Theorem gsumgfsum 16747

Description: On an integer range, Σ_g and Σ_gf agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumgfsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumgfsum.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumgfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumgfsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumgfsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumgfsum	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Proof of Theorem gsumgfsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumgfsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumgfsum.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumgfsum.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gsumgfsum.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9		eluz2 9763	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		gsumgfsum.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
13		eqid 2230	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀)))
14	1, 3, 10, 12, 13	gsumgfsumlem 16746	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
15	4, 6	fzfigd 10696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
17		1zzd 9508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18	17, 4	zsubcld 9609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
19	18, 4, 6	mptfzshft 12023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
20	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
21	4	zcnd 9605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		1cnd 8197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 8495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
24	23	oveq1d 6035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
25	24	mpteq1d 4173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))) = (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))
27	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
28		hashfz 11088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
29	10, 28	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁 − 𝑀) + 1))
30	7	zcnd 9605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	21	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
32		1cnd 8197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	subadd23d 8514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) + 1) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
34	29, 33	eqtr2d 2264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = (♯‘(𝑀...𝑁)))
35	27, 34	oveq12d 6038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...(♯‘(𝑀...𝑁))))
36		eqidd 2231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...𝑁))
37	26, 35, 36	f1oeq123d 5577	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁)))
38	20, 37	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))):(1...(♯‘(𝑀...𝑁)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
39	1, 3, 12, 16, 38	gfsumval 16743	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑗 − (1 − 𝑀))))))
40	14, 39	eqtr4d 2266	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))
41	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
42		gfsum0 16745	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
43	41, 42	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
44	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
45		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑀 ≤ 𝑁)
46	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
48		zltnle 9527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
49	46, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
50	45, 49	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 < 𝑀)
51		fzn 10279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
52	47, 46, 51	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
53	50, 52	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀...𝑁) = ∅)
54	53	feq2d 5469	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵 ↔ 𝐹:∅⟶𝐵))
55	44, 54	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹:∅⟶𝐵)
56		f0bi 5529	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∅⟶𝐵 ↔ 𝐹 = ∅)
57	55, 56	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝐹 = ∅)
58	57	oveq2d 6036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σgf 𝐹) = (𝐺 Σgf ∅))
59	57	oveq2d 6036	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
60		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
61	60	gsum0g 13499	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
62	41, 61	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
63	59, 62	eqtrd 2263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
64	43, 58, 63	3eqtr4rd 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))
65		zdcle 9558	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
66	4, 6, 65	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
67		exmiddc 843	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
68	66, 67	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
69	40, 64, 68	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgf 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∅c0 3493   class class class wbr 4087   ↦ cmpt 4149   ∘ ccom 4728  ⟶wf 5321  –1-1-onto→wf1o 5324  ‘cfv 5325  (class class class)co 6020  Fincfn 6911  ℂcc 8032  1c1 8035   + caddc 8037   < clt 8216   ≤ cle 8217   − cmin 8352  ℤcz 9481  ℤ_≥cuz 9757  ...cfz 10245  ♯chash 11040  Basecbs 13102  0_gc0g 13359   Σ_g cgsu 13360  CMndccmn 13891   Σ_gf cgfsu 16741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-frec 6559  df-1o 6584  df-er 6704  df-en 6912  df-dom 6913  df-fin 6914  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-inn 9146  df-2 9204  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-fz 10246  df-fzo 10380  df-seqfrec 10713  df-ihash 11041  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-plusg 13193  df-0g 13361  df-igsum 13362  df-mgm 13459  df-sgrp 13505  df-mnd 13520  df-cmn 13893  df-gfsum 16742

This theorem is referenced by: (None)