Theorem gsumgfsum 16852

Description: On an integer range, Σ_g and Σ_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumgfsum.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumgfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumgfsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumgfsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Proof of Theorem gsumgfsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumgfsum.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumgfsum.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumgfsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9		eluz2 9855	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		gsumgfsum.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
13		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀)))
14	1, 3, 10, 12, 13	gsumgfsumlem 16851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
15	4, 6	fzfigd 10789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
17		1zzd 9600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18	17, 4	zsubcld 9701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
19	18, 4, 6	mptfzshft 12121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
21	4	zcnd 9697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		1cnd 8286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 8583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
24	23	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
25	24	mpteq1d 4194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
27	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
28		hashfz 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
29	10, 28	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
30	7	zcnd 9697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	21	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
32		1cnd 8286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	subadd23d 8602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) + 1) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
34	29, 33	eqtr2d 2266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = (♯‘(𝑀...𝑁)))
35	27, 34	oveq12d 6067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(♯‘(𝑀...𝑁))))
36		eqidd 2233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...𝑁))
37	26, 35, 36	f1oeq123d 5607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁)))
38	20, 37	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
39	1, 3, 12, 16, 38	gfsumval 16848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
40	14, 39	eqtr4d 2268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))
41	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
42		gfsum0 16850	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
44	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
45		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
48		zltnle 9619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
49	46, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
50	45, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 < 𝑀)
51		fzn 10372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
52	47, 46, 51	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
53	50, 52	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = ∅)
54	53	feq2d 5495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ↔ 𝐹:∅⟶𝐵))
55	44, 54	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:∅⟶𝐵)
56		f0bi 5559	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶𝐵 ↔ 𝐹 = ∅)
57	55, 56	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹 = ∅)
58	57	oveq2d 6065	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σgf ∅))
59	57	oveq2d 6065	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
60		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
61	60	gsum0g 13598	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
62	41, 61	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
63	59, 62	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
64	43, 58, 63	3eqtr4rd 2276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))
65		zdcle 9650	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
66	4, 6, 65	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
67		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
68	66, 67	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
69	40, 64, 68	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∅c0 3507   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170   ∘ ccom 4752  ⟶wf 5347  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Fincfn 6974  ℂcc 8121  1c1 8124   + caddc 8126   < clt 8304   ≤ cle 8305   − cmin 8440  ℤcz 9573  ℤ_≥cuz 9849  ...cfz 10338  ♯chash 11133  Basecbs 13201  0_gc0g 13458   Σ_g cgsu 13459  CMndccmn 13990   Σ_gf cgfsu 16846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-inn 9234  df-2 9292  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-ihash 11134  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-igsum 13461  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-cmn 13992  df-gfsum 16847

This theorem is referenced by: (None)