g and Σ_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumgfsum.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumgfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumgfsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumgfsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Proof of Theorem gsumgfsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumgfsum.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumgfsum.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumgfsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9		eluz2 9865	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		gsumgfsum.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
13		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀)))
14	1, 3, 10, 12, 13	gsumgfsumlem 16914	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
15	4, 6	fzfigd 10800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
17		1zzd 9609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18	17, 4	zsubcld 9711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
19	18, 4, 6	mptfzshft 12136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
21	4	zcnd 9707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		1cnd 8295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 8592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
24	23	oveq1d 6067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
25	24	mpteq1d 4197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
27	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
28		hashfz 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
29	10, 28	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
30	7	zcnd 9707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	21	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
32		1cnd 8295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	subadd23d 8611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) + 1) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
34	29, 33	eqtr2d 2268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = (♯‘(𝑀...𝑁)))
35	27, 34	oveq12d 6070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(♯‘(𝑀...𝑁))))
36		eqidd 2235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...𝑁))
37	26, 35, 36	f1oeq123d 5610	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁)))
38	20, 37	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
39	1, 3, 12, 16, 38	gfsumval 16911	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
40	14, 39	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))
41	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
42		gfsum0 16913	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
44	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
45		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
48		zltnle 9628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
49	46, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
50	45, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 < 𝑀)
51		fzn 10382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
52	47, 46, 51	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
53	50, 52	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = ∅)
54	53	feq2d 5498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ↔ 𝐹:∅⟶𝐵))
55	44, 54	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:∅⟶𝐵)
56		f0bi 5562	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶𝐵 ↔ 𝐹 = ∅)
57	55, 56	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹 = ∅)
58	57	oveq2d 6068	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σgf ∅))
59	57	oveq2d 6068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
60		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
61	60	gsum0g 13630	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
62	41, 61	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
63	59, 62	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
64	43, 58, 63	3eqtr4rd 2278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))
65		zdcle 9659	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
66	4, 6, 65	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
67		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
68	66, 67	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
69	40, 64, 68	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∅c0 3510   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173   ∘ ccom 4755  ⟶wf 5350  –1-1-onto→wf1o 5353  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Fincfn 6977  ℂcc 8130  1c1 8133   + caddc 8135   < clt 8313   ≤ cle 8314   − cmin 8449  ℤcz 9582  ℤ_≥cuz 9859  ...cfz 10348  ♯chash 11146  Basecbs 13233  0_gc0g 13490   Σ_g cgsu 13491  CMndccmn 14022   Σ_gf cgfsu 16909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-inn 9243  df-2 9301  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-ihash 11147  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-0g 13492  df-igsum 13493  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-cmn 14024  df-gfsum 16910

This theorem is referenced by: (None)