Theorem gsummhm2fi 14265

Description: Apply a group homomorphism to a group sum, mapping version with implicit substitution. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummhm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummhm2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummhm2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummhm2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
gsummhm2fi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsummhm2.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummhm2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummhm2.1	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
gsummhm2.2	⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
gsummhm2fi	⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝐶,𝑘   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem gsummhm2fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummhm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummhm2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummhm2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummhm2.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
5		gsummhm2fi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		gsummhm2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
7		gsummhm2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 5866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	gsummhmfi 14264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))
10		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
11		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
12		gsummhm2.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐶 = 𝐷)
13	7, 10, 11, 12	fmptco 5877	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷))
14	13	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))) = (𝐻 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)))
15		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
16		gsummhm2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → 𝐶 = 𝐸)
17	1, 2, 3, 5, 8	gsumclfi 14249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) ∈ 𝐵)
18	16	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝐸 ∈ (Base‘𝐻)))
19		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
20	1, 19	mhmf 13831	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
21	6, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
22	15	fmpt 5861	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶(Base‘𝐻))
23	21, 22	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (Base‘𝐻))
24	18, 23, 17	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Base‘𝐻))
25	15, 16, 17, 24	fvmptd3 5802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))) = 𝐸)
26	9, 14, 25	3eqtr3d 2279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)) = 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ↦ cmpt 4193   ∘ ccom 4780  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  Basecbs 13410  0_gc0g 13669   MndHom cmhm 13823  CMndccmn 14177   Σ_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  gsummulc1fi  14475  gsummulc2fi  14476  lgseisenlem4  16397